1、算法与程序设计复习总结1、算法一个算法是一个有穷规则的集合，其中规则规定了解决某一特定问题的运算序列。算法特性：有穷性、确定性、可行性、输入、输出。2、 时间复杂度设 n 为被求解问题的规模，则用 n 的函数表示执行算法所需的时间，称为算法的时间复杂度。渐进时间复杂性nn0n若 lim T(n)/g(n)=1 , 则称 T(n)渐进于 g(n)，记为 T(n)o(g(n)3、 时间复杂性的上下界及阶若存在常数 c、c1、c2 和 n0，对所有的 nn0，有 |T(n)|c|g(n)|，则称 g(n)为 T(n)的上界，记为 T(n)=O(g(n)。 |T(n)|c|g(n)|，则称 g(n)为
2、 T(n)的下界，记为 T(n)=(g(n)。 c1|g(n)|T(n)c2|g(n)|，则称 T(n)与 g(n)同阶，称 g(n)是 T(n)的精确界。记为 T(n)=(g(n)，等价于 T(n)=O(g(n)且 T(n)=(g(n)，还等价于 T(n)=O(g(n)且 g(n)=O(T(n)。4、 TSP（Travelling Salesman Problem）旅行商问题设有 n 个城市，分别用 1、2、3、4n 表示，从城市 i 到城市 j 的距离为 dij ，一个推销员要从城市 1开始，到达其他任何一个城市一次且仅到达一次，最后返回城市 1。问题是他应如何选择行走路线，使总的路径最短
3、。5、 RASP（Random Access Stored Program）随机存储存取程序RASP 程序存放在存储器中，能修改自身，无间接寻址，每条指令占两个存储单元，第一个存放操作码，第二个存放操作数。6、 P 类问题:一类能够用确定性算法在多项式时间内求解的问题7、 NP 类：一类能够用非确定性算法在多项式时间内求解的问题。8、 NP 难度：一个问题可在多项式时间内转化成为一个 NP 问题，但是不能证明该问题是 NP 问题，但是至少可以证明该问题的难度相当于一个 NP 问题，称该问题具有 NP 难度。9、 NPC 类：NP 完全类。设在 NP 问题中存在某问题 c，所有其他 NP 问题都
4、可以在多项式时间内转化为问题 c，则称 c 是 NP 完全的。NPC c|cNP 并且所有 aNP ,ac10、EREW单读单写 EREW(Exclusive-Read and Exclusive-Write ) 并读单写 CREW(Concurrent-Read and Exclusive-Write )单读并写 ERCW(Exclusive-Read and Concurrent-Write )并读并写 CRCW(Concurrent-Read and Concurrent-Write)11、 SM 共享存储器12、SIMDSISD：单指令流单数据流MISD：多指令流单数据流SIMD：单指
5、令流多数据流MIMD：多指令流多数据流 T(n)=3T(n/2)+kn，T(1)=k T(n)=32 T(n/22)+3kn/2+kn=33 T(n/23)+ 32kn/22+3kn/2+knm-1i=0=3mT(n/2m)+ kn(3/2) i=3mT(n/2m)+kn1-(3/2)m/ 1-3/2令 n=2m m=logn T(n)=k3m-2k(2m-3 m)=O(3m)=O(3logn)=O(nlog3) 换底公式解法 2：（讲义可乘函数）令 T(n)=k U(n)U(1)=1k U(n)=3kU(n/2)+kn U(n)=3kU(n/2)+n此时 n 是可乘函数，a=3，b=2，d（
6、2）=21 三种情况下，T(n)=O( ? ) 。T(n)=a2 T(n-2)+ab(n-1)+bn=a3 T(n-3)+ a2b(n-2)+ ab(n-1)+bnk-1i=0=akT(n-k)+ b a i(n-i)令 n-k=1 k=n-1当 a=1，T(n)=1+b(n+2)(n-1)/2如果 a=1T(n)=O(n2)k-1k-1当 a1，i=0T(n)=akT(n-k)+ nb (a i)-b (ia i)i=0k-1令 A=(iai)=0+a+2a 2+3a3+(k-2)ak-2+(k-1)ak-1i=0aA=0+a2+2a3+(k-2)ak-1+(k-1)akA=a(1-ak)/
7、(1-a)2-kak/(1-a)则 T(n)= an-1+b(n+1+k)an(n+k)an-1 +n+na-a/(1-a)2 如果 a1，T(n)=O(a n) T(n)=aT(n-1)+b n，T(1)=b T(n)=O( ? ) 。讨论：当 ab 三种情况下，T(n)=O( ? ) T(n)=a2 T(n-2)+abn-1+bn=a3 T(n-3)+ a2bn-2+ abn-1+bnk-1=akT(n-k)+ bn(a/b) ii=0k-1令 n-k=1,k=n-1,如果 a=b, T(n)= ban-1+ bn1i=0= ban-1+(n-1) bn = O(nbn)如果 ab T(n
8、)= ban-1+b2(bn-an)/(1-a)如果 ab则 T(n)=O(an)三、对于 an 4+bn3+cn2+dn+e 给出计算算法：秦九韶算法原式=nnn(an+b)+c+d+e 编写 RAM 程序；假设输入带上的数据依次为 n、a、b、c、d、e。r0 r1 r2 r3 r4r0 :累加器r1 :存放 nr2 :存放 a、b、c、d、er3 :存放和r4 :存放循环次数，本题为 4READ 1 ；把 n 读到 r1 寄存器READ 3 ；把 a 读到 r3 寄存器LOAD =4 ；把立即数 4 放到 r0 寄存器STORE 4 ；把 r0 寄存器的内容放到 r4 寄存器aa: LO
9、AD 4 ；r4 寄存器的内容放到 r0 寄存器JZERO bb ；如果 r0 寄存器的值为 0 就跳转到标号 bb 处SUB =1 ；r0 寄存器的内容减 1STORE 4 ；把 r0 寄存器的内容放到 r4 寄存器LOAD 1 ；把 r1 寄存器的内容放到 r0 寄存器MULT 3 ；r0 r0r3 /anREAD 2 ；从磁带上读入一个数据到 r2 寄存器ADD 2 ；r0 r0+r2 /an+b STORE 3 ；把 r0 寄存器的内容放到 r3 寄存器/an+bJUMP aa ；跳转到标号 aa 处bb: WRITE 3 ；把 r3 寄存器的内容写到磁带上 分析该 RAM 程序 在均
10、匀耗费标准下和对数耗费标准下的时间复杂性。均匀耗费标准：执行次数最高的是 4 次，而其中处理数最大的有 10 条：aa:LOAD 4 JZERO bb SUB =1 STORE 4 LOAD 1 MULT 3 READ 2 ADD 2 STORE 3 JUMP aa T(n)= O(4*10)= O(1)对数耗费标准：处理数最大的有 10 条指令，MULT 的时间远远大于其它指令的执行时间，仅取 MULT 计算。T(n)=log(a)+log(n)+log(an+b)+log(n)+log(an2+bn+c)+log(n) + log(an3+bn2+cn+d)+log(n)= O(log(n
11、)如果本题循环次数不是常数 4，而是 m，则均匀耗费标准：T(m)= O(m)/ T(n)= O(1)对数耗费标准：T(m)= O(mlog(n)/ T(n)= O(log(n)五、两个 n 位二进制数相乘，n 是 3 的幂，用三分法，不考虑进位， 给出算法； 求其复杂性。X YXY=(a22n/3+ b2n/3+ c) (d22n/3+ e2n/3+ f)=ad24n/3+ (ae+bd)2n+(af+be+cd) 22n/3+(bf+ce) 2n/3+cf设 A=ad B=ae+bd C=af+be+cd D=bf+ce E=cf 令 U1=(a+b+c)(d+e+f) U2=ad U3=
12、cf U4=be U5=（a+b）（d+e） U6=（b+c）（f+e） 则 A= U2 B= U5- U2- U4 D= U6- U3- U4 E= U3 C= U1-A- B- D- E原来： 9 次乘法，8 次加法，和一些移位现在： 6 次乘法， 16 次加法，和一些移位b n=1T(n)=6T(n/3)+bn n1a b cd e f3 6T(n)=O(n )六、动态规划下列矩阵连乘积M = M1 M2 M3 M4 M57 8 6 3 5 2要求： 给出算法的描述；原理：在每一步决策阶段，列出各种可能的解，从中淘汰掉不可能的解，保留可能产生最优解的局部解，再进入下一阶段，最后的结果就是
13、最优解。本题中依次找出 2 个、3 个、4 个、5 个矩阵相乘的最优解即可。 给出决策的数学模型；mij= ij mii=0 给出结果：运算次序和最小耗费。两个矩阵相乘：m127,6=336 m238,3=144 m346,5=90 m453,2=30三个矩阵相乘：m137,3= M12 M3 = 462m137,3= M1 M23 = 312选其小者 m 13=312m248,5= M23 M4 = 264m248,5= M2 M34 = 330选其小者 m 24=264m356,2= M34 M5 = 150m356,2= M3 M45 = 66选其小者 m 35=66四个矩阵相乘：m147,5= M13 M4 = 417m147,5= M12 M34 = 636m147,5= M1 M24 = 544选其小者 m 14=471m258,2= M24 M5 = 344m258,2= M23 M45 = 222m258,2= M2 M35 = 162选其小者 m 25=162五个矩阵相乘：m157,2= M14 M5 = 541m157,2= M13 M45 = 384m157,2= M12 M35 = 486m157,2= M1 M25 = 274最后结果 274次序 M 1(M2 (M3(M4M5 )
