1、第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)集合的基本概念: 集合元素的性质:_、_、_. 元素与集合的关系: 属于,记为_;不属于,记为_.,确定性,无序性,互异性,常见集合的符号:集合的表示方法:_、_、_.,N,N*或N+,Z,Q,R,列举法,描述法,图示法,(2)集合间的基本关系:,相同,AB,BA,AB或BA,AB或B A,任何集合,任何,非空集合,(3)集合的基本运算:,x|xA或xB,x|xA,且xB,x|xU,且xA,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)对于有限集合A,若card(A)=n,则集合A的子集个数为2n,真子集
2、个数为_,非空真子集个数为_. (2)AB=ABA, AB=AAB. (3)一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(AB)=card(A)+card(B) -card(AB).,2n-1,2n-2,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:进行集合运算的数轴图示法. (2)数学思想:分类讨论,数形结合. (3)记忆口诀: 集合概念不定义,属性相同来相聚.内含子交并补集,高中数学的基础. 集合元素三特征,互异无序确定性.集合元素尽相同,两个集合才相等. 书写采用符号化,表示列举描述法.元素集合多属于,集合之间谈包含. 0和空集不相同,正确区分才成功.运算如果有难处,Venn图儿来相助
3、.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)集合x2+x,0中实数x可取任意值.( ) (2)任何集合都至少有两个子集.( ) (3)集合x|y= 与集合y|y= 是同一个集合.( ) (4)若A=0,1,B=(x,y)|y=x+1,则AB.( ),【解析】(1)错误.由元素的互异性知x2+x0,即x0且x-1. (2)错误.只有一个子集. (3)错误.x|y= =x|x1, y|y= =y|y0. (4)错误.集合A是数集,集合B是点集. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修1P12A组T5(2)改编)若集合A=xN|x ,a= ,
4、则下面结论中正确的是( ) A.aA B.aA C.aA D.aA 【解析】选D.因为 不是整数,所以aA.,(2)(必修1P12B组T1改编)已知集合A=0,1,2,集合B满足AB= 0,1,2,则集合B有 个. 【解析】由题意知BA,则集合B有8个. 答案:8,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014新课标全国卷)已知集合A=-2,0,2,B=x|x2-x-2=0,则AB= ( ) A. B.2 C.0 D.-2 【解析】选B.因为B=x|x2-x-2=0=-1,2,又A=-2,0,2,所以AB=2.,(2)(2014广东高考)已知集合M=-1,0,1,N=0,1,2, 则MN=(
5、 ) A.0,1 B.-1,0,2 C.-1,0,1,2 D.-1,0,1 【解析】选C.结合Venn图,可知MN=-1,0,1,2.,(3)(2014湖北高考)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,集合A=1,3,5,6, 则UA=( ) A.1,3,5,6 B.2,3,7 C.2,4,7 D.2,5,7 【解析】选C.因为全集U=1,2,3,4,5,6,7,集合A=1,3,5,6, 所以UA=2,4,7.,考点1 集合的基本概念 【典例1】(1)(2015青岛模拟)已知集合A=0,1,2,则集合B= x-y|xA,yA中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 (2)(2015
6、银川模拟)若集合A=xR|ax2-3x+2=0中只有一个元 素,则a=( ) A. B. C.0 D.0或,【解题提示】(1)用列举法把集合B中的元素列举出来,注意元素的互异性. (2)分a=0和a0两种情况讨论.,【规范解答】(1)选C.当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2, 当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1, 当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0. 根据集合中元素的互异性知,集合B中的元素为-2,-1,0,1,2.共5个. (2)选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或 有两个相等实根. 当a=0时,x= ,符合题意,
7、当a0时,由=(-3)2-8a=0得a= ,所以a的值为0或 .,【互动探究】本例题(1)中,集合A不变,试确定集合B=(x,y)|xA,yA,x-yA中元素的个数. 【解析】当x=0时,y=0,当x=1时,y=0,1, 当x=2时,y=0,1,2.因此集合B中有6个元素.,【规律方法】与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.,【变式训练】已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,则m的值为 . 【解析】若m+2=3,则m
8、=1,此时2m2+m=3.不合题意. 若2m2+m=3.则m=- 或1,经检验m=- 符合题意. 答案:-,【加固训练】1.已知集合A=x|x2-2x+a0,且1A,则实数a的取值范围是( ) A.(-,0 B.(-,1 C.1,+) D.0,+) 【解析】选B.若1A,则1-2+a0,解得a1. 因为1A,所以a1.故选B.,2.数集x2+x,2x中,x的取值范围是( ) A.(-,+) B.(-,0)(0,+) C.(-,1)(1,+) D.(-,0)(0,1)(1,+),【解析】选D.根据题意,由集合中元素的互异性, 可得集合x2+x,2x中,x2+x2x, 即x0,x1, 则x的取值范
9、围是(-,0)(0,1)(1,+), 故选D.,考点2 集合间的基本关系 【典例2】(1)设a,bR,集合1,a+b,a=0, ,b,则b-a= . (2)已知集合A=x|-2x7,B=x|m+1x2m-1,若BA,则实数m的 取值范围是 . 【解题提示】(1)从a能否为0入手,根据集合相等的性质求解. (2)分B=与B两种情况讨论求解.,【规范解答】(1)由题意知a0,则a+b=0,从而 =-1,b=1,a=-1, 故b-a=1-(-1)=2. 答案:2,(2)当B=时,满足BA,此时有 m+12m-1,即m2, 当B时,要使BA,则有解得2m4. 综上知m4. 答案:(-,4,【易错警示】
10、解答本例题(2)有两点容易出错: (1)忽视B=的情况导致解析不完整. (2)当B列不等式组时忽视等号成立的情况导致错解.,【规律方法】 1.根据集合的关系求参数的关键点及注意点 (1)根据两集合的关系求参数,其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且常要对参数进行讨论. (2)注意点:注意区间端点的取舍.,2.解决集合相等问题的一般思路 若两个集合相等,首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况,然后列方程(组)求解. 提醒:解决两个集合的包含关系时,要注意空集的情况.,【变式训练】(
11、2015临沂模拟)已知集合A=x|ax=1,B=x|x2-1=0,若AB,则a的取值构成的集合是( ) A.-1 B.1 C.-1,1 D.-1,0,1,【解析】选D.由题意,得B=-1,1, 因为AB,所以当A=时,a=0; 当A=-1时,a=-1;当A=1时,a=1. 又A中至多有一个元素, 所以a的取值构成的集合是-1,0,1.,【加固训练】1.已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0x5,xN, 则满足条件ACB的集合C的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选D.A=x|x2-3x+2=0,xR=1,2,B=x|0x5,xN =1,2,3,4,由ACB,
12、方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的 个数可以看作是集合3,4的子集的个数,有22=4个. 方法二:C可能为1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4共4个.,2.设集合A=x,y,x+y,B=0,x2,xy,若A=B,则实数对(x,y)的取值集 合是 . 【解析】由A=B,且0B,故集合B中的元素x20,xy0,故x0,y0, 那么集合A中只能是x+y=0,此时就是在条件x+y=0下,x,y=x2,xy, 即 或 解得 或 答案:(1,-1),(-1,1),考点3 集合的基本运算 知考情集合的基本运算是历年高考的热点,常与函数、方程、不等式等知识综合,主
13、要以选择题的形式出现.,明角度 命题角度1:求交集 【典例3】(2014新课标全国卷)已知集合A=x|x2-2x-30, B=x|-2x2,则AB=( ) A.-2,-1 B.-1,2) C.-1,1 D.1,2),【解题提示】先简化集合A,再求交集. 【规范解答】选A.由已知得A=x|x-1或x3, 故AB=x|-2x-1.,命题角度2:求并集 【典例4】(2015南阳模拟)设全集U=R,集合A=x|2x-x20, B=y|y=ex+1,则AB等于( ) A.x|x1 D.x|x0,【解题提示】先求出集合A,B,再求并集. 【规范解答】选D.由2x-x20得01,故B=y|y1, 所以AB=
14、x|x0,故选D.,命题角度3:交、并、补的混合运算 【典例5】(2014江西高考)设全集为R,集合A=x|x2-90, B=x|-1x5,则A(RB)=( ) A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-3,-1 D.(-3,3) 【解题提示】先求集合A及RB,再求A(RB). 【规范解答】选C.A=(-3,3),RB=(-,-1(5,+), 所以A(RB)=(-3,-1.,悟技法 集合基本运算的求解策略 (1)求解思路:一般是先化简集合,再由交、并、补的定义求解. (2)求解原则:一般是先算括号里面的,然后再按运算顺序求解. (3)求解思想:注重数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图
15、等.,通一类 1.(2014四川高考)已知集合A=x|x2-x-20,集合B为整数集,则AB=( ) A.-1,0,1,2 B.-2,-1,0,1 C.0,1 D.-1,0 【解析】选A.由于集合A=x|x2-x-20=x|-1x2,而集合B为整数集,在-1x2范围中的整数有-1,0,1,2,故AB=-1,0,1,2.,2.(2014辽宁高考)已知全集U=R,A=x|x0,B=x|x1,则集合U(AB)=( ) A.x|x0 B.x|x1 C.x|0x1 D.x|0x1 【解析】选D.由于AB=x|x0,或x1,结合数轴,U(AB)= x|0x1.,3.(2013湖北高考)已知全集为R,集合A
16、=x|( )x1,B= x|x2-6x+80,则A(RB)=( ) A.x|x0 B.x|2x4 C.x|0x4 D.x|04,A(RB)=x|0x4.,4.(2015开封模拟)设集合U=R,A=x|2x(x-2)1,B=x|y=ln(1-x),则图中阴影部分表示的集合为( ) A.x|x1 B.x|1x2 C.x|0x1 D.x|x1,【解析】选B.由2x(x-2)0得,x1,故B=x|x1. 则UB=x|x1.阴影部分表示的集合为A(UB)=x|1x2.,创新体验1 以集合为载体的创新问题 【创新点拨】 1.高考考情:以集合为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点,这类试题以集合为依托,
17、考查学生理解问题、解决创新问题的能力. 2.命题形式:常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等.,【新题快递】 1.(2015东莞模拟)对任意实数x,y,定义运算xy=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知12=3,23=4,并且有一个非零常数m,使得xR,都有xm=x,则34的值是( ) A.-4 B.4 C.-3 D.3,【解析】选D.xR,都有xm=x,则xm=ax+bm+cmx=(a+cm)x+bm=x,由于m为非零常数,则bm=0b=0,因此12=a+2c=3,23=2a+6c=4,解得a=5,c=-1,因此34=3a+12c=35+12
18、(-1)=3,故选D.,2.(2014福建高考)已知集合a,b,c=0,1,2, 且下列三个关系:a2,b=2,c0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 .,【解析】若b=2正确,则a2不正确,所以a=2,与集合元素互异性矛盾,不符合题意; 若a2正确,则b=2不正确,即b2,所以c=2.但是c0不正确,所以c=0,矛盾; 若c0正确,则a2不正确,故a=2.又c0,所以c=1.故b=0.符合题意.所以a=2,b=0,c=1. 所以100a+10b+c=201. 答案:201,3.(2015淮安模拟)设集合Sn=1,2,3,n,若XSn,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个
19、元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集.则S4的所有奇子集的容量之和为 .,【解析】因为S4=1,2,3,4,所以X=,1,2,3,4,1,2,1,3, 1,4,2,3,2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4,1,2,3,4.其中是奇子集的为X=1,3,1,3,其容量分别为1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和为7. 答案:7,【备考指导】 1.准确转化:解决集合创新问题时,一定要读懂题目的本质含义,紧扣题目所给条件,结合题目要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆. 2.方法选取:对于集合创新问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解,同时注意培养学生领悟新信息、运用新信息的能力.,
