1、实验二 线性系统时域响应分析一、实验目的1熟练掌握 step( )函数和 impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。2通过响应曲线观测特征参量 和 对二阶系统性能的影响。n3熟练掌握系统的稳定性的判断方法。二、基础知识及 MATLAB 函数（一）基础知识时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应） 。本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在 MATLAB 环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法
2、。用 MATLAB 求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以 s 的降幂排列写为两个数组 num、den。由于控制系统分子的阶次 m 一般小于其分母的阶次 n，所以 num 中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。1用 MATLAB 求控制系统的瞬态响应1）阶跃响应求系统阶跃响应的指令有：step(num,den) 时间向量 t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出step(num,den,t) 时间向量 t 的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10）y，x=step(num,den) 返回变量 y 为输出向量，x
3、 为状态向量在 MATLAB 程序中，先定义 num,den 数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。考虑下列系统： 254)(2ssRC该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以 s的降幂排列。则 MATLAB 的调用语句：num=0 0 25; %定义分子多项式den=1 4 25; %定义分母多项式step(num,den) %调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲线grid %画网格标度线xlabel(t/s),ylabel(c(t) %给坐标轴加上说明title(Unit-step Respinse of G(s)=25/(s2+4s+2
4、5) %给图形加上标题名则该单位阶跃响应曲线如图 2-1 所示：注意：在 figure 中点鼠标右键，在右键菜单中选择“Characteristics” ，其中包括四个系统性能指标：“Peak Response 峰值”、 “Settling Time 调节时间”、 “Rise Time”和“Steady State 稳态值”，选中其中的任何一个指标后，都会用大点点在图上标出指标对应的位置。将鼠标移动到标志点上，就会出现更详细的指标值，如第一个“Peak Response”表上后，鼠标悬停会出现“Peak amplitude”、 ”Overshoot（%） “和”At time“三个更详细的指标
5、。为了在图形屏幕上书写文本，可以用 text 命令在图上的任何位置加标注。例如：text(3.4,-0.06,Y1) 和 text(3.4,1.4,Y2)第一个语句告诉计算机，在坐标点 x=3.4,y=-0.06 上书写出Y1 。类似地，第二个语句告诉计算机，在坐标点 x=3.4,y=1.4 上书写出Y2 。若要绘制系统 t 在指定时间（0-10s）内的响应曲线，则用以下语句：num=0 0 25; den=1 4 25; 图 2-1 二阶系统的单位阶跃响应 图 2-2 定义时间范围的单位阶跃响应t=0:0.1:10;step(num,den,t) 即可得到系统的单位阶跃响应曲线在 0-10s
6、 间的部分，如图 2-2 所示。 2）脉冲响应 求系统脉冲响应的指令有：impulse (num,den) 时间向量 t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出impulse (num,den,t) 时间向量 t 的范围可以由人工给定（例如 t=0:0.1:10）y,x=impulse(num,den) 返回变量 y 为输出向量，x 为状态向量y,x,t=impulse(num,den,t) 向量 t 表示脉冲响应进行计算的时间例：试求下列系统的单位脉冲响应：12.0)(ssGRC在 MATLAB 中可表示为num=0 0 1;den=1 0.2 1;impulse(num,den)gri
7、dtitle(Unit-impulse Response of G(s)=1/(s2+0.2s+1)由此得到的单位脉冲响应曲线如图 2-3 所示： 求脉冲响应的另一种方法应当指出，当初始条件为零时，G (s)的单位脉冲响应与 sG(s)的单位阶跃响应相同。考虑在上例题中求系统的单位脉冲响应，因为对于单位脉冲输入量，图 2-3 二阶系统的单位脉冲响应R(s)=1 所以 sssGsCR 12.012.0)()( 因此，可以将 G(s)的单位脉冲响应变换成 sG(s)的单位阶跃响应。向 MATLAB 输入下列 num 和 den，给出阶跃响应命令，可以得到系统的单位脉冲响应曲线如图 2-4 所示。n
8、um=0 1 0;den=1 0.2 1;step(num,den) gridtitle(Unit-step Response ofsG(s)=s/(s2+0.2s+1)3）斜坡响应MATLAB 没有直接调用求系统斜坡响应的功能指令。在求取斜坡响应时，通常利用阶跃响应的指令。基于单位阶跃信号的拉氏变换为 1/s，而单位斜坡信号的拉氏变换为 1/s2。因此，当求系统 G(s)的单位斜坡响应时，可以先用 s 除G(s)，再利用阶跃响应命令，就能求出系统的斜坡响应。例如，试求下列闭环系统的单位斜坡响应。1)(2sRC对于单位斜坡输入量，R(s)=1/s 2 ，因此sss1)(1)(2在 MATLAB
9、 中输入以下命令，得到如图 2-5 所示的响应曲线：num=0 0 0 1;den=1 1 1 0;step(num,den)title(Unit-Ramp Response Cuve for System G(s)=1/(s2+s+1)图 2-4 单位脉冲响应的另一种表示法2. 特征参量 和 对二阶系统性能的影响n标准二阶系统的闭环传递函数为：22)(nssRC二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。1） 对二阶系统性能的影响设定无阻尼自然振荡频率 ，考虑 5 种不同的 值：)/(1sradn=0,0.25,0.5,1.0 和 2.0，利用 MATLAB 对每一种 求取单位
10、阶跃响应曲线，分 析参数 对系统的影响。为便于观测和比较，在一幅图上绘出 5 条响应曲线（采用“hold”命令实现） 。num=0 0 1; den1=1 0 1; den2=1 0.5 1;den3=1 1 1; den4=1 2 1; den5=1 4 1;t=0:0.1:10; step(num,den1,t)grid text(4,1.7,Zeta=0); hold step(num,den2,t)text (3.3,1.5,0.25)step(num,den3,t)text (3.5,1.2,0.5)step(num,den4,t)图 2-5 单位斜坡响应text (3.3,0.9,
11、1.0)step(num,den5,t)text (3.3,0.6,2.0)title(Step-Response Curves for G(s)=1/s2+2(zeta)s+1)由此得到的响应曲线如图 2-6 所示：2） 对二阶系统性能的影响n同理，设定阻尼比 时，当 分别取 1,2,3 时，利用 MATLAB 求取25.0n单位阶跃响应曲线，分析参数 对系统的影响。nnum1=0 0 1; den1=1 0.5 1; t=0:0.1:10; step(num1,den1,t); grid; hold ontext(3.1,1.4,wn=1)num2=0 0 4; den2=1 1 4;st
12、ep(num2,den2,t); hold ontext(1.7,1.4,wn=2)num3=0 0 9; den3=1 1.5 9;step(num3,den3,t); hold ontext(0.5,1.4,wn=3)由此得到的响应曲线如图 2-7 所示：图 2-6 不同时系统的响应曲线图 2-7 不同时系统的响应曲线n3系统稳定性判断1）直接求根判稳 roots()控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。MATLAB 中对多项式求根的函数为 roots()函数。若求以下多项式的根 ，则所用的 M
13、ATLAB 指令245031024ss为： roots(1,10,35,50,24)ans =-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000特征方程的根都具有负实部，因而系统为稳定的。2）劳斯稳定判据 routh（）劳斯判据的调用格式为：r, info=routh(den)该函数的功能是构造系统的劳斯表。其中，den 为系统的分母多项式系数向量，r 为返回的 routh 表矩阵，info 为返回的 routh 表的附加信息。以上述多项式为例，由 routh 判据判定系统的稳定性。den=1,10,35,50,24;r,info=routh(den)r=1 35 2410 50 030
14、 24 042 0 024 0 0info= 由系统返回的 routh 表可以看出，其第一列没有符号的变化，系统是稳定的。3）赫尔维茨判据 hurwitz（）赫尔维茨的调用格式为：H=hurwitz（den） 。该函数的功能是构造 hurwitz矩阵。其中，den 为系统的分母多项式系数向量。以上述多项式为例，由 hurwitz 判据判定系统的稳定性。den=1,10,35,50,24; H=hurwitz(den)H=10 50 0 01 35 24 00 10 50 00 1 35 24由系统返回的 hurwitz 矩阵可以看出，系统是稳定的。与前面的分析结果完全一致。注意：routh（）
15、和 hurwitz（）不是 MATLAB 中自带的功能函数，须加载 ctrllab3.1 文件夹（自编）才能运行。三、实验内容1观察函数 step( )和 impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为14673)(24sssG可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。2对典型二阶系统 22)(nss1）分别绘出 ， 分别取 0,0.25,0.5,1.0 和 2.0 时的单位阶跃响/(2radn应曲线，分析参数 对系统的影响，并计算 =0.25 时的时域性能指标。spret,2）绘制出当 =0.25, 分别取 1,2,4,6 时单位阶跃响应曲线，分析参数n对系统的影响。n3
16、系统的特征方程式为 ，试用三种判稳方式判别053224ss该系统的稳定性。4单位负反馈系统的开环模型为 )256)(42()2ssKsG试分别用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的 K 值范围。例如：当特征方程的根均为负实根或实部为负的共轭复根时，系统稳定。先假设K 的大致范围，利用 roots()函数计算这些 K 值下特征方程的根，然后判断根的位置以确定系统稳定时 K 的取值范围。程序如下：k=0:0.01:100; %先假设 K 的大致范围for index=1:100p=2 15 27 k(index)+12 k(index)+1;r=roots(p)
17、;if max(real(r)0break;endendsprintf(系统临界稳定时 K 值为:K=%7.4fn,k(index)4322157(12)10ssssK四、实验报告1根据内容要求，写出调试好的 MATLAB 语言程序，及对应的 MATLAB 运算结果。2. 记录各种输出波形，根据实验结果分析参数变化对系统的影响。3总结判断闭环系统稳定的方法，说明增益 K 对系统稳定性的影响。4写出实验的心得与体会。五、预习要求1. 预习实验中基础知识，运行编制好的 MATLAB 语句，熟悉 MATLAB 指令及step( )和 impulse( )函数。2. 结合实验内容，提前编制相应的程序。3思考特征参量 和 对二阶系统性能的影响。n4熟悉闭环系统稳定的充要条件及学过的稳定判据。注意：还可以使用上次的 simulink 进行仿真；例如：图 3-5 SY321 SIMULINK 仿真图图 3-6 衰减比为 0.02 时的波形 图 3-7 衰减比为 0.0242 时的波形图 3-8 衰减比为 0.03 时的波形
