1、数学第三册（选修II）,第三章导数,导数的概念,早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果微积分的产生。微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，牛顿是从运动学角度，莱布尼兹是从几何学角度来研究微积分的。可以说，微积分靠解析几何的帮助，成为十七世纪发现的最伟大的数学工具，以后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题。这一问题还与历法、农业密切相关。,来自于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常遇到一些求什么条件下可以使材料最
2、省、时间最少、效率最高等问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最小值。,学习导数与微分是解决上述问题的有力工具。,问题：超市货品架上的罐装饮料（圆柱形），当圆柱形罐的容积V一定时，如何选取圆柱的底半径，能使所用材料最省？,一.瞬时速度,已知物体作变速直线运动,其运动方程为ss(t)(表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度,如图设该物体在时刻t0的位置是(t0)OA0,在时刻t0 +t 的位置是s(t0+ t)=OA1,则从t0 到 t0 +t 这段时间内,物体的位移是:,在时间段( t0+Dt) t0 = Dt 内，物体的平均速度为:,问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度
3、是多少？,平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.,如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+t这段时间内，当 t0 时平均速度:,例1:物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：(1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度；(2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度；(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,(2)将 t=0.01代入上式，得:,即物体在时刻t0
4、=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).,练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:(1)2t2+t这段时间内的平均速度,这里t取值范围为1;(2)t=2时刻的瞬时速度.,一、物理意义瞬时速度,当 越来越小的时候， 越来越接近某时刻的瞬时速度,在物理学中，我们学过平均速度,引入,问题:曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程是什么?,法一:判别式法,引入,问题:曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程是什么?法二:函数极限法,3.曲线的切线,如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P
5、(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,P,Q,割线,切线,T,请看当 点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极
6、限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.,因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.,例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:y=3x-4.,二、小结,1、 瞬时速度是平均速度 当 趋近于0时的极限
7、；2、切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当 趋近于0时的极限；3、边际成本是平均成本 当 趋近于0时的极限.,导数的概念,从上面三个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数学表达式结构是一样的,即计算极限 ,这就是我们要学习的导数的定义.,定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+ x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.,是函数f(x)在以x0
8、与x0+x 为端点的区间x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度,如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导.,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,练习:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题
9、目中给定的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定义中,自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,练习:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,如果函数yf(x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说函数yf(x)在区间(a,b)内可导.这时,对每一个x(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f(x)在区间(a,b)内的导函数,记作 ,即:,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,如果函数y=f(
10、x)在点x0处可导,那么函数在点x0处连续,求函数y=f(x)的导数可分如下三步:,4.导数的几何意义,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 .,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,例1:设f(x)为可导函数,且满足条件 ,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,例3:如图,已知曲线 ,求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程
11、是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,6.小结,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。,c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。,（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数 。,（3）如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说函数yf(x)在开区间(a,b)内可导，这时，对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数 ，这样就在开区间(a,b)内可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。,（4）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,求切线方程的步骤：,
