1、4.1 一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速 绕定点O转动，某一点P以相对速度沿AB边运动，当三角形转了一周时，P点走过了AB，如已知 ，试求P点在A时的绝对速度与绝对加速度。,解：如图建立坐标系，P点的牵连速度和相对速度为：,绝对速度为：,与三角形斜边的夹角。,绝对速度的大小为：,在平面转动参照系中，质点的绝对加速度为： （ 是一恒矢量）,与三角形斜边的夹角。,其加速度的大小为：,42 一直线以匀角速度 在一固定平面内绕其一端o转动，当直线位于ox的位置时，有一质点P开始从o点沿该直线运动，如欲使此点的绝对速度 的量值为常数。问此质点应按何种规律沿此直线运动？,解：质点相对速度大小：
2、,绝对速度大小：,质点运动规律为：,积分,43 P 点离开圆锥顶点o，以速度 沿母线作匀速运动，此圆锥则以匀角速 绕其轴转动，求开始t 秒后P点绝对加速度的量值，假定圆锥体的半顶角为 .,解：在空间转动参照系中，设质点 t 时刻在母线P处，位矢为 ，质点的绝对加速度为：,方向指向转动轴（在母线和转动轴构成的平面内）,方向与母线和转动轴构成的平面垂直,方向指向转动轴（在母线和转动轴构成的平面内）,44 小环重W，穿在曲线 的光滑钢丝上，此曲线通过坐标原点，并绕竖直轴 oy以匀角速 转动，如欲使小环在曲线上任何位置均处于相对平衡状态，求此曲线的形状及曲线对小环的约束反力。,解：将小环放在曲线上任意
3、位置，受力分析如图所示，小环处于相对平衡时满足：,其投影形式为：,(1)(2)联立得：,小环所受约束反力为：,利用 ，对上式积分得曲线为抛物线：,45 在一光滑水平直管中，有一质量m为的小球，此管以恒定角速度 绕通过管子一端的竖直轴转动，如开始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，而管的总长则为2a，求小球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求小球从开始运动到离开管口所需的时间。,解：如图建立坐标系，小球受力分析如图所示，对平面转动参照系而言，质点相对运动微分方程为：,（ 是恒矢量）,小球相对管的运动微分方程为：,积分：,两边乘 ：,所以相对速度为：,牵连速度为：,由小球相对管的运
4、动微分方程：,积分：,即：,绝对速度为：,绝对速度大小为：,再积分：,4、6 一光滑细管可沿铅直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速 转动，其中有一质量为m的质点，开始时，细管取水平方向，质点距转轴的距离为a，质点相对于管的速度为 ，试求质点相对于管的运动规律。,解：对平面转动参照系而言，质点相对运动微分方程为：,质点沿管方向的运动微分方程为：,如图建立坐标系，质点受力分析如图所示.,设（1）式非齐次特解为：,(1)式齐次方程的通解为：,即：,上式代入（1）得：,所以（1）式的通解为：,上式对时间求导得：,利用初始条件： 代入上两式得：,即：,故质点相对于管的运动规律为：,47 质量分别为m及
5、的两个质点，用一固有长度为a的弹性绳相连，绳的倔强系为 ， 如将此系统放在光滑的水平管中，管子绕管上某点以匀角速 转动，试求任意瞬时两质点间的距离。设开始时，质点相对于管子是静止的。,解：在管子上建立动坐标系，受力分析如图所示，由平面转动参照系的运动微分方程：,设任一时刻两质点间的距离为s,将 代入上式并化简得：,由初始条件：,任意瞬时两质点之间的距离为：,上式的解为：,48 轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角速 绕竖直轴转动。另有一质量为m的小环套在此金属丝上，并沿金属丝滑动，试求小环运动的微分方程。已知抛物线的方程为 ，式中a为常数，计算时可忽略摩擦阻力。,解：建立固连在金属丝上的
6、转动坐标系 ，受力分析如图所示。z方向受力没画。,由空间转动参照系中的动力学方程：,其分量式为：,、两式消去N 得：,由 得：,、两式联立得：,即：,由 得：,将 代入得：,小环相对运动微分方程为：,49 上题中，试用两种方法求小球相对平衡的条件。,解：方法1，选取转动参照系oxyz，相对平衡时： 小环受力分析如图所示。,得小环处于相对平衡时满足：,其投影形式为：,（1）（2）联立得：,由相对平衡方程：,故小环处于相对平衡时满足：,代入上式得：,由 得：,（1）（2）联立得：,方法2：选取惯性参照系，小环相对金属丝静止，则小环相对惯性系作匀速圆周运动，小环受力分析如图所示，其所受向心力为：,其
7、投影形式为：,（1）（2）联立得：,故小环处于相对平衡时满足：,代入上式得：,由 得：,410 质量为m的小环，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，圆圈在水平面内以匀角速 绕圈上某点o转动，试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。,解：选取圆圈为平面转动参照系，则小环运动微分方程为：,小环受力如图所示：重力： ，约束反力： （图中未画）,牵连惯性力大小：,科氏力的大小：,方向如图所示。,即：,小环切向运动微分方程为：,补充题1、M点在杆OA上按 规律 x = 2+3t2 (厘米)运动，同时杆OA绕O轴以匀角速度 = 2 rad/s 转动。如图所示，求当 t =1s 时， M点的科氏加速度
8、的大小。,解：科氏加速度：,其科氏加速度大小为：,补充题2 、矩形板绕其一边以匀角速 转动，动点沿另一边以相对匀速度vr运动（如图所示），求动点在图示位置时，科氏加速度的大小。,科氏加速度：,补充题3 、飞机飞越北极上空，其相对速度为100m/s，若飞机质量为 kg，求飞机受到的科里奥利力的大小。,科里奥利力：,科里奥利力的大小为：,补充题4 、如图所示的机构在其所在平面内运动，滑块M在曲柄O1A与O2A相接处，且可沿BO2杆滑动。M以相对速度vr如图示方向运动，则科氏加速度的方向为： （ ）,A、ac垂直于vr 沿MO1指向O1 ； B、ac垂直于vr 沿O1M背离O1 C、ac垂直于vr
9、方向不定； D、ac= 0,选 B,补充题5 、一水平圆盘绕一过盘心且垂直于盘面之轴转动，角速度为恒矢量，一质点M以相对速度u自圆盘上一弦之中点开始沿弦运动，弦心矩为b，当质点离弦中点为x时，求质点绝对速度的大小，绝对加速度的大小。,解：如图所示，建立转动坐标系o1xy ,质点相对速度为：,质点牵连速度为：,质点的绝对速度为,质点的绝对速度的大小为,求质点的绝对加速度的大小：,方向如图所示。,平面转动参照系中质点的加速度为,质点的绝对加速度的大小为：,其中：,补充题6 、质点以不变的速率vr沿管子运动，如图所示。此管中部弯成半径为R的半圆周，并绕AB轴以匀角速转动，在质点由C运动至D的时间内，
10、管绕AB轴转过半周，求质点的绝对加速度大小（表示为角 的函数）。,空间转动参照系中质点的加速度为,解：如图所示，建立转动坐标系 Oxyz,牵连加速度大小,相对加速度大小,科里奥利加速度的大小,方向如图所示,质点的绝对加速度为：,质点的绝对加速度的大小为：,其中,补充题7、圆筒以匀角速 绕铅直轴转动，筒内液体随筒转动，求相对平衡时，液体自由表面的形状。,解：选取转动参照系 oxyz 相对平衡时,液面上任一质点受力分析如图所示。由相对平衡方程：,得小环处于相对平衡时满足：,其投影形式为：,抛物线,利用 ，对上式积分得曲线形状为：,（1）（2）联立得：,补充题8、水平圆盘绕垂直盘面且通过盘心的竖直轴以匀角速度 转动，盘上有一光滑直槽，离转动轴的距离为b，质量为m的小球沿槽运动，求小球相对槽的运动规律及槽对小球的横向作用力。 设 t = 0时，x = a , ，如图所示。,解：如图所示，建立转动坐标系Oxyz，小球受力分析如图所示，,惯性离心力：,科里奥利力：,约束力:,得小球运动微分方程 的分量形式为：,由平面转动参照系的动力学方程：,（1）式的通解：,利用初始条件：,得：,即：,槽对小球的横向作用力为：,小球相对槽的运动规律为：,
