1、 闭路电视监控系统的优化设计摘要:本题主要解决的问题是选择安装摄像头的位置，并且在保证所有区域被监控的条件下安装摄像头数目最少。我们首先将这一问题转化为 01 整数规划问题，并用 LINDO 软件求解。由于每条街道的两端基本（也有极少数街道只有一端可以安装摄像头）都是可以安装摄像头的位置，我们可以把街道看做线段，安装摄像头的位置看作点，这样工业区的布局图就转化为一个图论模型，本题就转化为求图的最小点覆盖的问题了。利用图的关联矩阵求出最小覆盖的点，这些点就是安装摄像头的位置！关键字：01 整数规划 关联矩阵 最小点覆盖Abstract :The aim of this term is to ch
2、oose the places of fixing web-cameras，and make sure the whole aeras are under the control .Under this condition ,we should make sure that the number of fixed web-cameras is minimal. Firstly ,we convert this problem to the case of zero one integer programming ,and LINDO can solve this changing case .
3、Secondly,we can change our idea to think about this problem .Because the two points of each street are available places for fixing web-cameras (only a very few streets have one available point to fix web-cameras ),we can respond the streets to line segments ,at the same time ,the place of fixing web
4、-cameras responding to vertices ,then the layout of this industrial park becames a model of graph theory .Hence the original term transforms to solve the minimal vertex covering problems of graph .We can use the correlative matrix to find out the minimal vertex covering concourse, the solving points
5、 are the final places for fixing Keywords: zeroone integral layout correlative matrix minimal vertex covering1.问题重述某市的工业区发生多起夜间入室行窃案件，此工业区有保安巡逻，但保安人数太少，因此负责此区域安全的相关市政部门决定安装监控摄像头，以协助保安工作。下图给出了该工业区的地图，其中给出了需要用闭路电视进行监控的区域范围，并标记 44 个可以安装摄像头的位置，要求设计一种安装方案使安装的摄像头数目最少但保证需监控的区域全在监控范围。图一工 业 区 示 意 图图 一623 435
6、8 719101112 13 14 17162418 19 2021 22231525 262728 293031323334353637383940414243 442.名词和符号说明(1） xn 二值变量，取 0 或 1(2） 表示位置 n 和 m 在同一条街道上(,)nmSTRE(3） 关联矩阵 R= (n 为定点数，m 为边数)，其中 = 即仅当以 i 为顶点的()ijnr ijr邻边是 时， =1 jeij（4） 覆盖 ： 若图 G 的每条边都至少有一个端点在顶点集 V 的一个子集 K 之中，则称 K为 G 的覆盖。（5）一个图可以有很多覆盖，含顶点个数最少的覆盖称为最小覆盖。3 模
7、型假设（1）所安装的监控摄像头都可以 360 度旋转，因此在几条街道的交汇处安装一个摄像头就可以同时对这些街道进行监控（2）可以安装摄像头的地方都是一条街道的末端，即一般可以安装摄像头的相邻的地点之间是一条街道（3）转化为图论问题时假定所有的路口都是可以安装摄像头的位置3.问题分析与模型建立题目给我们提供了可以安装摄像头进行监控的地方，我们只需要考虑在某地方是否安装摄像头。安与不安是两个方面，我们考虑用 01 规划来解决此问题。定义二值变量xn（n=1，2，43，44） ，当且仅当在位置 n 处设置了摄像头此时的变量踩取 1，否则为0.要使安装的摄像头数量最少，即 的值最小！41nx为了保证监
8、控到位，必须限定每条街道都应至少处于一个摄像头监控之下。因此，如果位置 n 和 m 之间存在一条街道，则需要在位置 n 上()或位置 m 上（）安装一个摄像头，或者在这两个位置上都安装摄像头。可以同时用两个摄像头监控一条街道，并且有些时候这样做能够带来一些好处：在图一中，在位置 4 和位置 8 上同时安装摄像头似乎对这条街道显得有些多余，但这两个摄像头同时能够对位置 5，6 和 7 方向的死胡同进行监控。经过上述分析我们可以建立一个非常简单的 01 整数规划模型：Minimize 41nx: xm+xn=1(,)mSTREn=1,2,3,.,43,440x4.模型求解要求解上述 01 整数规划
9、模型，我们首先要把约束条件满足的等式全部找出来，即每条街道上安装摄像头的位置的 xn 值之和大于等于 1.这个过程比较繁琐，但使用计算机求解就必须先完成这个步骤。通过人工查找共有 52 条街道，即可写出 52 个约束不等式，因为这些不等式没有规律，故只能一个一个的写出。我们知道解 50 个以下的变量的 01规划问题 LINDO 比较方便，本题只有 44 个变量故用 LINDO 软件求解将根据题目列出的不等式带入上面建立的 01 规划模型，并输入 LINDO：MIN X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X1
10、9+X20+X21+X22+X23+X24+X25+X26+X27+X28+X29+X30+X31+X32+X33+X34+X35+X36+X37+X38+X39+X40+X41+X42+X43+X44SUBJECT TOX43 =1X41+X43 =1X41+X42 =1X42+X44 =1X40+X39 =1 X39+X38=1X38+X37=1X43+X42=1X42+X38=1X44 =1X44+X37=1X41+X39=1X37+X35=1X34+X36=1X32+X33=1X33+X34=1X34+X35=1X35+X10=1X10+X9=1X3+X10=1X3+X1=1X3+X4
11、=1X4+X5=1X4+X8=1X8+X7=1X8+X6=1X33+X31=1X31+X28=1X28+X29=1X29+X30=1X23+X24=1X24+X25=1X25+X26=1X26+X27=1X34+X15=1X15+X18=1X18+X19=1X19+X20=1X20+X21=1X21+X22=1X21+X25=1X18+X12=1X19+X16=1X10+X12=1X12+X16=1X11+X12=1X11+X13=1X13+X16=1X13+X14=1X14+X17=1X14+X2=1X1+X2=1ENDINT 44最后一行表示 44 个决策变量全部为 01 变量运行程序得到
12、的结果x1=x4=x8=x10=x12=x13=x14=x18=x19=x21=x24=x26=x28=x30=x33=x34=x37=x39=x42=x43=x44=1由此可见最佳方案需要安装 21 个摄像头，即在标号为1，4，8，10，12，13，14，18，19，21，24，26，28，30，33，34，37，39，42，43，44的道口安装摄像头就可保证整个工业区的道路全在监控范围！图二用椭圆标记出了这些摄像头的位置。 摄 像 头 安 装 位 置 示 意 图图 二623 4358 719101112 13 14 17162418 19 2021 22231525 262728 2930
13、31323334353637383940414243 445.尝试转化为图论中的最小点覆盖问题5.1 问题分析与模型建立上面我们已经用 01 整数规划求出了最优解，再仔细观察该工业区的布局图，不难发现基本每条街道的路口都是可以安装摄像头的位置，但有且仅有一个路口不是，我们考虑大量位置的时候可以忽略这个位置，假设它也可以安装摄像头。我们可以把该工业区的布局图转化成一个图论模型，每条街道表示边，街道两端的路口表示顶点。我们把每条边和每个顶点分别标号，可以得到下面的点边图（图三）图 三623 4358 719101112 13 14 17162418 19 2021 22231525 262728
14、293031323334353637383940414243 4445我们必须先介绍覆盖和最小覆盖两个概念：（1）若图 G 的每条边都至少有一个端点在顶点集 V 的一个子集 K 之中，则称 K 为 G的覆盖。（2）一个图可以有很多覆盖，含顶点个数最少的覆盖称为最小覆盖。换言之在本道题目中就是要求每条街道都至少有一个路口安装摄像头，并且保证安装摄像头的数目最小。我们可以清晰的看到摄像头的安置问题实际为求图的最小点覆盖。5.2 模型求解因为关联矩阵表示的是顶点和边之间的关系，所以关联矩阵与覆盖密切相关。顶点集V 的子集 K 是图 G 的一个覆盖，当且仅当 G 的关联矩阵 K 中的各顶点所对应的行内
15、，每列至少存在一个元素“1” 。从关联矩阵可以找出一个最小覆盖。最小点覆盖问题没什么高效的算法，先就以一个简化的图的为例子说明最小点覆盖的求解方法。 该图的关联矩阵为 R=1001234015 下面从该矩阵出发求对应图的最小点覆盖，步骤如下（1） 在矩阵中取恰有两个“1”的那一列中“1”所在的行（如 3 行） ，令 3k，划去 3行及 3 行中元素所在的， ，列，得01245 （2） 在上面新矩阵中再取恰有两个“1”的那一列中“1”所在的行（如 5 行） ，令5k，划去 5 行及 5 行中元素“1”所在的列，得0214 （3） 因为 1大于2，1大于4（若对所有的 j 有，记 j 大于 k）
16、，划去 2，4 行，1k，过程结束，最小覆盖 k=（1，3，5）通过上面的例子我们可以简单的概括最小点覆盖的启发式算法：在关联矩阵中找出恰有两个“1“的那一列中”1“所在的行,选取其中任意的一行 i，i 点就归属最小覆盖集，划去 i 行及 i 行中元素”1“所在的列，这样便得到一个新的矩阵。对新矩阵重复上述操作直到不能继续进行此操作。用此算法可以求解出图三的最小点覆盖集，即 k= X1, X4, X8, X10, X12, X13, X14, X18, X19, X21, X24, X26, X28 ,X30, X33, X34, X37, X39, X 41,X42, X45 ，要注意特殊点
17、位置 45 也在其中，我们把位置 45 附近的点集做细微的调整，把位置 41 和位置 45 换成位置 43 和位置 44 也可以满足题目的要求。所以最终安装摄像头的位置是点1，4，8，10，12，13，14，18，19，21，24，26，28，30，33，34，37，39，42，43，44，和 01 规划的求解相同。6 总结本题主要解决的问题是选择安装摄像头的位置，并且在保证所有区域被监控的条件下安装摄像头数目最少。我们首先将这一问题转化为 01 整数规划问题，并用 LINDO 软件求解，求出的值为 1 的点的位置就是安装摄像头的位置。由于每条街道的两端基本（也有极少数街道只有一端可以安装摄像
18、头）都是可以安装摄像头的位置，我们可以把街道看做线段，安装摄像头的位置看作点，这样工业区的布局图就转化为一个图论模型，本题就转化为求图的最小点覆盖的问题了。利用图的关联矩阵求出最小覆盖的点集，这些点就是安装摄像头的位置！我们发现两种方法都可以求出闭路电视系统的最优监控方案，但转化图的顶点数目比较多时用最小点覆盖问题求解过程比较麻烦，像本题 45 个顶点求解就很麻烦，但用 01 整数规划问题求解就比较容易，所以最小点覆盖的启发算法比较适合顶点数目少的图论模型!并且用最小点覆盖求解的前提是必须能转化为图论模型！参考文献：【1】 熊启才 数学模型方法及应用 重庆大学出版社 2005 年【2】 刘建州 实用数学建模教程 武汉理工大学出版社 2003 年【3】 Christelle gueret 等 运筹学案例 dash optimization 有限公司【4】 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 高等教育出版社 2003【5】 刘承平 数学建模方法 高等教育出版社 2002
