1、 1函 数 零 点 问 题 的 求 解 策 略广东省普宁第二中学（515300） 邱海泉摘要：本文探讨了：利用函数的零点存在性定理研究函数在某区间上零点的存在性;巧用函数与方程思想，构造函数，数形结合，求解函数零点的个数; 巧用函数的性质，求函数的零点。通过渗透数学思想方法，优化学生的思维策略，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。关键词：函数零点 求解 策略函数的零点是高中新课标中新增内容，在教材中给出了具体的定义：“对于函数 ,我们把使 的实数 x 叫做函数 的零点，这样函)(xfy0)(xf 0)(xf数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 X)(fy轴交点的横坐标，所以方
2、程 有实根 函数 的图象与 X 轴有交)(xfxf点 函数 有零点” （必修 1.P95.人教版）)(xfy对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程 有实根 函数 的图象与 X 轴有交点 函数0)(f )(xfy有零点” 题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。兹总结如下：xy一 、函数零点的存在性定理指出：“如果函数 在区间a,b上的)(xfy图象是连续不断的一条曲线，并且 ，那么，函数 在区间0)(bfaf（a,b）内有零点，即存在 ,使得 ,这个 c 也是方程 的)(cc0)(x根” 。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个
3、区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例 1、函数 的零点所在的大致区间是（ ）xxf2)1ln()（A） （0，1） ； （B） （1，2） ； （C） （2，e） ； （D） （3，4） 。2分析：显然函数 在区间1,2上是连续函数，且 ,xxf2)1ln() 0)1(f，所以由根的存在性定理可知，函数 的零点所在的0)2(f xf2)1ln()大致区间是（1，2） ，选 B例 2.函数 在下列区间是否存在零点？（ ）2)(xf（A） （-3，-1） ； （B） （-1，2） ； （C） （2，3） ； （D） （3，4） 。分析：利用函数零点的存在性定理分
4、析，函数 在所给出的四个区2)(xf间中都不满足条件 ，但由函数 的图象可知它一定有零点0)(bfax。仅当函数 在区间a,b上是单调函数时，函数零点的存在性定0xxy理才是函数存在零点的充要条件。二 、求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：1对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如：例 3.求 零点的个数。xf2)(分析：本题直接求解，无法下手，由函数
5、 的零点也是方程xf2)(的根，即方程 的解，但这个方程不是0)(2xf x2熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数 、 ,在同一坐标系中作出它们的图象，可得21xyx出它们有三个交点，所以 零点的个数有三个。xf2)(2 对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与 X 轴交点的情况求解。如：例 4.函数 零点的个数为 1096)(23xxf 2yxy2XYO3分析： ，1096)(23xxf )3(19123)(/ xxxf令 ,得 列出 x,y/,y 的对应值表如下：0x,21x )(1 (1,3) 3 ),(/y+ 0 - 0 +y
6、 增函数 6值y减函数 1值y增函数作出函数 的草图可知，函数 的图1096)(23xxf )(xf象与 X 轴仅有一个交点，则 仅有一个零点。)(f注意：本类型题的特点是找出函数 的图象与 X 轴交点，)(xf实质上仍是求函数 与函数 交点的情况。若把)(xfy0y0y换成 ，相当在原题中引入参数 a，得出一般情况下的解法，如：ay例 5、 （例 4 变式题）试讨论函数 ( )零点的axxf 196)(23 R个数。分析：方法 1：直接模仿例 4 的解法，可得如下表格:x ),(1 (1,3) 3 ),3(/y+ 0 - 0 +y 增函数 ay值6减函数 ay值1增函数然后再结合函数 的图象
7、与 X 轴的关系，确定分类讨论的标准，由极大)(xf值、极小值与零的关系，讨论图象与 X 轴交点情况，得出如下结论：当 即 时有一个交点；当 即01ay值1 01ay值时有两个交点；当 且 即0a 0ay值6时有三个交点；当 即 时有两个交点；当616即 时有一个交点.ay值6-10X Y O 1 34方法 2：通过构造函数 与 转化求解，利用1096)(23xxf ag)(例 4 的方法可得到函数 的图象，讨论两个函数图象的位置关系，y可得出结论：当 仅有一个零点；)10,(a当 有二个零点；当 有三个零点；10a)6,(当 时有二个零点；当 仅有一个零点。6例 6、已知 ，函数 在区间（0
8、，3）内零点的个数为 51)(23axf。分析：本题利用导数法可得出 在区间（0，3）上是单调递减函数，且)(fy, ，由函数的图象可知仅有一个01)(f 598)(f零点。三求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。如：例 7、求函数 的零点。36)35()5xxf分析：考察 的特点，直接求解难以入手，可0转化为求 的解，根据式子特点构造函数)()()35(5xx，显然 为奇函数，且在 R 上单调递增，由xg)g可化为 ，故利用函数)()(55x )()35(xgxg的性质可得 ，则 ，所以函数 的零点为)x 21f21x综上所述，对于函数的零点问题，我们除了要掌握利用函数的零点存在性定理判断外，还要更好地懂得利用函数与方程思想，构造函数，数形结合，优化解题的策略，提高学生分析问题、解决问题的能力。-10)(xfy X YO 1 3
