1、1四边形复习提纲【知识要点】1、四边形的内角和等于 1800， n 边形的内角和等于(n-2)180 0，任意多边形的外角和等于 3600，n 边形的对角线条数为 n(n-3)/2.2、平行四边形性质：（1）平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；（2）平行四边形是中心对称图形.判定：（1）定义判定； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.3、矩形性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线相等（推论：直角三
2、角斜边上的中线等于斜边的一半） ；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形； （5）其面积等于两条邻边的乘积.判定：（1）定义判定； （2）有三个角是直角的四边形； （3）对角线相等的平行四边形.4、菱形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边相等；（3）对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形；（5）其面积等于两条对角线长乘积的一半（适用于所有对角线互相垂直的四边形）. 判定：（1）定义判定；（2）四条边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形.5、正方形性质：具有矩形、菱形的一切性质.判定：（1）定义判定； （2）先判定四边形为矩
3、形，再判定它也是菱形； （3）先判定四边形为菱形，再判定它也是矩形.6、等腰梯形性质：（1）两腰相等； （2）两条对角线相等； （3）同一底上的两个底角相等； （4）是轴对称图形.判定：（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （2）对角线相等的梯形是等腰梯形.7、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。8、两个中位线定理三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.梯形的中位线定理：梯形的中
4、位线平行于两底，并且等于两底和的一半（推论：梯形面积等于中位线长与高的乘积）.9、中心对称定义：强调必须旋转 180 重合。定理：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（存在逆定理）.10、各种四边形之间的相互关系。四 边 形 平 行 四 边 形梯 形 矩 形菱 形 正 方 形【方法总结】与多边形的角度、边数、对角线数有关的问题，一般运用公式列方程解决。2、分清各种四边形的联系与区别，明白定义、性质与判定方法的正确使用（可以根据条件与结论的前后顺序确定） 。23、对角线是研究四边形的常用辅助线，它既可以把四边形转化为三角
5、形，又可以充分体现四边形的所有特征。4、梯形中常添加辅助线，将其转化为平行四边形或者三角形：（1）过较短底的顶点作梯形的高；（2）过一个顶点作腰的平行线；（3）过一个顶点作一条对角线的平行线；（4）延长两腰相交； （5）连结上底的一个顶点与另一腰的中点，并延长与下底的延长线相交.梯形常用的辅助线如下图: EFEEA DB C CBDA A DB CEECBDA A DB CEFCBDA5、遇到有关中点的问题，常考虑构造中位线，或者使用“倍长中线法”.6、解决折叠问题，抓住“折叠前后重合的图形关于折痕所在直线对称”这一关键。7、 “双重对称图形”判断妙着：一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能
6、画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形.8、求特殊图形的面积，通常需要添加辅助线把它转化为规范图形，转化的方法主要有“割” 、 “补”两种.9、在众多的定理中，要严格区分有无逆定理，比如平行线等分线段定理就不存在逆定理。【典型例题剖析】【例 1】若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_.剖析：设此凸多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于 3600”的推论，列方程，得(n - 2)1800 =3600.解得 n=4.【例 2】下列图案既是中心对
7、称，又是轴对称的是 （ ）A. B. C. D.剖析：由“方法总结”第 7 条，易知选 A.【例 3】下列命题中，真命题是( )A.有两边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的四边形是矩形C.四个角相等的菱形是正方形 D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形剖析：由各类平行四边形的判定方法可知，A、B、D 都不对，它们分别缺少了 “两邻边” 、 “平行四边形” 、 “对角线互相平分”等条件；C 中四边形的四个角相等，均为 900，必是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。故选 C.【例 4】如图， ABCD 的周长为 16cm，AC、BD 相交于点 O，OEAC 交 AD 于
8、E，则DCE 的周长为（ ）A4 cm B6cm C8cm D10cm剖析：由题意知，AD+CD=8cm 。 ABCD 中，AC、BD 互相平分，则 OE 为 AC 的垂直平分线，所以 EC=EA。AB COE D3因此，DCE 的周长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。故选 C.【例 5】如图，在 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AC、BD 分别交于 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用. ABCD 中，AECF，1=2. 又AOE=COF，AO=CO.AOECOF，EO=F
9、O. 四边形 AFCE 是平行四边形 . 又 EFAC， AFCE 是菱形.【例 6】如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于 O，四边形 AEFC 是 菱形，EHAC，垂足为 H求证：EH FC21剖析：容易证得，四边形 HOBE 是矩形，则 EH = BO = BD = AC = FC.12 12 12【例 7】探究规律：如图 1，已知直线 m n，A、B 为直线 n上的两点，C、P 为直线 m上的两点。（1）请写出图中面积相等的各对三角形： 。（2）如果 A、B、C 为三个定点，点 P 在 上移动，那么无论 P 点移动到任何位置总有： 与ABC 的面积相等；理由是：
10、 。nm 第 26题 图 1 O BAPC nm 第 26题 图 2 EDCBA n m 第 26题 图 3 NMEDCBA如图 2，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图 3 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图 3 中折线 CDE）还保留着，张大爷想过 E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多。请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。 （不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图 3 中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由。剖析：本题从一个简单几何原理入手，逐步深入探究，并
11、用它解决实际问题，较好地体现了新时期的教学理念“创新”与“应用”两大主旋律。（1）ABC 和 ABP, AOC 和BOP, CPA 和CPB 分别面积相等。（2）因为平行线间的距离相等，所以无论点 P 在 m 上移动到任何位置，总有ABP 与ABC 同底等高，因此，它们的面积总相等. AB CDEFO12图 1 图 2 图 34解决问题：（1）画法如图.连结 EC, 过点 D 作 DF/EC, 交 CM 于点 F, 连结 EF, EF 即为所求直路的位置. （2）设 EF 交 CD 于点 H,由上面得到的结论，可知：SECF =SECD , SHCF =SEDH .S 五边形 ABCDE=S
12、五边形 ABCFE,S 五边形 EDCMN= S 四边形 EFMN.【例 8】采用如图所示的方法，可以把梯形 ABCD 折叠成一个矩形 EFNM(图中 EF,FN,EM 为折痕)，使得点 A 与 B、C 与 D 分别重合于一点.请问，线段 EF 的位置如何确定;通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式(至少三个)？证明你的所有结论.提示：EF 为梯形 ABCD 的中位线，可以看出梯形的中位线定理、面积公式、等腰三角形的性质定理、平行线的性质定理等等。基础题型1如图在平行四边形 ABCD中， :5:3B，求这个平行四边形各内角的度数 A B CD解： 四边形 是平行四边形AD， 180B由于 :
13、5:3故设 x，则 x即 180解得 2. 因此 2.51.A， 32.567.B平行四边形各内角度数分别是 ， 67， 1，已知平行四边形 BCD的周长为 38cm， AC， D相交于 O，且 AB的周长比 OC的周长小于 3cm，如图，求平行四边形 A各边的长解： 四边形 为平行四边形O， ， ABCDEFMN5AOB的周长 BAC的周长 C且 的周长比 的周长小于 3cm()()O3又 平行四边形 ABD的周长为 819C8cm， c，如图，已知：在平行四边形 C中， BD是对角线， AEBD于 ， CFB于求证： AEFDCB AEF证明：方法一： 四边形 B是平行四边形A ， DFE
14、， C()BASA ODCB AEF方法二：连接 ，交 B于四边形 A是平行四边形O，又 ED， FC，而 AOCF（ S） 如图所示，在平行四边形 B中， E， 分别是 AC， 延长线上的点，且 CEAF，则 B与 DE具有怎么样的位置关系？试说明理由 EFAB CD解： F证明：方法一：在平行四边形 ABD中， C ， ABD，BACD6180BACF， 180ACDEDE又 B()S方法二连接 ，交 于 O在平行四边形 AC中， ，FEOBDBFE（ SA） OEF AB CD OEF AB CD方法三连接 D，交 A于 ，连接 DF，由方法二知 OF， B四边形 BE为平行四边形如图，
15、已知 是平行四边形 AC对角线的交点， 38ACcm， 24BDc， 14Acm，那么 OBC的周长为 OD CB A解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知 14BCDcm，1241Dcm，138192OCAcmO的周长为 95BCO 如图平行四边形 A中， EFAB ， GHD ， EF与 交于 ，则该图形中的平行四边形的个数共有（ ） 7 8 0 FED CB AGHO由题意可知图中的平行四边形分别是： DEOH， AG， FC， OB， DAGH， BC， DEF， ABC， D所以共有 9个.如图，平行四边形 AC中， F平分 B交 于 N，交 的延长线于 F， ，交
16、于 M，交 延长线于 E，垂足为 O，试证明： BE7ONMFEABCD证明： 四边形 AD为平行四边形 ， ， ABCD， E， AMEF， 90OM平分 ， FA （ S）D， BA， ECB， CEF如图，已知： ， ， F分别在 ABC的各边上， DEAF ， ，延长 FD到 G，使 2FD求证： AG与DE互相平分 A B CDE FG A B CDE FG证明：连接 A， EF ， 四边形 是平行四边形D， A又 2G1FAE，而 四边形 为平行四边形与 D互相平分如图，已知 是 BC的边 A的中点， E是 AC上的一点 DFBE ， A 试说明： E与 DF互相平分 A B CD
17、 EFA B CD EF8证明：连接 AF， DEB， 四边形 为平行四边形， FBD是 中点AEF， 四边形 AE为平行四边形与 D互相平分10如图，点 M， N分别在平行四边形 BC的边 ， A上，且 BMDN， EB， NFD，垂足分别为 E，求证： 与 互相平分 MNAB CDE FMNAB CDE F证明：连接 N，四边形 AD是平行四边形C， BA90EF， 90ENFDBMN()S四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）与 EF互相平分1如图， A与 互相平分，交点为 M， EC与 DF互相平分，交点为 N，那么，四边形 ABCD是平行四边形么？你是怎么判定
18、的？ NMEFA BCD NMEFA BCD解：四边形 CD是平行四边形证明：连接 E， ， ， E， CA与 B互相平分四边形 F是平行四边形， AC与 互相平分四边形 E是平行四边形B，AD， C四边形 是平行四边形12.如图，已知 , F是 AB的高， D是 C的中点求证： DEF9AB CDEF证明： E， F是 AB的高， 均为直角三角形 是 的中点是 RtC斜边上的中线， DE是 RtBC斜边上的中线12DFB，12E13.如图，先将矩形纸片 A对折一次折痕为 F，展开后又将纸片折叠使点 A落在 EF上，此时折痕为 BM，求 NC度数的大小 MNAB CDE FGFEDCBA NM
19、提示：根据题意得1122AEBDFAB过点 N作 G，垂足为则12， 30C（直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）4.过矩形 AB对角线 的中点 O作 EFAC分别交 B， D于 E, F，点 G为 AE的中点，若 30AOG，求证：3OD GFEA BCD OOD CBA EFG证明：连接 C四边形 BD是矩形OEFA是线段 的垂直平分线C1030AOG 60ACB， 30OE30BC 12BEC是 E中点 123OGDC15.在矩形 AB， 6, 8B，将矩形折叠，使点 C与点 A重合，折痕为 EF，在展开，求折痕 EF的长 FEDCBA O解： 6A, 8 由勾
20、股定理可得 10AC根据题意有 ，设 AFx， 8Bx由勾股定理 22B，即26()解得25454FC57642AES，12AFCES152（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）6已知：如图， O是矩形 BD对角线的交点， 平分 BAD， 120O，求 AEO的度数 EODCBA答案：提示 ABE为等腰直角三角形， OAB为等边三角形， OBE为等腰三角形 30， 75B， 7543017.如图， MN为过 RtA的直角顶点 的直线，且 DMN于 ， CEN于点 ， AC， F为 的中点，求证：DF AB CD EFNM AB CD EFNM证明：连接 AC为直角三角形， 为
21、斜边 B的中点11BFAC9090BMNACDN， E， DE，又 BAC（ S）， 90， F为 BC的中点45FDAN，即 DFAE又 BE， （ S） F总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线18如图 是菱形 C边 的中点， C于 H，交 B的延长线于 ，交 AB于 G，求证： AB与 EF互相平分 GHAB CDEFF EDCBAHG证明： 四边形 AD是菱形 EG， AH AEHG（ AS） EG12E12BBCFGAF（ S）， 即 A与 E互相平分方法二：连接 ， E由12ED，12B得 GBFG，则 AEBGFABF且 四边形 F为平行四边形 与
22、 互相平分9如图，在 C中， 90A， D是 A的平分线，交 C于点 D， H是 边上的高，交 AD于 F， EAB于求证：四边形 E是菱形 A BCDEFH证明： D是 的平分线CA90B， B， 90FHACDF 12AD是 的平分线， CDA， EBCE FHB，四边形 是平行四边形 平行四边形 CE是菱形20菱形 ACD中， 120，如果它的一条对角线长为 12cm，求菱形 ABCD的边长解： ABCD ODCBA若对角线 12Acm，如图 四边形 CD为菱形，且 120A60DACB则 ADC为等边三角形菱形 的边长为若对角线 B，如图 四边形 为菱形，且 B则 为等边三角形又 O6
23、c 设 Ox， 2，由勾股定理可得22()x，解得 3， 43ADcm综上所述：菱形 ABCD的边长为 1cm或 42如图，四边形 是正方形， E是 C的中点， F是 BC上的一点，且 3BFC求证： EF AB CDEFAB CDEF证明：连接 A，设 k，则 4k四边形 D是正方形 90D， 4ABDAkE为 中点 2E在 RtBF中， 225ABFk在 tC中， 2C在 tADE中， 20DEk13则 22AEF， AEF是直角三角形90 （到初三的时候此题还有额外的证明方法） 3如图，过正方形 BCD对角线 上一点 P，作 EBC于 ，作 PFD于 ，连接 AP， EF求证： APEF
24、，P FEPAB CDHDCBAPE F证明：连接 P，延长 A交 于点四边形 D是正方形45A， BBCP（ S）C， PE， F， D四边形 为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）AE， 90PC（ HL）PFEFBABC， APEH9090E 24如图正方形 D中， M是 的中点， NDM， B平分 CE，交 MN于求证： N NA BCDEMFM ED CBA N证明：取线段 D的中点 F，连接四边形 C为正方形， 90A为 中点， 为 B中点45FM 135DFMBN平分 CE 4NE13 D 90AB1490DMBA ADMBN在 F与 N中BFB()AS DMN思考：若点 M是线
25、段 A上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？M ED CBA NFM ED CBA N请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了 25如图，在梯形 CD中， A ， DBC， ， F分别是 AD， C的中点，且 FBC，求证：梯形 ABCD为等腰梯形 AB CDEF MNAB CDEF证明：过 E分别作 A， 的平行线交 于 ， ，易知四边形 ABME和四边形 DCNE 都是平行四边形M， DN， AE， D， 分别是 ， 的中点， BFCNEE F是线段 MN的垂直平分线AD故梯形 BC是等腰梯形26已知等腰梯形 中， BC， 60， 15
26、ADcm， 49BCc，求它的腰长 DCBA EAB CD解：方法一：过点 A作 E ，交 于点D 四边形 D为平行四边形C，BB 60 四边形 ABCD为等边三角形E15， 49C 49153E34Acm15方法二 MNAB CD过点 A作 ，垂足为 ，过点 D作 NBC，垂足为 N四边形 D为等腰梯形BC， 90N（ AS）MA四边形 D为矩形 MN49BC， 15()(4915)722NA6030B 34Bcm27如图，在 中， C， D平分 AC， D，点 E是 BC的中点求证： DEA ()2ABCDE FEDC BA证明：延长 交 A于点 F， 90D平分 B DAFC（ S） （
27、 又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”）AF，点 E是 的中点是三角形 B的中位线D，12 AFC1()2EB8如图，在梯形 D中， AB ， CDAB， E是 中点求证： 9016A BCDEA BCDE F证明：取 BC中点 F，连接由梯形中位线性质可知 EDA 且1()2EDCAB EFB 90CE与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例 1 如左下图 1，在平行四边形 中，点 在对角线 上，且 ,请你以 为一个端点，和图中已标明字母,ACF的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即
28、可）连结 BFDEBF证明：连结 ,设 交于点 ODAC四边形 为平行四边形 A OBDCA, 即CEF四边形 为平行四边形 BFEB 图2图1OOECCA BDA BDEF第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例 2 如右图 2，在平行四边形 中，对角线 和 相交于点 O，如果 ，ACDD1AC， ，那么 的取值范围是（ ）10BDmA B C D2120m65m解：将线段 沿 方向平移，使得 , ,则有四边形 为平行四边形,在 中, ,EBBEACE12,CE ，即 解得 故选 A102第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例 3 已知：如左下图
29、3，四边形 为平行四边形AD求证： 222 ACBA证明：过 分别作 于点 ， 的延长线于点 FD,EF17 BCEABECBACEA 2)(2222FDFDFBD)(则 2222四边形 为平行四边形 且 ,ACABCBCA FB 09FE DE 222 D 321图4图3KP FE DCFEDAB C B A第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例 4：已知：如右上图 4，在正方形 中， 分别是 、 的中点， 与 交于 点，求证：ABDE,CDBECFPAB证明：延长 交 的延长线于点CFK四边形 为正方形 ABD 且 , , 09B 又 , K109AAFDCDKAF
30、ABCCE21E 09D21 ,则31093209PB09KPB ABP第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例 5 如左下图 5，在平行四边形 中，点 为边 上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。ABCED解：延长 与 的延长线相交于 ，则有EF , , DFAB18图6图5FONDDBAC BACEF E第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例 6 已知：如右上图 6，在平行四边形 中， , ,ADN31交 于 ，求DFB:解：连结 交 于点 ,连结ACON四边形 为平行四边形 2,BDOC 且 N2121FNE BCE313:NE3 52OF51BDF综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形） 、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
