1、2012 年 3 月23数 学 实 验Mathematics Experiment实验一 一元函数及其图形本实验的目的是通过图形来认识函数，并运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性，建立数形结合的思想.Mathematica 作图主要命令如下：1.画散点图的命令为ListPlotx1,y1,x2,y2,xn,yn,选项或者 ListPloty1,y2,yn,选项命令 ListPlot 的选项主要有两个:(1) PlotJoined-True, 要求用折线将散点连接起来;(2) PlotStyle-PointSize0.02, 表示散点的大小.2.画区间 上函数 的图形的命令为ba,)(xfy
2、Plotf,x,a,b3.画参数方程 所表示曲线的图形的命令为,)(,)(batgtfxParametricPlotf ,g,t,a,b4. 隐函数作图命令 ImplicitPlot这里同样要先打开作图软件包, 输入RGBColor1,0,0输出 (2) 输入g2=PlotSinxfx,x,-4,4,PlotStyle-RGBColor0,1,0输出实验 2 观察函数 的图形.xy1sin解： 输入 PlotSin1/x,x,-1,1;输出从图中可以看到函数 在 附近来回振荡.请解释其原因.xysin实验 3（参数方程的图形）绘出以下参数方程的图形. ttyx3sin2)(co解：输入xt_=
3、2Cost3 ；52 1 1 221120.5 0.50.050.05yt_=2Sint3；ParametricPlotx1t,y1t,t,0,2Pi输出实验 4 画出分段函数 的图形.0,sin)(xxf解： 输入fx:=x2Sin1/x/;x0;fx:=0 /; x=0;Plotfx,x,-0.8,0.8,PlotRange-0.08,0.08输出实验 5 分别画出坐标为 的散点图，并画出折)10,.2(,)4,(,322iii、）（线图.解：输入t1=Tablei2,i,10;g1=ListPlott1,PlotStylePointSize0.02;g2=ListPlott1,PlotJ
4、oinedTrue;Showg1,g2t2=Tablei2,4i2+i3,i,10;g1=ListPlott2,PlotStylePointSize0.02;g2=ListPlott2,5PlotJoinedTrue;Showg1,g262 4 6 8 10204060801020 40 60 80 10204060801001201402 1 1 22020404 2 2 41.00.50.51.0输出 1.2 函数性质的研究给定二维曲线图形，如何判断一个图形是某一个函数的图形已在高等数学中介绍.若其是某一个函数的图形（一个 ,对应图形上的一点） ，我们如何从图形观x察函数的单调性、奇偶性、
5、周期性等？实验 6 研究函数 在区间-2,2上的图形特性.)3(log)(5exfx解： 输入Plotx5+3Ex+Log3,3-x,x,-2,2输出实验 7 判断函数 是否为周期函数？xxfcossin)(解： 输入PlotSin2Pi x+Cos2Pi x,x,-4,4输出实验 8 判断函数 的反函数的存在性.若存在，求反函3)(23xxfy数的表达式，并画出其图形.73 2 1 1 2 31.00.80.60.40.20.20.4解：输入Solvey=x3+3x2+3x+1,x得反函数为 31xy再输入Plot-1+x(1/3),x,-3,3;输出实验 9 制作函数 的图形动画，观察参数
6、 C 对函数图形的影响.cxsin解：输入ManipulatePlotSincx,x,-Pi,Pi,PlotRange-1,1,c,1,4,1/3输出1.3 关于函数图形的进一步研究利用 Mathematica，我们可以画出一些难以想象的图形.实验 10 画出以下参数方程的图形（1） (2)tttyxsin7)51sin()(cocotttyx3cosin)(5(3) tttxsi)4co2si()解：分别输入（1）ParametricPlot5 Cos-11/5 t+7 Cost,5 Sin-11/5 t+7 Sint,t,0,10 Pi,AspectRatioAutomatic810 5
7、5 101055100.5 0.5 1.00.50.5（2）ParametricPlotCos5tCost,SintCos3t,t,0,Pi,AspectRatio-Automatic（3）ParametricPlot(1+Sint-2Cos4t)*Cost,Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio-Automatic,AxesNone输出，得实训：1. 把正切函数 和反正切函数 的图形及其水平渐近线 和xtanxarctn 2/,/y直线 用不同的线型画在同一个坐标系内.y2.观察函数的叠加, 输入以下命令:a1=Plotx,x,-5,5,PlotStyle-RGBColor0,1
8、,0a2=Plot2 Sinx,x,-5,5,PlotStyle-RGBColor1,1,0a3=Plotx+2 Sinx,x,-5,5,PlotStyle-RGBColor1,0,0Showa1,a2,a33.首先回忆一下 的性质，研究一个函数 后图形的变化趋势.xsin xfsin)(乘 以具体研究步骤如下：(1)在区间0 ,15上作出函数 的图形.yxysi,321(2)在区间0 ,15上作出函数 的图形.xnllnl(3)任取一个函数 和一个区间，作出函数 的图形.)(xf )(si)(21fyfy和(4)试给出函数 的图形之间的关系.)(si21xfyy和920 40 60 80 1
9、01.11.21.31.4实验二 极限本实验的目的是通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用 Mathematica 画散点图, 以及计算极限的方法.1. Mathematic 求极限的命令如下:Limitfx,x-aLimitfx,x-a,Direction-1;Limitfx,x-a,Direction-+1;Limitfx,x-Infinity,Direction-+1;Limitfx,x-Infinity,Direction-1.2.1 数列的极限实验 1 观察数列 的前 100 项变化趋势. n解：输入t=NTablen(1/n),n,1,100;Li
10、stPlott,PlotStylePointSize0.01实验 2 利用动画观察当 的变化趋势.2nan时 数 列解：输入Cleartt;tt=1,1/22,1/32;Animatett=Appendtt,N1/i2;ListPlottt,PlotRange-0,1,PlotStyle-PointSize0.02,i,4,2010从输出的图中可以看出所画出的点逐渐接近于 x 轴.实验 3 研究极限 .152lim3n解：输入Printn, “ “, Ai, “ “,0.4-Ai;Fori=1, i0实验 8 第二个重要极限 .1limxx解： 输入Limit(1+1/n)n,n-Infini
11、ty输出为 e. 再输入Plot(1+1/x)x,x,1,100则输出函数 的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限x1.1limexx实训：131. 设数列 计算这个数列的前 30 项的近似值. 作散点图, 观察.12133nxn点的变化趋势.提示: 输入Clearf;fn_:=Sum1/j3,j,1,n;xn=Tablefn,n,302. 计算极限 xxsin1silm)1(0 xxe2lim)(30sitali)3(xxxx0li)4(实验三 函数的连续与间断本实验的目的是进一步理解函数连续的概念，熟悉几种间断点的类型与间断点的图形特征.3.1 一元函数连续的概念实验 1 考
12、察函数 在 处的连续性.xfsin)(5解：选取几个 考察当 时, 的变化趋势, 依次取nxnxsi ,1l,1)(5,15 5nnnn 当 时, 他们的极限均为 5.输入命令g1 = ListPlotTableSin5 + 1/n, n, 1, 1000, 5,PlotStyle - RGBColor1, 0, 0;g2 = ListPlotTableSin5 + (-1)n/Sqrtn, n, 1, 1000, 5,PlotStyle - RGBColor0, 1, 0;g3 = ListPlotTableSin5*n*Log(1 + 1/n), n, 1, 1000, 5,PlotSty
13、le - RGBColor0, 0, 1;1450 10 150 200.980.960.940.920.10 0.05 0.05 0.100.9900.9951.002 1 1 21.00.50.51.0g = Showg1, g2, g3;则输出相应的 的散点图. 由图可看出它们趋于同一极限值.)sin,(x3.2 不同类型间断点的图形特征下面将说明各种不同类型间断点的图形特征实验 2 函数 在 点处间断，且间断点为可去间断点，请观察xfsin)(0其图形特征.解：输入PlotSinx/x,x,-0.1,0.1输出实验 3（跳跃间断点）考虑符号函数 在 点处的间断情0,1,)sgn(x况解
14、：输入PlotSignx,x,-2,2输出实验 4（无穷间断点）考察函数 在 处的间断情况2)(xf1153 2 1 1 2 342241.0 0.5 0.5 1.01.00.50.51.0解：输入Plot1/(1-x2),x,-3,3输出实验 5（振荡间断点）考察函数 处的连续性.01sin)(xxf在 点解：输入PlotSin1/x,x,-1,1输出实训1.观察函数 的图形特征，并指出 处的间断类型.xef1)(0x2.观察函数 的图形特征，并指出 点的间断点类型.cos 13.求下列极限：16xxxsin1silim)1(0 xxe2lim)2(xsicoli)3(20xxcos10in
15、l)4(实验四 一元函数的微分学本实验目的是帮助学生深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义.掌握用 Mathematica 求导数与高阶导数的方法.深入理解和掌握求隐函数的导数.Mathematic 命令如下：1.求导数和求微分的命令Df,xDf,x,nDf,x,y,z,Dtf,xDtf2.循环语句 DoDo表达式, 循环变量名, 最小值, 最大值, 增量当省略增量时, 默认增量为 1. 省略最小值时, 默认最小值为 1.例如,输入DoPrintSinn*x,n,1,10则在屏幕上显示 Sinx,Sin2x,Sin10x 等 10 个函数.4.1 导数的概念实验 1 用定义法求 的导数.13
16、)(2xxf解：输入Clearf;fx_=x3-3x2+x+1;171 1 2 3321124 3 2 1 1 2 3202040zlb=Simplify(fx+h-fx)/h执行以后得到函数的增量与自变量的增量的比 22 x36)x1(h31再输入df=Limitzlb,h-0Plotfx,df,x,-1.5,3,PlotStyle-GrayLeve10,Dashing0.01,PlotRange-3,2输出实验 2 作函数 的图形和在 处的切线.7132)(2xxf 1x解：输入Clearf;fx_=2x3+3x2-12x+7;plotf=Plotfx,x,-4,3,DisplayFunc
17、tion-Identity;plot2=Plotf-1*(x+1)+f-1,x,-4,3,PlotStyle-GrayLeve10.5,DisplayFunction-Identity;Showplotf,plot2,DisplayFunction-$DisplayFunction输出实验 3 求函数 的导数与 的微分.xy2sinbxaycossin解：输入DSin2x,xDtSina*x*Cosb*x,Constantsa,b/Simplify输出181 1 2 332112(a Cosa x Cosb x-b Sina x Sinb x)实验求由方程 确定的隐函数的导数.0122yxyx
18、解：输入deq=D2 x2-2 x*yx+yx2+x+2 yx+10,x；Solvedeq1,yx输出 )xy1(24xy4.2 微分中值定理实验 5 对函数 观察罗尔定理的几何意义.),2)(1()(xxf解：因为 由罗尔定理, 存在 , 020fff ),10(1x)21(x使得 .)()(21xff(1) 画出 与 的图形, 并求出 与fyf 1x.2输入fx_=x*(x-1)*(x-2);g1=Plotfx,x,-1,3,PlotStyleRGBColor1,0,0;g2=Plotfx,x,-1,3;Showg1,g2NSolvefx0,x输出(2)画出 及其在点 与 处的切线 .)(
19、xfy)(,1xf)(,2xf输入t1x_=f0.42265;t2x_=f1.57735;Plotfx,t1x,t2x,x,-1,3191 1 2 31.51.00.50.51.01.51 2 3 40.51.01.51 2 3 40.20.20.40.61 2 3 40.51.01.5输出实验 6 对函数 在区间0,4上观察拉格朗日中值定理的几何意义.)ln()xf解：(1) 画出 及其左、右端点连线的图形;fy输入Clearg1,g2; fx_=Log1+x;a=0;b=4;g1x_:=fa+(fb-fa)*(x-a)/(b-a);g2x_:=f x-(fb-fa)/(b-a);Plotf
20、x,g1x,x,a,b;(2)画出函数 的曲线图, 并求出 使得04)()()(ffxfy .04)()()( fff输入 Plotg2x,x,a,bNSolvefx(fb-fa)/(b-a),x;(3)画出 ,它在 处的切线及它在左、右端点连线的图形.)(xfy输入x1=1.4853397382384472;g3x_=fx1+f x1*(x-x1);Plotfx,g1x,g3x,x,a,b输出的图象200.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.610551010 5 5 100.40.20.20.44.3 导数的应用实验 7 已知函数 ,在区间-3,2上画出 ,23562)(xxxf )(
21、xf的图形，并找出所有的驻点和拐点.,f解：输入fx_=2 x6+3 x5+3 x3-2 x2;Plotfx,x,-3,2;dfx_=fx;ddfx_=fx;Plotdfx,x,-2,1;Plotdfx,x,-0.2,0.5;Plotddfx,x,-2,1;Plotfx,dfx,ddfx,x,-0.6,0.6,PlotStyleRGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0,RGBColor0,0,1NSolvedfx0,x NSolveddfx0,x输出x-1.61612,x0.,x0.351613x-1.23293,x0.193431实验 8 求函数 的极值.21xy解： 输入 f
22、2x_:=x/(1+x2);Plotf2x,x,-10,10Solvef2 x=0,x213 2 1 1 2 35432112输出 x-1,x1实验 9 求函数 的凹凸区间和拐点.21xy解： 输入f3x_:=1/(1+2x2);Plotf3x,f3 x,x,-3,3,PlotRange-5,2,PlotStyle-GrayLeve10.01,Dashing0.01gen=Solvef3 x=0,x输出 6,xx即得到二阶导数等于 0 的点是 由图知在 和 上二阶.161, ,导数大于零, 曲线弧向上凹. 在 上二阶导数小于零, 曲线弧向上凸.6再输入f3x/.gen输出3/4,3/4这说明函
23、数在 和 的值都是 3/4. 因此两个拐点分别是 和 .61 43,6143,61实训：1.求下列函数的导数:(1) ; (2) ;31xey )42lnta(xy2.求下列函数的微分:(1) ;(2) xycos12 )ln(2axy223. 求下列函数的高阶导数:(1) (2) ;,sin)10(yxy求 ;,cos)10(2yxy求4.求由下列方程所确定的隐函数 的导数:)(x(1) (2) ;lnexy .lnarct2yxy5.作出函数 的图形，c 分别取-)45(,21)( xcxf1，0，1，2，3 等 5 个值，试比较作出的 5 个图，并从图上观察极值点、驻点、单调区间和凹凸区
24、间.实验五 一元函数积分学本实验的目的是加深理解定积分的概念，深入理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法，初步了解定积分的近似计算方法.Mathematic 命令如下：1.计算不定积分Integratefx,x2.计算定积分Integratefx,x,a,b3.循环语句 ForFor循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象 例如, 输入t=0;Forj=1,j=10,j+,t=t+j;t则输出变量 t 的最终值 1+2+10=55.4.求一般方程的近似根的命令 FindRootFindRootfx= =0,x,a,选项23FindRootfx= =0,x,a,b,选项Find
25、Rootfx,y= =0,gx,y= =0,x,a,y,b5.1 定积分的概念实验 1 利用定积分计算积分 dx102解：方法：在区间0,1中插入 个分点（我们可以均匀的产生，也可n以借助随机数任意产生） ，在一定意义下取得了任意分点与任意的,即可求得 的近似值.提高精度的方niiii xf1)(计 算 niiixf10)(lm法是增加分点.输入fx_:=x2;a=0; b=1;n=202;Arrayx,641;x0=a;Fork=1,k6,k+, xn=b ; s=0 ; Do xi=(i+Random)*(b-a)/n,i,1,n-1;Fori=0,in,i+,delxi=xi+1-xi;
26、c=xi+delxi*Random;s=s+fc*delxi;Print“n=“,n, “ s=“,s;n=n*2输出n= 20 s= 0.333163n= 40 s= 0.335524n= 80 s= 0.332014n= 160 s= 0.33367n= 320 s= 0.333349n= 640 s= 0.333351所以我们认为 =0.333dx102实验 2 求 .)(532x241 2 3 411234解：输入Integratex2*(1-x3)5,x输出 18x3659x10653x512实验 3 求 .|2|40dx解：输入IntegrateAbsx-2,x,0,4输出45.2
27、 定积分的应用实验 4（平面曲线所围成图形的面积）设 .计)2cos(4)()(cos)2( xgexfx和算区间0，4上两曲线所围成的平面图形的面积.解：输入fx_=Exp-(x-2)2 CosPi x;gx_=4 Cosx-2;Plotfx,gx,x,0,4,PlotStyleRGBClolr1,0,0,RGBColor0,0,1输出再输入FindRootfxgx,x,1.06FindRootfxgx,x,2.93输出x1.06258x2.93742输入NIntegrategx-fx,x,1.06,2.93250.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01234输出4.17386所以，所
28、得面积为 17386.4s实验 5（旋转体的体积）计算由 所围成图形分别绕xxf,0sin)(2和轴、 轴旋转所得立体的体积.xy解：输入fx_=x2*Sinx;Plotfx,x,0,Pi,PlotStyleRGBColor1,0,0输出绕 轴：IntegratePi*fx2,x,0,Pix1/20 2 (15-10 2+2 4)绕 轴：Integrate2 Pi*x*fx,x,0,Piy2 2 (-6+2)实训：1.利用定义计算 0sinxd2.设 和 ，128131)(345 xxf 3256284)(3xxg计算两曲线所围成平面图形的面积.3.计算由 和 所围成的图形绕 轴旋转所得立)3(4cos)(2xxef 0,5y体的体积.参考教材及资料：261 韩西安，黄希利.数学实验M.国防工业出版社，2003.92 李尚志. 数学实验M.高等教育出版社，2004.3 A.D.Andrew G.L.Cain S.Crum T.D.Morley .用 Mathematica 做微积分实验M.清华大学出版社，2003.84 （美）D.尤金（DonEugene）.Mathematica 使用指南M.科学出版社，2002.115 曾庆柏.高等数学M.世界图书出版社,2008.6高等数学实验案例库（网络电子教案）
