1、一、 证明：1）若 A 矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在 时趋近于零，给出例子；2）若 A 矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，给出正反两个例子；3）若 A 矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯虚根的重数大于 1 时，系统的零输入响应可能会趋近于零，给出正反两个例子；（ ）04）讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的关系，针对所举的例子作说明。系统的状态空间描述为：1-1=+=+当系统的的输入为零时，则状态空间描述可写为：1-2=那么该系统的输出为(t0 ）：1-3=(0)而1-4=1()1将式 1-4 代入 1-3 中有：1-5=1
2、()1(0)设其拉氏变换为：1-6()()= ()(1)(2)(3)(1)()其中 N(s)的阶次大于 D(s)的阶次。那么式 1-6 可化为：()()= 1(1)+ 2(2)+ 3(3)+ 1(1)+ ()1-71) 由于 A 矩阵的特征根均有负实部，即 均在复平面的左边，那么1、 2、 31、 对上式进行拉式反变换有：1-81()()=11+22+33+11+ 均在复平面的左边1、 2、 31、 当 时， ，则有当 时，0 0例 1：设有一状态空间模型为：的系统。其特征根分别为 =-3， =-5， =-6=147.8755.6258 0 00 2 0 +100=0 0.6250.625 1
3、 2 3取初始状态为 X(0)= ,其零输入响应如图表 1 所示：111图表 2可以看到在 时有，其零输入响应趋近于 0。2) 若 A 矩阵有正实部特征根时，由式 1-7，我们可以取 有正实部（ 为 中的某一个数） ，那么 的拉式反变换为 。1、 2、 31、 有正实部 在 时发散。即该系统的零输入响应在非零 状态下且 时趋近于 若式 1-6 可化为()()= ()()(1)(2)()(1)()则：2-1()()= ()(1)(2)(1)()可以看到极点 与零点 抵消了，由式 2-1 与式 1-6 类似 当 ，依然有 。 0例 2：设有一状态空间模型为：的系统。其特征根分别为 =-2， =3，
4、 =-4=3 2.534 0 00 2 0+0.500=0 0.50.25 1 2 3取初始状态为 X(0)= ,其零输入响应如图表 2 所示：111图表 2可以看到在 时有，其零输入响应趋近于 。例 3：设有一状态空间模型为：的系统。其特征根分别为 =-2， =3， =-4=3 2.534 0 00 2 0+100=0 0.250.375 1 2 3取初始状态为 X(0)= ,其零输入响应如图表 3 所示：111图表 3可以看到在 时有，其零输入响应趋近于 0。例 2，例 3 系统的特征根相同，但是他们同状态下的响应却不同，前者在 时其零输入响应趋近于，而后者在 时其零输入 响应趋近于 0。
5、由于例 3 系统的传递函数为 ，显然 s-3 项上下抵消，所以该系统等效的=3(+2)(3)(+4)传递函数为 ，此时特征根 3 并不影响系统的输出。=1(+2)(+4)3) 若 A 矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，且纯虚根的重数大于 1。我们以纯虚根的重数等于 2 为例， 为正实数，那么式 1-6 可写为：3-1()()= ()(1)(2)(2+)2(1)()我们抽出重根项： 则，13(2+)2+ 22(2+)2+ 31(2+)2+ 4(2+)23-21 13(2+)2+ 22(2+)2+ 31(2+)2+ 4(2+)2=(+)其中 a，b ， 均为常数，a、 。当 时，a
6、t ，所以有 可能趋近于 （在 处 0 震荡） 。而当式 3-1 能化为:3-3()()= ()(2+)2(1)(2)(2+)2(1)()可以看出重根项可以被消除，则式 3-3 可写为：3-4()()= ()(1)(2)(1)()由 1）可得：当 时， ，则有当 时，0 0例 4：设有一状态空间模型为：的系统。其特=-5 -2.5-1.25-0.875-0.625-0.754 0 0 0 0 00 4 0 0 0 00 0 2 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 +0.2500000=0 0 0 0 0.1250.125 征根分别为 =-2， =-3， = ， ， ， 1
7、2 3 2 4=2 5= 2 5= 2取初始状态为 X(0)= ,其零输入响应如图表 4 所示：111111图表 4可以看到在 时有，其零输入响应趋近于 （在 处震荡） 。 例 5：设有一状态空间模型为：的系统。其特征根分别为=-5 -2.5-2.5-3.5-2.5-34 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 +200000=0.50.1250.250.250.250.25 =-2， =-3， = ， ， ， 1 2 3 2 4=2 5= 2 5= 2取初始状态为 X(0)= ,其零输入响应如图表 5 所示：111111图表
8、 5可以看到在 时有，其零输入响应趋近于 0。例 4，例 5 系统的特征根相同，但是他们同状态下的响应却不同，前者在 时其零输入响应趋近于 ，而后者在 时其零输 入响应趋近于 0。由于例 5 系统的传递函数为 ，显然 s-3 项上下抵消，所以该系统等效的=(+1)(2+2)2(+2)(2+2)2(+3)传递函数为 ，此时重虚根并不影响系统的输出。=(+1)(+2)(+3)4) 当 A 矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在 时趋 1 近于零，系统稳定；如例 1 所示。当 A 矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，此时系统 2部分状态不稳定。由于系统结构，可能存在系统的
9、输出与这部分不稳定的状态无关，即存在零极点对消的情况，把正实部特征根抵消了。那么系统输出稳定。如例 2、例 3 所示.当 A 矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯虚根 3的重数大于 1 时，系统的零输入响应可能会趋近于零。1.当它的重数为 1 时，其它特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态临界稳定，系统输出临界稳定。2.当存在零极点对消，把纯虚根抵消了，此时系统的输出与该特征根无关，系统状态临界稳定，系统输出稳定。3. 当它的重数为 2时，其它特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态不稳定，输出也不稳定。4. 当存在零极点对消，把纯虚根抵消了 1 重，此时系统状态临界稳定，系统输出临界稳定。5. 当存在零极点对消，把纯虚根完全抵消了，此时系统的输出与该特征根无关，系统状态不稳定，但是系统输出稳定。如例 4、例 5 所示.
