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1、数理经济与计量经济学协整向量误设对相关检验的影响叶光 张晓峒（南开大学经济学院国际经济研究所，天津，300071）【内容摘要】常用于检验既定协整关系的统计量有两种： 和 ，但由于真实数据生KDFtECM成过程未知，估计模型中可能存在一定程度的协整向量误设，从而使统计量的分布特征受到影响。论文首先探讨 检验的隐含系数约束 ，即短期弹性等于先验长期弹性；然KDFt a后分析零假设下两种统计量的分布特征，以及先验设定 对信号噪声比 ，进而对 分qECMt布特征的影响；最后在局部备择假设下，给出两种统计量的渐近分布，并表明向量误设会降低协整检验的势，其程度与设定误差 正相关。一定程度上，KED（199

2、2）的很多结论d可以视为本文分析结果的特例。关键词：协整，向量误设，检验势The Effect of Vector Misspecification on Cointegration Tests【Abstract】When the cointegration vector is prespecified, people usually use and as KDFtECMtest statistics. But because real DGP is unknown, it is inevitable to encounter the problem of cointegration vect

3、or misspecification in the estimated model, which will influence the characteristic of statistics distribution. Firstly, this paper discusses the coefficient restriction imposed by test that equals , that is, the short-run elasticity equals the prespecified long-KDFtarun elasticity; then analyzes th

4、e distribution characteristics of these two statistics under the null hypothesis, and the effect of on “signal-to-noise” ratio and then the distribution of . In the ECMtlast, this paper gives the asymptotic distribution of these two statistics under the local alternative, and proves that vector miss

5、pecification would result in the reduction of the power of cointegration tests that is positively correlated to the misspecification error . To some extends, many dinferences in KED（1992）can be viewed as special cases of our conclusion.Key words：Cointegration, Vector Misspecification, The Power of t

6、est一、引言协整关系反映的是非平稳时间序列之间存在的长期稳定关系，例如消费与可支配收入、工资与价格水平、长短期利率等经济变量序列，单个都是非平稳的，而这些序列之间却存在着一种稳定关系，以使彼此偏离不会太远。通常用来检验协整关系的方法有三种：一是EG 两步法，也就是基于回归残差的 ADF 单位根检验，Engle 和 Granger（1987） ；二是通过对 ADL 模型误差修正项系数的显著性分析进行的沃尔德检验，Boswijk(1989)，Boswijk（1991） ；三是在 VAR 模型基础上进行的似然比检验，Johnsen（1988） ，Johnsen和 Juselius（1990） 。似

7、然比检验主要用来分析诸多变量组成的 VAR 系统，借助典型相关理论，进行协整检验的同时确定协整关系。如果需要对特定的协整关系进行检验，前两种方法就显得比较简单实用，但具体应用中发现，这两种方法有时对于同样的数据却可能得到完全相反的结论。Kremers，Ericsson 和 Dolado（KED，1992）在强外生性假设下对此进行了详细的分析，指出 EG 检验施加了共同因子约束，如果该约束无效，虽然检验依然是一致的，但相对于不施加共同因子约束的沃尔德检验，就存在检验势的损失，进而造成二者检验结果的不一致性。Zivot（2000）借助 Hanson(1995)对单位根检验的相关分析，在更为一般的条

8、件下，对此进行了扩展分析。对特定的协整关系进行假设检验时，不禁要问的是这些协整向量是怎样得到的，通过现有数据估计，还是依托于相关经济推理？不论采用哪种方法，确切的数据生成过程未知，真实值与估计值之间难免会存在误差。如果真实的协整关系未知，则通常使用其估计值进行相关推断，这就造成了协整向量误设。真实过程是不可知的，因此向量误设也是难免的，只是程度不同而已。具体可以分其为两类：一是真实过程不存在协整关系，却设定一定的协整向量进行统计推断；二是序列间的确存在一定的协整关系，但与统计推断所采用的协整向量存在一定的设定误差。事实上，一类误设就是用来分析零假设下的统计量分布情况，据此可以分析检验水平和相似

9、性等特征。二类误设分析主要基于 Phillips（1987b，1988）的相关结论，研究局部备则假设下协整检验势的变化情况。与 KED 分析不同，本文主要强调协整向量误设对信号噪声比 的影响，进而造成2qADL 误差修正项系数的分布函数和检验显著水平的变化。 不影响 ADF 检验统计量的分布形式，因而该检验是相似的，但共同因子约束会造成一定程度上势的损失。对局部备则假设下二类误设对 ADL 检验势的影响， Zivot（2000）在一般条件下进行了简单分析，本文将在一个较易理解的框架下，比较局部备则假设下 ADF 和 ADL 检验统计量的分布情况，讨论误设对协整检验势会产生哪些影响。二、协整与误

10、差修正模型（ECM）Granger 表现定理说明，任何协整向量都存在其误差修正模型的表现形式，一定条件下两者一一对应。因此，很多协整问题分析可以从简单的两变量 ECM 着手，易于处理且又能有效说明问题。这里遵循 Banerjee，Dolado ，Hendry 和 Smith（1986） ，特别是KED（ 1992）的分析方法，同样使用残差正态分布的线性一阶向量自回归模型作为原始数据生成过程： tt tttuxv)xb(yay1 20 ，INuvTt1(2)显然， 和 都是 I(1)过程，且格兰杰因果关系是单向的。式（2）中水平项 系tt 1t-t-xy数为零，正如 Johansen（1992b

11、）所证明的那样， 对于系数 是弱外生的，而 又tx),(bt不是 的格兰杰原因，因此 是强外生的。模型中参数空间限定为txtx,如果 且 ，则 是 对 的短期弹性， 为相应010b，aYylnXlaY的长期弹性，前者通常小于后者反映了很多经济变量的短期刚性和长期弹性。此外， 和ty是否存在协整关系取决于系数 的取值， 则意味着二者存在协整关系， 则相txb00b反。如果 和 之间存在协整关系，则协整向量为（ ） ，它为研究需要而专门设定，tytx ，1实际中不可能确切知道，而只能通过现有数据或是相关经济理论进行估计。假设估计值为（ ） ，则可以定义 作为向量设定误差。如果先验设定长期关系时能够

12、结合，1d短期关系的相关信息，则可进一步设定 。于是可以将式（1）变换为：a（3）tttttttttt xybxvbxybxay )()( 111利用 ECM 检验协整关系时，首先要通过 OLS 估计式（3）：（4）ttttw1这里 、 和 为估计值， 为先验的非均衡项，除非向量正确设定，通常它abt tttxy不同于真实的非均衡项 ，两者之差为 。ttttxd)(利用 ECM 估计式（4）进行协整检验时，基于 ADL 模型的沃尔德检验就可退化为所谓的 ECM 统计量，即估计系数 的 值，表示为 。这是因为 可以用来检验btECMtECMt的零假设，而 又意味着 和 之间不存在协整向量为（ ）

13、的协整关系。0b0yx，1注意，先验推断值（ ）与可能的真实值（ ）之间存在设定误差 ，如果真实过，11d程中两者存在协整关系，则二类误设将导致估计式（3）的残差自相关，从而需要在局部备择假设下进行渐近处理， 将成为渐近分布中一个至关重要的参数。但在 的零假设d 0b下，无论协整向量如何先验设定，只要不是零向量， 都是 I(1)过程，统计量的渐近分布tw一定程度上会受 的影响，而与一类误设无关。这一特征在基于残差 ADF 单位根检验a的 EG 两步法中将表现的更加明显。协整向量先定情况下，EG 检验是通过对非均衡误差做 ADF 单位根检验进行的。对式（1）中 ECM 进行适当的调整可以得到：（

14、5）tt-tttt vxabdxb(yxy )()( 11将 代入可得：tttw（6）ttte1其中干扰项 为：t（7）tttt-t vxaevxabdxe )()(0b1 利用 OLS 估计式（5）得到：（8）tttew1EG 两步法中协整检验统计量为式（ 8）中 的 值，表示为 。在零假设下， 是btDFtDFt一个相似统计量，此时设定误差完全不影响其分布情况，而在备择假设下设定误差的影响与 ECM 检验基本一致，只是具体的形式有所区别。对比 ECM 估计式（4）和 ADF 估计式（8）容易发现，后者忽略了包含在 中的潜tx在信息，而 又蕴含于 时刻的信息集内，因此零假设下 是白噪声而不是

15、创新。txt tte式（8）对 中的潜在信息的忽略也可等价的看作是施加一个隐含的系数约束 ，也t a即是短期弹性等于先验的长期弹性。当然，如果真实向量 已知，则估计方程中会直接设定 ，从而隐含约束变为 ，即短期弹性等于真实长期弹性，tttxywaKED（ 1992） 。结合 和式（6） ，可以得出更一般的结论，正如式（ 9）所反映tttxy的那样，式（6）施加了共同因子约束，其中共同因子为 ：)1(Lb（9）tt eLbLb)1()1(三、零假设（一类误设）下统计量的分布特征一类误设与 的零假设实质上是对应的，只是在研究出发点上有所区别。前者强0调真实过程不存在协整关系，估计模型中协整向量是一

16、种先验的错误设定；后者体现的是统计量分布特征的研究方法，它先设定估计模型而后在实验中人为地选择数据生成过程。虽然两者并无本质区别，所得统计量分布特征也一样，但出于统计方面的考虑，我们依然基于后者进行研究，其原因在于相对而言后者更容易被人接受，而且还有利于后续研究的理解与说明。但无论如何，在（1） 、 （2）所示的数据生成过程中，只要 ，两个非平0b稳序列之间必然不存在协整关系，任何非零线性组合都是非平稳的， 为 I(1)tttxyw过程。通过估计式（8） ，可以计算 ADF 统计量为：（10）()()121et/-tDF )/wb/est其中， 表示 标准差的估计值， 为残差方差的估计值。在

17、的零假设下，式)(bes e 0b(7)表明 是白噪声， 是 的一致估计量。用 ， 表示维纳过程，则非ttb )(rW1稳定过程的很多统计量都可以表示为 的泛函形式。为便于描述，借助 Banerjee 和)(rHendry（ 1992） ，KED（1992）的一些缩略表示，则有：（11）21)()(/eeDFdrWt关于 统计量的相关研究很多，迪基-富勒利用蒙特卡罗模拟对其有限样本特性进行了深入研究，并列出相应的临界指表，Fuller（1976） 。麦金农给出了响应面函数的具体形式，可用于计算各个样本容量下的临界值，Mackinnon(2001)。需要强调的是，无论样本容量无限还是有限，模型参

18、数的设定都不影响 统计量的具体分布。正如前文所说， 是一个DFt DFt相似统计量，一类设定误差完全不影响其分布情况。借助 KED（1992）的相关推论，在 的零假设下， ，由估计0btttt vbdx1式（4）可以得到 统计量为：ECMt（12）)()() 21121 /pvt/-tECM TO)/wb/est 同样，引入 泛函， （12）式中 统计量的极限分布为：rWECM（13）21212 21222/1)()()(/( /vvu-uu /uvvuvuueveEC drWqrqdrWdraadrdt 式（13）中 统计量的渐近分布与 KED（1992）的式（ 17）在形式上基本一致，而且

19、ECMt的定义也基本一致，都反映了式（7）中 的两个组成部分的相对重要性，也即是所谓的q te“信号噪声比” ，只是具体的表达形式有所区别：（14）vu)(aKED（ 1992）对 的含义有着比较详细的说明，但需要指出，这里 统计量退化为q ECMt统计量的条件是，短期弹性 等于先验的长期弹性 ，而不是所谓的真实长期弹性 。DFt a如果该条件不满足，则 统计量的极限分布取决于 的取值，而 又是 、 、 和ECMt qau的函数，因此 不是一个相似统计量，这对于有限样本也成立。v分析式（14）中 的各个组成部分会发现，只有变量 最容易受到人们主观行为的干q扰，这一点从向量误设的角度会比较容易理

20、解。对于既定数据而言，其真实数据生成过程，以及相应的总体矩 、 和系数 都是确定的，真实过程虽然是无协整关系的，但它是uva未知的，需要先验设定协整向量以进行相关检验，而正是这个先验的设定影响了 ，进而q影响了 的渐近分布。因此，在零假设下，相对于总体矩 、 和系数 而言，先验ECMt uva设定 对渐近分布的影响似乎更为重要，但这在备择假设下并不正确，此时先验设定 需 要局限在真实向量 的临域内，否则估计模型会因为残差的自相关性而失去实际意义。此外，式(13)还表明当 很大时， 统计量近似于标准正态分布：qECMt（15）)()10()()()( 1121 qO,NdrWt pp/uvuEC

21、M可以在 的零假设下，取较大的 值来模拟这一结果：设定 ，0b50.a， ， ，模拟 10000 次，所得到的 统计量的均值为 0.055，标准差1TECMt为 1.016，偏度为-0.012，峰度为 2.968，与标准正态分布的分位数对应图（QQ 图）近似为一条 直线。45四、向量误设（二类误设）对协整检验势的影响二类误设是指，真实过程存在协整关系，且协整向量为（ ） ，但估计模型先验设，1定（ ）为协整向量，设定误差是 。如果存在二类误设，则式（3）和（5），1d表明，无论选择哪一个统计量，残差中都会包含一项 ，且 ，这意味着残差是1tbdx0自相关的，系数 的估计值是非一致的。因此，为进

22、行有效的统计推断，理论分析必须在b所谓的局部备择假设下进行，以保证 时， ，估计系数渐近一致。T非平稳过程检验统计量的局部渐近性质是由 Phillips（1987b，1988）给出非中心化分布定理发展而来的。基于式（1）和（2）中的数据生成过程，给出的局部备择假设是：（16）c/Tebc/其中， 取一既定负值，从而 ，残差渐近于白噪声，估计系数也渐近一致。0cd/Tb此外，后续分析还要用到 Phillips（1987b）定义的差分过程：（17）)()(rdWrcJd也即是（18）s)()()( 0)(0)( rc-src-sc dee显然， 也可视为 的函数，特别地，当 时， 就退化为标准的维

23、纳过程。J )(rJc式（18）给出了 和 之间的函数对应关系，因而自变量 的取值范围依然是)(rc，在不引起歧义的前提下，缩略表示同样省略定积分的上下限。1,0虽然协整关系意味着 是平稳的，且满足 ，tttxyw tttt vx)(abw11但由于存在误设， 显然是非平稳的。根据 Phillips（1987b）的1t-tttt d分析，在式（16）中的局部备择假设下，令 ，则有ttt vxa1)(，因而根据连续映射定理可得：)(21rJwTr/ （19）)()(121 rW-drJxduTrT/ 而且，因为 是外生的， 与 相互独立，根据 KED(1992)相关推论有：txttutv（20）

24、)()()()( 11 rJqrJarJ vuvu 这里 ，与 KED（1992）定义的 完全一致。一个与 类似的定义是)q qZivot（2000）中的 ，在这个简单数据生成过程中， ，容易2 )(22vuva看出 和 的关系是 。将式（20）代入（19）中，并令2/12 )(得到：vuds（21）);,()()(-21 rsqKrWdrJqwT vuvuvur/ 为表述方便，式（21）中引入了一个新的随机过程 ，以描述非平稳过程 的渐;, tw近分布形式。从而依据 Phillips(1987a)，Banerjee 和 Hendry（1992）对随机过程的相关讨论，与 相关的一些常用统计量都

25、可以表示为 和 的泛函形式。t );,(rsq (在局部备择假设下，依据 Phillips（1987b)，通过估计式（ 8）得到 ADF 统计量：（22） ett/-te/t- et/-te/t-KDF /xwcdTwc )/b/est ()()( () 112121 211 因为局部备择假设下，残差项 渐近于 ，因此残差方差估计值 也渐近收敛于 。利tt ee用式（20）和连续映射定理可以得到 统计量的渐近分布：KDF（23）1/221/221/22 ),()(),(),()( drsqKWcdrsqWdrsqKct ueueevKDF 显然，存在二类误设时，在局部备择假设下， 统计量的渐近

26、分布取决于系数 、KDFt c和 ，以及白噪声过程 与 、 的标准差之比。当 ，即不存在误设时，误差项qdtetutv0d，式（19）退化为简单的 ，替换（23）式中对应的 项可以得到tte)(rJe ),(sqv一般的局部渐近形式，Phillips（1987b，1988）：（24）1/21/2)()(drJWdrJct eeKDF除了随机过程 与 的差别外， （23）式不同于（24）式之处主要在于多了最e;,sqK后一项。而该项分子部分反应的正是样本容量无限时， 与 的相关关系，忽略平稳twdxt-1部分 的影响，二者一定呈负相关关系，因而该项为正（ 为负数） ，也即是说，向量误twc设必然

27、会降低 ADF 协整检验的势，且降低程度与设定误差的绝对水平呈正向关系。此外，如果 ，则回到 的零假设情形下，式（23）只剩下中间一项，用 代替 ，0c0b )(rW)(J则式（23）退化为式（11）所示的零假设下的渐近分布。在局部备择假设下， 统计量的分析类似，首先通过估计式（3）得到：KECMt（25)()()()() 21112121 t211 /ptt/-t/t- /-t/t-KECM TOxwcdTvwc /b/est ）同样，局部备择假设下，残差项 渐近于 ，因此残差方差估计值 也渐近收敛于 。tt v进而借助连续映射定理可得其渐近分布：（26）1/221/221/22 r),()

28、(),(),( dsqKWcdrsqKWdrsqKct uvuvKECM 因此，局部备择假设下， 统计量的渐近分布也取决于系数 、 和 ，还有白噪ECMt c声过程 和 的标准差之比。在 的情形下， ， ，tutv021)(/ve）退化为简单形式 ，代入式（26）可以得到与);,(rsq )()(1rJqrvuKED（ 1992）式（ 33）同样的局部渐近表达式：（27）1/22121/212ECM)( drJqrJqdrJWrJ)c(t vvu-uue/K而且， （26）式与（27）式在最后一项上的差别同样说明，向量误设会降低基于 ECM 的协整检验的势，且降低程度与设定误差 的绝对水平相关

29、。如果 ，式（26）也只剩中0c间一项，用 代替 ，可以得到式（13）所示的零假设下的渐近分布。)(rW)(J对比式（23）和式（26）可以发现，当约束条件 满足时， ， 统计量aveKECMt与 统计量的渐近分布是等同的。如果约束条件不满足，则 ，从而在不存在误设KDFt 的情况下，根据第一项系数的比较可以得到与 KED（1992 ）相同的结论，即 统计量t将具有更大的检验势。但设定误差的存在使两种统计量的比较变得十分困难，其原因在于，式（23）和（26）中设定误差的影响都体现于等式右侧的第三项，虽然前者系数依然较小，但该项数值为正，说明误设会导致 统计量较大的势损失。的确，单凭解析的方法根

30、本KECMt不可能判断存在误设时两个统计量孰优孰劣，但蒙特卡罗模拟可以为此类问题提供一个较好的解决方法，此类研究将后续进行。虽然前述分析一直强调，存在设定误差的情况下为了得到渐近一致的估计量，所有的分析必须局限在所谓的局部备择假设下进行。但这一约束在实际应用可以在很大程度上放宽，在式（3）和（7）的残差中，导致自相关的项都是 。因此，只要设定误差不是1tbdx太大，即便对于参数空间内的固定备择假设，残差自相关在统计意义上通常也不显著。五、结论很多协整检验是在协整向量已知的情况下进行的，或是对非均衡误差做 ADF 单位根检验，或是直接检验 ECM 中水平项的系数是否为零。但事实上，真实的数据生成

31、过程是未知的，相应的协整向量也是未知的，先验地设定协整向量可能会产生两类向量误设：一类指真实过程不存在协整关系，但估计模型错误设定了协整关系；二类指真实过程确存在协整关系，但估计模型中存在设定误差。论文分别研究了这两类误设对相关检验的影响，具体结论如下：1对两种检验方法进行比较，发现存在向量误设的情况下，非均衡误差 ADF 检验所隐含的系数约束是 ，也即是短期弹性等于先验的长期弹性，而不是 KED（1992）中a的 等于真实长期弹性 ，只有模型正确设定时，两者才是一致的。a2一类误设实质上与零假设是对应的，此时两个统计量渐近分布中，与KED（ 1992）所建议的信号噪声比类似的 同样起着重要的

32、作用。只是存在向量误设情况q下，可能受人们主观推断影响的先验设定值 更应该受到重视，它通过方程（14）影响 ， q进而影响零假设下的 统计量的渐近分布。ECMt3存在二类误设时，估计模型中的非均衡误差将是非平稳的，论文借助Phillips（1987b）的相关研究，在局部备择假设下分别给出了统计量 和 的渐近分布KDFtECM的泛函形式（23）和（26） 。进一步分析发现，在设定误差 时，两式就分别退化为式0d（24）和（27） ，对应于 Phillips（1987b，1988）和 KED（1992）的相关结论。此外，两个统计量的检验势都会因为存在向量误设而降低，但它们之间孰优孰劣很难通过解析方

33、法进行分析，蒙特卡罗模拟可能会给出一些较好的建议。如前文所述，一定程度上本文的结论的确包容了 KED（1992）中的很多分析结果，但这只是研究目的之一。除此之外，本文还为对存在向量误设时两统计量的进行蒙特卡罗模拟比较提供了相应的理论基础。还有，利用 ADL 模型推断且协整向量未知时，根据 Kiviet和 Phillips（1992）的建议，可以不约束二者关系，协整检验与向量估计同时进行。不约束协整关系与适当的误设协整关系，对它们的检验势进行比较将具有一定的现实意义。参考文献：Banerjee, A., Dolado, J.J., Hendry, D.F. and Smith, G.W. (19

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36、rdam.Engle, R.F. & C.W.J. Granger (1987). co-integration and error correction: Representation, estimation and testing. Econometrica 55, 251-276.Fuller, W.A. (1976). Introduction to statistical time series. John Wiley and Sons, New York.Hanson, B.E. (1995). Rethinking the univariate approach to unit

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