1、（ 第 1 页 共 5 页 ）科目名称：高等代数姓名： 班级： 考试时间：120 分钟 考试形式：闭卷一、填空题（每小题 5 分，共 25 分）1、在 中，向量 关于基 的坐标为 。XP21x23,12x2、向量组 的秩8,35,10,4, 4321 为 ，一个最大无关组为 .。3、（维数公式）如果 是线性空间 的两个子空间，那么 。21,V4、假设 的特征根是 ，特征向量分别为 。7530A5、实二次型 的秩为 3231213214, xxxf 二、是非题（每小题 2 分，共 20 分）1、如果 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。 （ ra,1）2、在 中，定义变换 ,其
2、中 ，是一固定的数，那么变换 是xP)(0xfAfP0 A线性变换。 （ ）3、设 是向量空间 的两个子空间，那么它们的并 也是 的一个子空21,WV21WV间。 （ ）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。 （ ）5、令 是 的任意向量，那么 是 到自身的线性变换。其中),(4321xR4R。 （ ）)26、矩阵 的特征向量的线性组合仍是 的特征向量。 （ ）AA7、若矩阵 与 相似，那么 与 等价。 （ ）BB8、 阶实对称矩阵 有 个线性无关的特征向量。 （ ）nn9、在 中，若 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么 是 的)(2RMWW)(2RM（ 第 2 页 共 5
3、页 ）子空间。 （ ）10、齐次线性方程组 的非零解向量是 的属于 的特征向量。 （ 0)(XAEA）三、明证题（每小题分，共 31 分）1、设 是线性空间 的一组基， 是 上的线性变换，证明： 可逆当且n,2 VVA仅当 线性无关。 （10）A12、设 是 维欧氏空间 的一个线性变幻，证明：如果 是对称变幻， = 是单 2l位变幻，那么 是正交变换。 （11）3、设 是一个 维欧氏空间，证明：如果 都是 得子空间，那么Vn21,WV。 （10）2121W四、计算题（每小题 8 分，共 24 分）1、求矩阵 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵 使得 为4635A PA1对角形矩阵。2、求一个正交
4、矩阵 ，使得 使对角形式，其中 。UA 52043A3、化二次型 为平方和，并求所用的满秩线3231213214, xxxf 性变换。科目名称：高等代数姓名： 班级： 考试时间：120 分钟 考试形式：闭卷一、填空题（每小题 5 分，共 25 分）（ 第 3 页 共 5 页 ）1、（3,4,1）2、秩为 2，一个最大无关组为 31,3、维（ ）+ 维（ ）=维（ ）+维（ ）1V22V21V4、特征根是 1，1，2，特征向量分别为 ,1,5、秩为 3二、是非题（每小题 2 分，共 20 分）1、 （是 ）2、 （是 ）3、 （是 ）4、 （否 ）5、（否 ）6、（否 ）7、（是 ）8、（是 ）
5、9、（是 ）10、 （是 ）三、明证题（每小题分，共 31 分）1、证明 设 可逆，则 存在，且 也是 的线性变换， （1）A11AV若 线性相关，则 ，(2)n,2 )(,)(),(2nA即 也线性相关，这与假设 是基矛盾，故 线性1 n21 nA,21无关。(5)反之，若 线性无关，因 是 维线性空间，故它也是 的nA,21 VV一组基，(7)故对 中任意向量 有 ，即存在V1)(21nkk，使 ，故 为 到 上的变换。(8)(21nk 1)A若又有 ，使 ，即ll (，因为)2121 nn kkAAl 是基， ，即 ，从而 又是一一的变换，故n,2 ),(,ikli A为可逆变换。 （1
6、0）2、证： ,(4) ,2,2 （ 第 4 页 共 5 页 ）= ,(8),2, 2= , (10)2=0 ,（11）3、证：（1） ,(5) 21212121 WWW同理 ， (8)2则 。 （10）211四、计算题（每小题 8 分，共 24 分）1、解： = ，则 的特征根为 ， , (3)AE)4(2A2,143，它们对应的特征向量分别为 ， (6)i)3,2( 21,0,321易知 线性无关，取 ，那么就得 。(8)321,201P 401AP2、解： ，则特征根为 ， (3)7(4)1(AE 7,4,321对应它们的线性无关的特征向量分别为 ， 1,231(6)他们单位化后分别为，取正交矩阵 ， (7)321321312, 323121U则, 。 (8)704AU（ 第 5 页 共 5 页 ）3、解 ， ，得 (2)3212yx101C323212121)()()(4 yyf 整理得 (4)232312312 4)(44yyyyf 在令 ， ， (6) 321yz1022C， , (8)23214zzf102121
