1、第 1 页 共 11 页2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1） 已知集合 ， ,则 AB=（ ） 。2,10A|(1)20Bx（A）-1,0 （B）0,1 （C）-1,0,1 （D）0，1，2（2）若 为实数且 ,则 =（ ） 。a()4aiia（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（ ）。（A） 逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著；（B） 2007
2、年我国治理二氧化硫排放显现（C） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）等比数列 满足 ， ，则 （ ） 。na1313521a357a（A）21 （B）42 （C）63 （D）84（5）设函数 ，则 （ ） 。21log(),(),xxf2()log1)ff（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比第 2 页 共 11 页值为（ ） 。（A） （B） （C） （D）1817165（7）过三点 的圆交 轴于 两点，则
3、 =（ ） 。(,3)4,2(,)y,MN|（A） （B） （C） （D）2684610（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 。执行该程序框图，若输入 分别为 14,18，则输出的 =,aba（ ） 。（A）0 （B）2 （C）4 （D）14(9)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90 o,C为球面上的动点。若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为36 ，则球 O 的表面积为（ ） 。（A） （B） （C） （D）3661425(10) 如图，长方形ABCD的边 AB=2，BC=1，O 是AB的中点，点P沿着边 BC，CD与DA运动，BOP=x。将
4、动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 ，则 的图像大()fx()f致为( ).（ （A） （B） （C） （D）（11）已知 A，B 为双曲线E的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（ ）。（A） （B）2 （C） （D）5 32（12）设函数 是奇函数 的导函数， 。当 时，()fx()fxR(1)0fx，则使得 成立的 的取值范围是（ ）。()0xf0x（A） （B）,1,（C） （D）)()二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）设向量 不平行，向量 与 平行，则实数 。,abab，第 3 页 共 11 页（14）若
5、满足约束条件 ，则 的最大值为 。,xy102xyzxy（15） 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则 4()1a a。（16）设 是数列 的前项和，且 ， ，则 。nS)n1a11nnSn三、解答题：（17） （本小题满分 12 分）中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的 2 倍。ABCDADBCADC（）求 ； （）若 ， ，求 和 的长。sin12（18） （本小题满分 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从 A,B 两底分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度平分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95
6、 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可） ；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级” 。假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应
7、事件发生的概率，求的概率。（19） （本小题满分12分）第 4 页 共 11 页如图，长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA 1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D 1C1上，A 1E=D1F=4。过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值。A（20） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： ，直线 不过原点 O 且229(0)xyml不平行于坐标轴， 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M。l（）证明：直线 OM 的斜率与 的斜率乘积为定值
8、；（）若 过点，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，l求此时 的斜率；若不能，说明理由。（21） （本小题满分 12 分）设函数 。2()mxfe（）证明：在 单调递减，在 单调递增；(,0)0,（）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围。12,x12|()|1fxfcm请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分，做答时请写清题号。（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边交于 M,N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分
9、别相切于 E,F 两点。（）证明： ；EFABC（）若 AG 等于O 的半径，且 ，23EMN求四边形 EBCF 的面积。（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 ( 为参xOy1cos:inxtCyt数， )，其中 。在以 O 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线0t2:C，曲线 。sin3:C2cos第 5 页 共 11 页（）求 与 交点的直角坐标； （）若 与 相交于点 A， 与 相交于点2C3 1C21C3B，求|AB|的最大值。（24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设 均为正数，且,abcd，证明：（）若 ，
10、则 ；abcdabcdab（） 是 的充要条件。a|2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B D B C D C B C B D A【详细解析】（1）本题是集合题，辽宁的理科题一般不与其他知识综合，本次命题结合了一元二次不等式的解法。（10）当 时，点 P 在线段 BC 上，如图：04x， 。于是tanPB2tanAxAPB。该表达式不是 的一次函数形式，因而排除选项 A,C。24tx设 ，则 。 ， 是单调递增函()f 2()4tatnfxx04x()f数，而且递增的速度越来越快。所以选 B。（
11、11）如图，设双曲线的方程为 ， ，21yb(,3)Ma，解得 。所以该双曲线为等轴双曲22()3)1ab2a线，离心率为 。（12）设 ，则 。当()fxF2()xffFOPAB第 6 页 共 11 页时， ，所以此时 ，即 在 上是单0x()0fxf()0Fx()fx0,)调递减函数。据此可得 的图象如图：选A。()fF二、填空题：13. 14. 15.3 16.12321n三、解答题：（17）解：（）设 BC 边上的高为 ，则 ， 。h2ABDSh12ACDSh因为 ，所以 。 平分 ，由根据三角形内角平分线性2ABDCS12B质定理知， 。根据正弦定理得 。于是 。sinCsinB（）
12、 .在 和 中，由余弦定理可知2AD，2cosABDB12cosADB即 ；23cos，22cosCACD12cosC即 。23cosAB因为 ，所以解得 。 。2242cos4B232()14AC于是 。1C（18） （）解：两地区用户满意度评分的茎叶图如右图：从茎叶图可以看出 A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散。（）解：A,B 两地区评分等级概率如下表：第 7 页 共 11 页A 地区 B 地区满意度等级 不满意 满意 非常满意 不满意 满意 非常满意概率 153152510设事件 A 表示“A
13、 地区的满意度等级为满意或非常满意，而 B 地区的满意度评分等级为不满意” ，则 ；设事件 B 表示“A 地区的满意度评分等级为非()P2)常满意，而 B 地区的满意度评分等级为满意” ，则 。()P152。()()CA521(19)解:()交线围成的正方形如右图：过 E 点作 EMAB,在 AB 上取 MH=6，则 EH=10，即EH=EF。作 HGAD,交 CD 于点 G。连结 FG。四边形 EFGH 即为所求作的正方形。（）由()知 AH=10.以 D 为坐标原点， 的方向为轴A正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，则 ， ，(10,)(10,)H， 。(10,48)E(,)
14、F所以 ， 。设 是平面 EFGH 的法向量，则,(0,68)HE(,)xyzn，即 ，所以可以取 。又 ，0EAn1xyz0,43(10,48)AF故 。所以 AF 与平面 所成角的正弦|cos,|F|An4385651值为 。451（20） （）证明：设 ， ， ，则 。两式1(,)Axy2(,)B0(,)Mxy2219xym两端作差得 ，因式分解得22119(1212()。 。因为直线 不过原点 O 且122()yy020128()()xyl第 8 页 共 11 页不平行于坐标轴，所以 ， 。两端同时除以 ，并整理得0x120x012()x，即 。0129yx9OMlk（21）证明：因为
15、 ，所以2()mxfe()2mxfe。(1)2mxe若 则当 时， ，所以 ；当 时，0,(,0)10mxe()0fx(,)，所以 。mxefx若 则当 时， ，所以 ；当 时，,(,)mxe()fx(,)，所以 。10mxe0fx所以 在 单调递减，在 单调递增。()f,)(,)第 9 页 共 11 页（22） （）证明：由于ABC 是等腰三角形，ADBC,所以 AD 是CAB 的平分线。又因为 分别与 AB，AC 相切于点 E,F，所以 AE=AF。于是OAADEF。所以 EFBC。（）由（）知，AE=AF，ADEF，故 AD 是 EF 的垂直平分线。又 EF 为 的弦，所以 O 在 AD
16、 上。连结AOE，OM，则 OEAE。由 AG 等于 的半径得 AO=2OE，所以。因此ABC 和AEF 为正三角形。o30OE因为 ，所以 ， 。因为2A4AO2E2OME， ，所以 。于是 ， 。13DMN1D5A103B所以四边形 EBCF 的面积为 ABCEFS2osin62osin60AB。2o1sin60AE13（23）解：（）曲线 的普通方程为 ，即2:sin22(1)xy第 10 页 共 11 页；20xy曲线 的普通方程为 ，即 。3:Ccos2(3)xy2230xy联立 ，解得 或 ，即交点为 和 。220xy0y32(0,),)2（） , ,即 。20xy2(cos)(i
17、n)sittt2sin0t因为 ，所以解得 A 点对应参数 。0t1， ，223xy22(cs)(i)3cos0ttt。cos0tt因为 ，所以解得 B 点对应参数 。2cst12|Atsin3|o134incos|2。当 时， 取最大值 4.4|cosic|3|si()56|AB（24） （） 是 的充要条件。abd|abcd证明：（） ， 。2()2()cd因为 ， ，所以 。cc2()abab因此 。abd（）充分性：因为 ，所以 。c22()()cd。因为 ，所以 。22cabcdab， 。所以 。()()4abab22()()4cd22()()c第 11 页 共 11 页所以 。|abcd必要性：因为 ，所以 ，|c22()()abcd即 。因为 ，所以 。2()42()40abcd， ，abab2()cdc所以 ，即 。22()()bd综上所述， 是 的充要条件。c|ac
