1、1,第六讲：正态分布,2,学习目标,掌握正态分布的特性； 正态分布曲线下面积的含义； 标准分的计算和应用； 利用标准正态分布表计算概率。 理解大数定理和中心极限定理,3,一、什么是正态分布？,4,从 “分布” 说起,5,直方图用长条的面积来表示频次或相对频次； 折线图用直线连接直方图中条形顶端的中点；当组距逐渐减小时，折线将逐渐平滑为曲线。,6,峰点（Peak)研究,单峰,多峰,7,几种常见的频数分布曲线,8,一、 正态分布曲线,9,1.1 什么是正态分布？,1、由德国数学家高斯提出，也叫高斯分布； 2、自然界、社会经济生活中大量存在的分布规律； 3、经典统计推断的基础； 4、在所有的分布中，
2、 正态分布居于首要 位置；,10,1.2 正态分布的基本特征,特征一：一个高峰 特征二：一条对称轴 特征三：一条渐近线,M0Md=,众值=中位值均值,11,1.3 正态分布的数学表达式,(x) = 随机变量 X 的频次（概率密度） 总体标准差； = 总体方差 = 总体均值 =3.14159; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- x ),12,1.4 两个参数的影响（ ， ）,位置参数,均 值,标准差,形状参数,13,1.4.1 对正态曲线的影响,1 2 3,14,1.4.2 对正态曲线的影响,曲线A和B的比较,16,正态曲线的位置由均值 决定；正态曲线的形状“高，矮，胖，瘦”
3、的特点由标准差 决定；当 较小时，曲线“高”且“瘦”；当 较大时，曲线“矮”且“胖”。,17,二、正态曲线下的面积,18,2.1 正态曲线下面积的涵义,随机变量的频次总和； 一般把正态曲线下的总面积约等于1，这时一定区间内的频次分布表现为概率分布。,19,2.2 正态曲线的一个重要性质,无论正态曲线具有哪种均值和标准差，在均值和横坐标某一点的距离内（用标准差来表示）曲线下的面积是常数。下图说明此意。,20,正态曲线下的面积（图）, -, + ,95.46%,68.26%,21,2.3 几个典型取值区间的概率值,P( - + ) =0.6827; P( -2 +2 )=0.9545; P( -3
4、 +3 )=0.9973;,22,三、标准正态分布,23,3.1 什么是标准正态分布,以标准差为单位的正态分布一般称为标准正态分布（standardized normal distribution),24,3.2 标准正态分布的重要性,简化统计分析一般的正态分布取决于均值和标准差 ；计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表,25,3.3 标准分（Standard scores),公式:,Z值代表每个X值在标准正态分布上的数值。,26,3.4 标准正态分布的表达式,正态分布的表达式为：N（ ， ）
5、标准正态分布的表达式为：N（0，1） 标准正态分布是一般正态分布的特例，即0， 1的正态分布。,27,3.5 标准分的实际意义,各总体之间可以通过标准分进行合理的比较 不同总体间综合指标的比较 如:甲城市居民月收入的均值为3000元，标准差为500元；乙城市居民月收入的均值为4500元，标准差为1000元。若甲城市的居民A的月收入为4000元，乙城市居民B的月收入为5500元。看起来B的收入比A的高，但与本地其他居民相比较，结果可能有所不同。这时候就需要把A与B的收入都转换成标准值，进行更加直观的比较。 结果是？,28,3.6 标准分的应用,例题:李明参加了全校新生入学摸底考试，数学得了90分
6、，英语得了75分。假定全校新生数学成绩的均值 =85分，标准差 =10分；全校新生英语成绩的均值 =60分，标准差 =5。这次考试李明哪门科目考试考得好一些？,29,3.7 标准正态分布的面积,P(-1 Z 1 ) =0.6827; P(-2 Z 2 ) =0.9545; P(-3 Z 3 ) =0.9973;由于标准正态分布N（0，1）的图形是唯一的，因此使用标准正态分布无须自己计算，只需要学会查表就行了。,30,四、标准正态分布表的使用,31,4.1 标准正态分布表的介绍,见教材P385附录二 有问题,32,4.2标准正态分布的计算,【例5】已知服从标准正态分布N（0，1），求P（ 1.3
7、)=? 解：因为 服从标准正态分布N（0，1），可直接查附表4，根据z=1.3，有P（ 1.3)= 1.3=0.9032,Xi:大写，小写 读作：克西,33,【例6】:,已知服从标准正态分布N（0，1），求P（ 1.3)=? 解：因为 1， 而 P（ 1.3) P（ 1.3)1 因此有P（ 1.3)1 P（ 1.3)1 1.30.0968,34,【例7】,已知服从标准正态分布N（0，1），求P（ 1.3)=? 解：附表四中没有给出Z0的 Z值。根据标准正态分布图形是以Z0为对称的原理， P（ 1.3)=1 1.30.0968,35,【例8】,已知服从标准正态分布N（0，1），求P（1.3 2.
8、3）？ 解： P（1.3 2.3） 2.3 1.3=0.98930.9032=0.0861,36,【例9】,根据统计，北京市初婚年龄服从正态分布。其均值为25岁，标准差为5岁，问25岁到30岁之间结婚的人，其百分比为多少？ 解：1. 年龄换为标准分： Z1 ，Z22. 查表得 Z1 0.50, Z2 0.8413 Z2 - Z1 =0.3413, 所以25岁到30岁之间结婚的人，百分数为34.13%.,37,4.3 标准正态分布表的使用,1. 通过标准分公式，将一般为正态分布转换为标准正态分布； 2. 计算概率时 ，查标准正态分布表； 3. 对于负的 x ，可由 (-x) x得到； 4. 对于
9、标准正态分布，即XN(0,1)，有 P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1,38,常用的标准值,Z 1.65,概率P为0.05; Z 1.96,概率P为0.025; Z 2.58,概率P为0.005;,39,五、大数定理和中心极限定理,40,5.1 极限定理,简单讲，凡是采用极限的方法（例如，观察次数n趋于无限）所得出的一系列定理统称极限定理。极限定理分为两类：大数定理（Law of large numbers）中心极限定理 (Central limit theorem),41,5.2 大数定理,【例子】 从扑克牌盒中取出一张牌，出现牌“K”的概率是1/13，在取的次数比较
10、少时，出现“K”的频率可能与1/13相差得很大，但是在取的次数很多时，出现“K”的频率接近1/13几乎是必然的。,42,5.2 大数定理,这些例子说明，在大量随机现象中，不仅看到了随机事件频率的稳定性，而且还看到平均结果的稳定性。这就是概率论中大数定理的概念。阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理。著名的大数定理：贝努里大数定理和切贝谢夫大数定理,43,5.2.1 贝努里大数定理,多次重复试验，随机事件的频率日趋稳定，具有接近概率的趋势。,44,5.2.2 切贝谢夫大数定理,多次重复试验，随机变量的平均值接近数学期望（即总体均值）。,45,5.3 中心极限定理,任何变量，不管其原有分布如何，如果把它们n 个加在一起，只要n足够大，其和的分布必然接近正态分布，均值的分布也接近正态分布。,46,为什么社会经济生活、自然界存在许多随机变量的分布都服从正态分布？请结合中心极限定理来解释。,47,如果一个现实的量是由大量独立偶然的因素的影响叠加而得，且其中每一个偶然因素的影响又是均匀地微小的话，可以断定这个量将近似地服从正态分布。这就解释了为什么在自然、社会、经济领域里大量存在服从正态分布的随机变量。例如，身高、体重、智商、婚龄等等，因为影响它们的因素都是大量的。,
