1、 模拟退火算法模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据 Metropolis 准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为 e-E/(kT)，其中 E 为温度 T 时的内能，E 为其改变量，k 为Boltzmann 常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能 E 模拟为目标函数值 f，温度 T 演化成控制参数 t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解 i 和控制参数初值 t 开始，对当前解重复“产生新解计算目标函数差接受或舍弃”的
2、迭代，并逐步衰减 t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值 t 及其衰减因子 t、每个 t 值时的迭代次数 L 和停止条件 S。 3.5.1 模拟退火算法的模型 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 模拟退火的基本思想: (1) 初始化：初始温度 T(充分大)，初始解状态 S(是算法迭代的起点) ， 每个 T 值的迭代次数 L (2) 对 k=1，L 做第 (3)至第 6 步： (3) 产生新解 S (4) 计算增量 t=C(S)-C(S)
3、，其中 C(S)为评价函数 (5) 若 t0，然后转第 2 步。 算法对应动态演示图： 模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤： 第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。 第三步是判断新解
4、是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is 准则: 若 tm，则将 (w1, w2 ,，wk , wk+1 ,，wm ,，wn) 变为： (wm, wm-1 ,，w1 , wm+1 ,，wk-1 ,wn , wn-1 ,，wk). 上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。 也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。 代价函数差 设将(w1, w2 ,，wn)变换为(u1, u2 ,，un), 则代价函数差为： 根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解 TSP 问题的伪程序： Procedure TSPSA
5、: begin init-of-T; T 为初始温度 S=1 ， ，n; S 为初始值 termination=false; while termination=false begin for i=1 to L do begin generate(Sform S); 从当前回路 S 产生新回路 S t:=f(S)-f(S);f(S)为路径总长 IF(tRandom-of-0,1) S=S; IF the-halt-condition-is-TRUE THEN termination=true; End; T_lower; End; End 模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题
6、(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。 3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题 模拟退火算法的应用很广泛，可以求解 NP 完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点： (1) 温度 T 的初始值设置问题。 温度 T 的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。 (2) 退火速度问题。 模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火) 是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。 (3) 温度管理问题。 温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式： T(t+1) kT(t) 式中 k 为正的略小于 1.00 的常数，t 为降温的次数。
