1、动量定理和动量矩定理完整描述了外力系对质点系效应。但不反映内力效应。,第十一章 动能定理,动能定理揭示了质点系动能的改变量与作用力(内、外力)的功之间的关系 。,11-1 功与动能,11-2 动能定理,11-3 动力学普遍定理的综合应用,目录,11-1-1 功的计算,11-1 功与动能,11-1-2 动能的计算,目录,功是标量，有正负。,1) 元功,2) 功,1.功的一般概念,11-1-1 功的计算,则力从点M1到点M2过程作的功为,或,( W ),图示绕线轮沿斜面下滑S距离，计算各外 力的功。,问题 1.,11-1-1 功的计算,速度瞬心,一对内力,两点距离变化时，内力功不为零。为引力时，距
2、离减小，内力功为正；反之为负。,变形体中内力功不为零，刚体中内力功为零。,可见:,2.内力的功,11-1-1 功的计算,1.发动机内力作正功，汽车加速行驶；2.机器中内摩擦作负功，转化为热能；3.人骑自行车,内力作功，加速行驶；4.外力使弹性体变形，内力作负功。,内力功实例:,11-1-1 功的计算,3.几种常见力的功,1)重力的功,质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。,11-1-1 功的计算,2)弹力的功,3)万有引力的功,2.弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。,11-1-1 功的计算,如果作用力偶m ,则
3、力偶作的功:,设在绕定轴 z轴转动的刚体上A点作用有力F，如图示,刚体从j1到j2转动过程中力F作的功为,4) 定轴转动刚体上作用力的功、力偶的功,11-1-1 功的计算,5) 理想约束及理想约束的功,约束力作功为零的约束称为理想约束,a)理想约束：,b)几种常见的理想约束：,（1）光滑固定面约束,（2）活动铰支座、固定铰支座和向心轴承,（3）联接刚体的光滑铰链（中间铰）,（4）柔索约束（不可伸长的绳索）,11-1-1 功的计算,（5）刚体沿固定面作纯滚动,(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功,(3)圆轮沿固定面作纯滚动时，滚阻力偶Mf的功,(1) 动滑动摩擦力的功,摩擦力的功,1
4、1-1-1 功的计算,重物由平衡位置下移 ，求弹簧力的功。,问题 1,均质轮纯滚动S距离后静止，求摩擦阻力的功。,问题 2,11-1-1 功的计算,11-1-2 动能的计算,1. 质点的动能,2. 质点系的动能,上面第二式 为第i个质点相对质心C的速度，称为柯尼希定理。,或,1) 平移,3) 平面运动,3. 刚体的动能,11-1-2 动能的计算,2) 定轴转动,或,1. 均质轮纯滚动，已知 ,求 。,11-1-2 动能的计算,2. 计算图示均质系统的动量K,动量矩LO ，动能T,m,R,m,L,11-1-2 动能的计算,11-1-2 动能的计算,作业： P862；P871,11-2-1 动能定
5、理的三种形式,1) 平移,3) 平面运动,3. 刚体的动能,11-1-2 动能的计算,2) 定轴转动,问题 1,均质轮在均质OA杆上纯滚动，已知OA杆和轮质量m,且知,，OB=a,求系统的动能T。,其中：,11-1-2 动能的计算,应考虑 是否变化!,问题 3,不一定。,轮纯滚,11-1-2 动能的计算,11-2 动能定理,(包括内力和外力功),11-2-1 动能定理的三种形式,11-2-2 动能定理的应用,目录,1 .微分式,2 .积分式,微分式多用来求解加速度和角加速度问题， 积分式既可以求速度和角速度，也可以求加速度和角加速度（必须取一个具体时刻和一个任意时刻，然后对时间求导数）。,外主
6、动力功,内力功,约束力功,11-2-1 动能定理的三种形式,3.守恒式(机械能守恒),质点系在运动过程中只有保守力(有势力)作功，则其机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。,有势力：重力、弹性力、万有引力,或,11-2-1 动能定理的三种形式,动能定理与动量矩定理数学上独立吗?,一般不独立，例如均质轮纯滚，,故,即动量矩定理,问题 1,11-2-1 动能定理的三种形式,对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。,问题 2,又如图(b)所示:,11-2-1 动能定理的三种形式,3. 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重Q, 长
7、l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加速度。,取整个系统为研究对象， 受力分析和运动分析,初始时刻：,任意时刻：,11-2-2 动能定理的应用,将(1)式两边分别对t 求导，可得,由动能定理 有,11-2-2 动能定理的应用,(逆时针),4. 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？,取整体为研究对象，受力分析和运动分析,初始时刻：,OA水平：,其中：,11-2-2 动能定理的应用,由动能定理 有,
8、11-2-2 动能定理的应用,图(b)瞬时，点C为BC杆速度瞬心,取整体为研究对象，受力分析和运动分析,初始时刻：,ABC水平：,11-2-2 动能定理的应用,由动能定理 有,题型特点:,单自由度系统，已知力求运动。,运动过程很明显，用动能定理的积分式进行求解十分方便。,11-2-2 动能定理的应用,6.图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘B上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止),11-2-2 动能定理的应用,取系统为研究对象， 受力分析和运动分析,初始时刻：,任意时
9、刻：,11-2-2 动能定理的应用,式（1）对时间求导得：,由动能定理 有,11-2-2 动能定理的应用,作业： P896,7；P9010,思考： P882,4,11-2-2 动能定理的应用,1.两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。,又由于初始静止，所以水平方向质心位置守恒，即C点速度方向竖直向下。,取整体为研究对象，,分析受力：,11-2-2 动能定理的应用,显然AC杆和BC杆的动能相同。,AC杆的速度瞬心为A点，于是可得,由动能定理 有,11-2-2 动能定理的应用,1 .微分式,
10、2 .积分式,11-2-1 动能定理的三种形式,3.守恒式(机械能守恒),2.长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。,因水平方向不受外力，且初始静止，质心C铅垂下降。因约束反力不作功, 主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。,由机械能守恒定律：,将 代入上式，化简后得,初瞬时：,任一瞬时：,11-2-2 动能定理的应用,(a),在任意位置 时，轮 与杆的速度瞬心分别为 和，且有,11-2-2 动能定理的应用,(b),任意时刻：,11-2-2 动能定理的应用,再将式(a)代入上式，并经整理得,(c),(a),
11、将 ，代入式(c)得,11-2-2 动能定理的应用,若 时 ， 则,2.本题若将动能定理积分形式或机械能守恒式 两边对时间t求导，可获同样结果。,1.若取AB与水平方向的夹角 为变量时， 与 正方向相同，而与实际 方向相反。,11-2-2 动能定理的应用,11-3 动力学普遍定理的综合应用,动量定理,动能定理,动量矩定理,动力学普遍定理,加速度和角加速度问题,速度和角速度问题,约束力问题,若有过程，优先考虑动能定理。,方法一：用动能定理求解（求导）,用动量定理或动量矩定理求解,求解中还要注意应用三大定理的守恒条件以及运 动学的补充关系。,三种题型,11-3 动力学普遍定理的综合应用,方法二：用
12、动量定理和动量矩定理综合求解。,11-3 动力学普遍定理的综合应用,选系统为研究对象,受力分析,运动分析，运动学关系：,8.均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求滑块的加速度。,11-3 动力学普遍定理的综合应用,由动能定理 有,上式两边对时间求导得,于是可得：,AB 杆的内力？,(沿斜面向下),11-3 动力学普遍定理的综合应用,9.重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束力。,1.取圆盘为研究对象,所以圆盘平移
13、。,11-3 动力学普遍定理的综合应用,（2）用动能定理求速度。取系统研究。初始时T1=0 ，,代入数据，得,由动能定理 有,最低位置时：,11-3 动力学普遍定理的综合应用,（3）取整体，用动量矩定理求杆的角加速度 。,盘质心B 的加速度：,杆质心 C的加速度：,11-3 动力学普遍定理的综合应用,（4）研究整个系统，由质心运动定理求支座的约束力,代入数据，得,由,有,11-3 动力学普遍定理的综合应用,10.质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力 时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。,取系统为研究对象。设任一瞬时，杆的速度为v
14、， 则圆柱体质心速度为v/2，角速度,系统的动能,主动力的元功之和：,方法一：用动能定理求解。,11-3 动力学普遍定理的综合应用,由动能定理的微分形式,两边除以 ，可得,得,11-3 动力学普遍定理的综合应用,(2) 方法二：用动量矩定理求解 取系统为研究对象，O点为系统的质心,根据动量矩定理： ，得,O,11-3 动力学普遍定理的综合应用,作业： P9215；P9317,18,思考： P9214,第十一章完,1.图(a)所示均质杆长2l, 重G，细绳长l，f =0， 杆由静止滑到虚线位置时，求vB及A, B处约束力。,虚线位置时，杆AB瞬时平移。,(C为质心),11-3 动力学普遍定理的综合应用,由动能定理 有,AB杆 加速度如图(b),(a),其中,(a)式向y方向投影，得,而,11-3 动力学普遍定理的综合应用,(b)式向y方向投影，得,由质心运动定理有,11-3 动力学普遍定理的综合应用,由相对于质心的动量矩定理有,将aC, 代入上两式，可得,2.若将OA绳改为两端铰接的均质杆，情形怎样?,3.若AB杆运动至虚线位置时突然绳断，试求此时 B端约束力、此后AB杆的运动规律与A端落地时的速度。,1.初瞬时,如何求杆的约束力?,11-3 动力学普遍定理的综合应用,
