1、一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图” ， “三垂直” ， “弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类全等篇 DCA BPDCBAPCA BPD同侧锐角 直角 钝角CDPBAADPCBDPBCA异侧相似篇 DCA BPDCBAPCABPD同侧锐角 直角 钝角DCPBACDPBADPCAB异侧三、 “一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由1=2=3，易得AECBDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如
2、图 3-1，若 CE=ED，则AECBDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当1=2=3，且 D 是 BC 中点时，BDECFDDFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3，当1=2 且 时，点 O 是ABC 的内心.可以考虑构1902BOCBA造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 这是内心的性质，反之未必是内心.1902BOCBA在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC
3、反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、 “一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角” ，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角” ，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或
4、 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.解题示范例 1 如图所示，一次函数 与坐标轴分别交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB 4yx上一个动点（不包括 A、B 两端点） ，C 是线段 OB 上一点，OPC=45，若OPC
5、是等腰三角形,求点 P 的坐标.例 2 如图所示，四边形 ABCD 中，C=90 ,ABD=DBC=22.5，AEBC 于 E，ADE=67.5，AB=6,则 CE= .例 3 如图，四边形 ABCD 中,ABC= BAD=90，ACD=45，AB=3，AD=5. 求 BC 的长.例 4 如图，ABC 中,BAC=45，ADBC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，比例不能少.巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造例 5 如图，在ABC 中，BAC=135， AC= AB, ADAC 交 B
6、C 于点 D，若 AD = 2， 求ABC 的面积2当然有 45或 135等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种 .大练身手：例 7：在平面直角坐标系中，已知点 A（1 ，0） ，B（0，3） ，C（3 ，0） ，D 是线段 AB 上一点，CD 交 y 轴于 E，且 SBCE 2S AOB （1 ）求直线 AB 的解析式；（2 ） 求点 D 的坐标，猜想线段 CE 与线段 AB 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3 ）若 F 为射线 CD 上一点，且 DBF45，求点 F 的坐标例 8：如图，直线 yx 2 与 y
7、 轴交于点 C，与抛物线 yax 2 交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，BC2 AC，点 P 是抛物线上一点（1 ）求抛物线的函数表达式；（2 ）若点 P 在直线 AB 的下方，求点 P 到直线 AB 的距离的最大值；（3 ）若点 P 在直线 AB 的上方，且 BPC45，求所有满足条件的点 P 的坐标yE DC AOBxBxyCAO练 1：.如图，抛物线的顶点为 C（1，1 ） ，且经过点 A、点 B 和坐标原点 O，点 B 的横坐标为3（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）若点 D 为抛物线上的一点，且BOD 的面积等于BOC 的面积，请直接写出点 D 的坐标；（3 ）若点 E 的坐
8、标为（ 0，2） ，点 P 是线段 BC 上的一个动点，是否存在点 P，使得OPE 45？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由BACO xyE课后作业：如图，点 A(0,-1),B(3,0),P 为直线 y= -x+5 上一点，若APB=45 ，求点 P 的坐标在四边形 ABCD 中，ABC= BAD=90，ACD=45，AB=3,AD=4, 求 AC 的长.如图，正方形 ABCD 中，点 E,F,G 分别在 AB,BC,CD 上，EFG 为等边三角形，求证：BE+GC= BC3如图，ABC DBA, 且 AC= BC,求证:CD=2AB.:2如图，在四边形 ABCD 中，ABC9
9、0，AB3，BC4 ，CD10 ，DA ，求 BD 的长5如图，点 A 是反比例（X0）图形上一点，点 B 是 X 轴正半轴上一点，点 C 的坐标为（0，2） ，点ABC 是等边三角形时，求点 A 的坐标.如图，抛物线 yax 2bx 4 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点C，直线 l：y xm 经过点 A，与抛物线交于另一点 D（5， ） ，点 P 是直线 l 上方的12 72抛物线上的动点，连接 PC、PD（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）当PCD 为直角三角形时，求点 P 的坐标；（3 ）设PCD 的面积为 S，请你探究：使 S 的值为整数的点
10、P 共有几个，说明理由yxOA BCDl1.如图 1,已知直线 y=kx 与抛物线 交于点 A（3 ，6）.（1 ）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度；（2 ）点 P 为抛物线第一象限内的动点,过点 P 作直线 PM, 交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合）,交直线 OA 于点 Q,再过点 Q 作直线 PM 的垂线,交 y 轴于点 N.试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；（3 ）如图 2,若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点 ,点 E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合）,点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点,且满足BAE=BED=AOD.继续探究：m 在什么范围时,符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、2 个？O xyABED图 2图 1Axy PQMNO274xy如图，直线 AC：y 2x2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 yax 2bxc（a0）过 A、C 两点，与 x 轴交于另一点 B（B 在 A 的右侧） ，且OBC OCA（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）点 D 为抛物线上一点，DCA45 ，求点 D 的坐标；BAOCxy备用图BAOCxy
