收藏 分享(赏)

平面向量复习讲义.doc

上传人:精品资料 文档编号:8053224 上传时间:2019-06-06 格式:DOC 页数:10 大小:862.51KB
下载 相关 举报
平面向量复习讲义.doc_第1页
第1页 / 共10页
平面向量复习讲义.doc_第2页
第2页 / 共10页
平面向量复习讲义.doc_第3页
第3页 / 共10页
平面向量复习讲义.doc_第4页
第4页 / 共10页
平面向量复习讲义.doc_第5页
第5页 / 共10页
点击查看更多>>
资源描述

1、1平面向量复习讲义一向量有关概念:1向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 。2零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: ,注意零向量的方向是任意的;03单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是AB);|AB4相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;5平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量,ab记作: ,规定零向量和任何向量平行。ab提醒:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;两个向量平行与与两条直线平行是

2、不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;平行向量无传递性!(因为有 );06相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。如aa下列命题:(1)若 ,则 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点ab相同,终点相同。 (3)若 ,则 是平行四边形。 (4)若 是平行四边ABDC ABCD形,则 。 (5)若 ,则 。 (6)若 ,则 。其中正确的是ABDC,ca/,bc/_(答:(4) (5) )二向量的表示方法:1几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 ,注意起点在前,终点在后;AB2符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 ,

3、 , 等;abc3坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ,xyi为基底,则平面内的任一向量 可表示为 ,称 为向量 的j a,ij,xya坐标, 叫做向量 的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标a,xy与向量的终点坐标相同。三平面向量的线性运算:(1)向量加法:三角形法则:(“首尾相接,首尾连 ”),如图,已知向量 a、.在平面内任取一点 ,作A a, b,则向量 叫做 a与 b的和,记作 bABCA定:a + 0-= 0 + a=a,当向量 与 不共线时, + 的方向不同向,且| + | |,则 + 的方向与 相同,且| + |=| |-| |;

4、abababa若| |0 时,a 的方向与 a 的方向_相同_;当 0 时,a 的方向与 a 的方向相反_;当 0时,a0_3向量数乘的运算律(a)_( ) a_;( )a_aa_;(ab)_ab_。(4)共线向量定理a 是一个非零向量,若存在唯一一个实数 ,使得 b a,则向量 b 与非零向量 a 共线 (证明三点共线)三点 共线 共线。ABC、 、 AB、注意:(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的 区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线(2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 1, 2,使 1a 2b0 成立,若 1a 2b0,当且仅

5、当 1 20 时成立,则向量 a、b 不共线例 1. 设两个非零向量 a 与 b 不共线,(1)若 ab, 2a8b, 3( ab),求证:A、B、D 三点共线;AB BC CD (2)试确定实数 k,使 kab 和 akb 共线4平面向量的基本定理:如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数、 ,使 a= e1 e212我们把不共线的向量 e1和 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。向量的夹角:已知两个非零向量 、 ,作 , ,则AOB ,叫向量 、 的夹abaAObBb角,当 0, 、 同向,当 80, 、 反向,当 90, 与 垂

6、直,记作 。ab aa例 1 如图,在ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的4中点,BE 与 CF 相交于 G 点,设 a, b,试用 a,AB AC b 表示 .AG 用方程思想解决平面向量的线性运算问题:例 2 如图所示,在ABO 中, , ,AD 与 BC 相交于点 M,OC 14OA OD 12OB 设 a, b.试用 a 和 b 表示向量 .OA OB OM 解 设 manb,OM 则 manba(m1)anb.AM OM OA a b.AD OD OA 12OB OA 12又A、M 、D 三点共线, 与 共线AM AD 存在实数 t,使得 t ,AM AD 即(m1) anb

7、t .( a 12b)(m1) anb ta tb.12Error!,消去 t 得,m12n,即 m2n1.又 manb a anb,CM OM OC 14 (m 14) b a ab.CB OB OC 14 14又C、M、B 三点共线, 与 共线CM CB 存在实数 t1,使得 t 1 ,CM CB anbt 1 ,(m 14) ( 14a b)Error!,消去 t1得,4mn1.5由得 m ,n , a b.17 37 OM 17 37课堂练习:(1)若 ,则 _(,)ab(,)(,2)cc(答: ) ;132ab(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是A. B. 12(0,)(

8、1,)e12(,)(5,7)eC. D. 356 134(答:B) ;(3)已知 分别是 的边 上的中线 ,且 ,则 可用向,ADBEAC,B,ADaEbC量 表示为 _,ab(答: ) ;243ab(4)已知 中,点 在 边上,且 , ,则 B2 srC的值是_sr(答:0)5平面向量的坐标运算:若在平面直角坐标系下,a(x 1,y 1),b( x2,y 2)(1)加法:ab(x 1x 2,y 1y 2)(2)减法:ab(x 1x 2,y 1y 2)(3)数乘: a( x1, y1)(4)向量的坐标:若 A(x1,y 1),B( x2,y 2),则 21(,)ABxy,一个向量的坐标等于表示

9、此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。(5)中点坐标:若 A(x1,y 1),B( x2,y 2),则线段 AB 的中点坐标为1212(,)xy(6)向量相等::若 a(x 1,y 1),b(x 2,y 2),则 21yba(7)向量共线或平行:a(x 1,y 1),b( x2,y 2),若 /,则 1x.题型一 求向量的坐标【例题 1】如图所示,若 , 与 轴正方向夹角为 30,求向量 的坐标.OAxOAOxAy6【例题 2】 的三个顶点的坐标分别是 , 为 的中点,求向量ABC )8,1(6,7),4(CBADB.D,题型二 由向量相等求参数的值【例题 3】已知向量 ,若 ,求 的值.

10、)2,5(),(2bxyabayx,题型三 平面向量的坐标运算1. 向量坐标运算的直接应用【例题 4】已知平面向量 ,则向量 =( ))1,(),(baba23A. B. C. D. )1,2(122),1(2. 利用向量坐标运算求点的坐标【例题 5】已知 且 ,求 的坐标.)4,3()1,4,2(CBA CBNAM2,3M题型四 平面向量平行的坐标运算【例题 6】(1)若向量 ,当 _时 与 共线且方向相同(,)(,)axbxab(答:2) ;7(2)已知 , , ,且 ,则 x _(1,)4,)abx2uabva/uv(答:4) ;(3)设 ,则 k _时,A,B,C 共线,2(,5(10

11、,)PAkBPC(答:2 或 11)6平面向量的数量积(1)两个非零向量夹角的概念:已知非零向量与,作 , ,则( )叫与的夹角.OAB说明:1当 时,与同向;2当 180时,与反向;3当 9时,与垂直,记;4注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0180(2)平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 ab与 ,它们的夹角是 ,则数量 cosab叫 与 的数量积,记作 abA,即有 abA= cos, ().注意数量积是一个实数,不再是一个向量。其中 是 与 的夹角, cosa()叫做向量 a在 方向上( a在 方向上)的投影。我们规定 0 向量与任何向量的数量积为 0.(

12、3)两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量,1ab ab = 02当 a 与 b 同向时,a b = |a|b|; 当 a 与 b 反向时,ab = |a|b|. 特别的 aa = |a|2 或 |ab| |a|b| cos = | |ba3当 为锐角时, 0,且 不同向, 是 为锐角的必要非充分条件;当 为b a、 0ab 钝角时, 0,且 不反向, 是 为钝角的必要非充分条件;当 为直角时,ab a、 0a=0.(4)向量的投影:“投影”的概念:作图8定义:|b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;当 为锐角时投影为正值; 当为钝角时投影为负值

13、; 当为直角时投影为 0;当 = 0时投影为 |b|; 当 = 180时投影为 |b|.向量的数量积的几何意义:数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积.(5)向量的运算律:1交换律: , , ;ab2结合律: , ;,cccabab3分配律: , 。a c如下列命题中: ; ; cabc)( ba)(2()ab|; 若 ,则 或 ;若 则 ;22|ab00,c ; ; ; 。其中正确的是2ba2()22()b_(答:)(6)向量的数量积的坐标表示、模、夹角:1数量积:abx 1x2y 1y2,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。2 向量垂直:ab x

14、1x2y 1y203 向量的模长:若 a(x,y),则 222|,|axyaxy4 向量的夹角:若 a(x 1,y 1),b( x2,y 2),则 221|,cos yxb5 两点间的距离:若 ,则12,AB221)()(| yxAB6 a 在 b 方向上的正射影的数量为 2|,cos|baa课堂练习:1.已知 , ,且 ,则向量 在向量 上的投影为_3|a5|b12aa(答: )51292.已知 , ,如果 与 的夹角为锐角,则 的取值范围是_)2,(a)2,3(bab(答: 或 且 ) ;430133.已知 的面积为 ,且 ,若 ,则 夹角 的取值范围OFQS1 FQO2S FQO,是_(

15、答: ) ;(,)434.ABC 中, , , ,则 _3| AB4| C5| BBCA(答:9) ;5.已知 , 与 的夹角为 ,则 等于_1(,)(0,),2abcakbdcd4k(答:1) ;6.已知 ,则 等于_,53A(答: ) ;237.已知 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么 _,ab60|3|ab(答: ) ;138.已知 是两个非零向量,且 ,则 的夹角为_,ab与 七向量中一些常用的结论:(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;(2) ,特别地,当 同向或有|ab ab、 0|ab;当 反向或有 ;当 不共线| 、 0| 、(这些和实数比较类似).|(3

16、)在 中,若 ,则其重心的坐标为ABC123,xyBCxy。如123123,xyG若ABC 的三边的中点分别为(2,1) 、 (-3,4) 、 (-1,-1) ,则ABC 的重心的坐标为_(答: ) ;24(,)3 为 的重心,特别地 为()3PABPCGAB0PABCP的重心;BC 为 的垂心;C向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直()(0| 线); 的内心;|ABPACPBA(3)若 P 分有向线段 所成的比为 ,点 为平面内的任一点,则12M10,特别地 为 的中点 ;12MPP1212MP(4)向量 中三终点 共线 存在实数 使得 ABC、 、 ABC、 、 、且 .如平面直角坐标系中, 为坐标原点,已知两点 , ,若点 满足O)13(A)BC O,其中 且 ,则点 的轨迹是_ O21R21,121(答:直线 AB)

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索
资源标签

当前位置:首页 > 企业管理 > 管理学资料

本站链接:文库   一言   我酷   合作


客服QQ:2549714901微博号:道客多多官方知乎号:道客多多

经营许可证编号: 粤ICP备2021046453号世界地图

道客多多©版权所有2020-2025营业执照举报