1、注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 1 页）青岛科技大学 试题_2014_年_2015_年第 一学期课程名称：数值分析 专业年级： 2014 级（研究生） 考生学号： 考生姓名：试卷类型： A 卷 B 卷 考试方式:开卷 闭卷 一. 填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1.设有节点 ，其对应的函数 的值分别为 ，则二次拉012,xyfx012,y格朗日插值基函数 为。()l2.设 ，则 关于节点 的二阶向前差分为。2fxfx012,
2、3xx3.设 ， ，则 ， 。10A231A14. 个节点的高斯求积公式的代数精确度为。n二简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点x迭代序列收敛于 的不动点？x3. 设 n 阶矩阵 A 具有 n 个特征值且满足 ，请简单说123n明求解矩阵 A 的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一个次数不高于 3 的多项式 ，满足下列插值条件：3Pxix1 2 3iy2 4 12i3注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅
3、答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 2 页）并估计误差。 （10 分）四试用 的牛顿-科特斯求积公式计算定积分 。 （10 分）1,24n 10Idx五用 Newton 法求 的近似解。 （ 10 分）()cos0fx六试用 Doolittle 分解法求解方程组：（10 分）123256049x七请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并12304850x判断其是否收敛？（10 分）八就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 （10 分）0()y注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题
4、册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 3 页）数值分析（A ）卷标准答案（200920101）一 填空题（每小题 3 分，共 12 分）1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。12000()xl2n+1二简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4 分）对于对称正定阵 A，从 可知对任意 k i 有 。即 L 的元素不21iikal|ikila会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4 分）2. 解：（1）若 ，则称 为函数 的不动点。 （2 分）*x*xx（2
5、） 必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点：x1） 是在其定义域内是连续函数； （2 分）2） 的值域是定义域的子集； （2 分）x3） 在其定义域内满足李普希兹条件。 （2 分）3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8 分）步 1：输入矩阵 A，初始向量 v0，误差限 ，最大迭代次数 N;步 2：置 k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步 3：计算 vk=Auk-1;步 4：计算并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步 5：若|mk- | ，计算，输出 mk,uk；否则，转 6；步 6：若 kN,置 k:=k+1, :=mk，转 3；否则输出计算失败
6、1max;kkriinvv注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 4 页）信息，停止三 解：（1）利用插值法加待定系数法：设 满足 则 （3 分）2px2221,4,31,p2276,px再设 （3 分）3Kxx（1 分）K（1 分）3239156px（2） （2 分）243 3!Rxfxx四解：应用梯形公式得 （2 分）1012Iff（1 分）0.75应用辛普森公式得： （2 分）246Ifff（1 分）0.9应用科特斯公式得：（2 分） 41137322
7、744Ifffff （2 分）0.69317五解：由零点定理， 在 内有根。 （2 分）cos0x(,)由牛顿迭代格式 （4 分） 1s0,1.innx取 得，04x（3 分）1234.7963;0.79851853x故取 （1 分） *40.1x六解：对系数矩阵做三角分解：注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 5 页）（2 分）12132132560419ul（4 分）56217344ALU若 ，则 ； （2 分）Lyb1230,y若 ，则 （2 分）U
8、x(,)T。七解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为（2 分）0.5.1.B其特征多项式为 ，且特征值为2det()1.5I（2 分）1230,.5,.ii故有 ，因而雅可比迭代法不收敛。 （1 分）1B（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为（2 分）0.5其特征值为 （2 分）1230,5故有 ，因而雅可比迭代法收敛。 （1 分）.5B八证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）1. 证：该问题的精确解为 （2 分）0()xye注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 6 页）欧拉公式为 （2 分）1(1)iiiiyhyy对任意固定的 ，ix有 ， （2 分）/ 1/00()()i ihxhiyy则 （1 分）ixie2.证：牛顿迭代格式为 （3 分）125,0,16nxa因迭代函数为 而 又 ， （2 分） 2,x35,x*3a则。331062a故此迭代格式是线性收敛的。 （2 分）
