1、题目：校车安排问题摘要本文针对高校新校区校车运行的安排问题，通过合理的抽象假设，建立了校车安排方案的优化模型。从乘车点的距离最小，满意度最大又可节省运行成本等方面考虑，依据题目中所给条件分别建模求解。在问题解决过程中使用了Warshall-Floyd 算法，分析、建模、求解过程中利用 MATLAB 编写相应程序并对数据进行分析处理，最终得出结论如下：问题 1：仅考虑到每个区按距离车站的远近选择车站n=2 时，乘车点：18 、31 距离：24492n=3 时，乘车点：15 、21 、31 距离：19660问题 2：综合考虑距离及教师总体满意度n=2 时，乘车点：19 、32 满意度：77.77%
2、n=3 时，乘车点：15 、21 、32 满意度：82.60%问题 3：为使教师及工作人员尽量满意，至少需要安排 54 辆校车区 15：安排 17 辆校车区 21：安排 19 辆校车区 32：安排 18 辆校车问题 4：综合考虑距离模型，满意度模型，运营成本以及现实中的各种因素，给出校车安排的一些建议：在校车安排时应综合考虑教师的满意度和增加校车与乘车点的成本问题，在条件允许的范围内尽量增加乘车点以提高总体满意度。关键词：Warshall-Floyd 算法 总体满意度 距离矩阵 MATLAB1、 问题重述许多学校都建有新校区，常常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。由于每天到新校区的
3、教师和工作人员很多，往往需要安排许多车辆。如何有效的安排车辆及让教师和工作人员尽量满意是个十分重要的问题。有如下问题待设计解决：假设老校区的教师和工作人员分布在 50 个区，各区的距离见表 1。各区人员分布见表 2。（1）问题 1：如要建立 n 个乘车点，为使各区人员到最近乘车点的距离最小，该将校车乘车点应建立在哪 n 个点。建立一般模型，并给出 n=2,3 时的结果。 （2）问题 2：若考虑每个区的乘车人数，为使教师和工作人员满意度最大，该将校车乘车点应建立在哪 n 个点。建立一般模型，并给出 n=2,3 时的结果。 （3）问题 3 若建立 3 个乘车点，为使教师和工作人员尽量满意，至少需要
4、安排多少辆车？给出每个乘车点的位置和车辆数。设每辆车最多载客 47 人。（4）问题 4；关于校车安排问题，你还有什么好的建议和考虑。可以提高乘车人员的满意度，又可节省运行成本。2、 模型的假设及符号分析2.1 模型的假设 （1）50 个区域看做 50 个点，附录 A 中标注距离的点间可以直接连通，而未标注的点则不能，必需通过其他点间接到达。（2）假设所有乘车点设立在各小区（点）上，乘车站点不设立在路上。（3）假设教师和工作人员的满意度只与距离有关，而忽略其他因素对其满意度的影响。（4）校车只在各个点上载人，行驶途中不载人。（5）假设所有人员均乘车。（6）假设任意时刻任意站点均有车，不考虑教师及
5、工作人员的等车时间。2.2 符号说明A：各点间距离的邻接矩阵；B：各点间的最短距离矩阵；：顶点 到顶点 的最短距离； ：图中 点到 点最短路径的权； ：图中 点的权，表示 点（即 i 区）的人数； ：各个点到乘车点的总距离；1， 2， 3， ， ：最短总距离;:乘客个体的满意度；：所有乘客的总体满意度；d：某点走到乘车点的距离；D：任意两点最短距离的最大值；R：教师及工作人员走到乘车点的平均距离。3、 模型的建立与求解3.1 计算各区（点）之间的最短路3.1.1 数据分析及处理用附录 A 中的各区之间距离建立对应各点距离的邻接矩阵 A，即A=111221 150 250501502 5050其
6、中 表示点 i 到点 j 的距离，当 =inf ，表示点 i 和点 j 不直接相通。 3.1.2 用 Warshall-Floyd算法计算任意两点间的最短路设 i 为图 G 中的顶点。令 是顶点 到顶点 的最短距离， 是顶点 到顶点 的权。 对于任何一个顶点，顶点 到顶点 j 的最短路经过顶点 或者不经过顶点 。 比较 与 + 的值。若 + ，则令 + ，保持 是当前搜索 = 的顶点 到顶点 的最短距离。重复这一过程，最后当搜索完所有顶点 时， 顶点 到顶点 的最短距离。就是 这一算法的具体实现由 MATLAB 编程实现，具体程序见附录 D。将邻接矩阵 A 作为 Warshall-Floyd
7、算法的输入矩阵，程序输出各点间的最短距离矩阵 B（结果见附录 B）以及取最短距离时部分点间的走法（结果见附录 C）。3.2 建立 n个乘车点使各区人员到最近乘车点的距离最小的数学模型3.2.1 模型的建立为图中 点到 点最短路径的权，表示从 点到 点的最短距离； 为图中 点的权，表示 点（即 i 区）的人数，由于不考虑人数对乘车点的影 响，取 =1，i ，j （1,50 ）。问题 1 的模型为 =1 时的特殊情况：Min f = =50=1 50=1 3.2.2 模型的求解任取 n 个互异点 ， 为乘车点，则从各点到乘车点的总路程为：1 2， 3， ， =1， 2， 3， ， 50=1( 1,
8、 2, )则取 50 个点的组合 做 ， ，分别计算 ，取501 2， 3， ， 1， 2， 3， ， 得使 取最小值的 ， 点即为所求乘车点。即：1， 2， 3， ， 1 2， 3， ， =min（ ） 1， 2， 3， ， 其中 1,2,50, 且 互不相等1， 2， 3， ， 1， 2， 3， ， 取 n=2,3，计算结果，算法的 MATLAB 实现减附录 D .由程序计算得：n=2 时，求得乘车点应在区域 18 和 31，且 =24492n=3 时，求得乘车点应在区域 15、21 和 31，且 =196603.3 考虑每个区的乘车人数建立 n个乘车点，使教师和工作人员满意度最大3.3.
9、1 模型的建立为图中 点到 点最短路径的权，表示从 点到 点的最短距离； 为图中 点的权，表示 点（即 i 区）的人数，取 =1，i，j（1,50）。 则 Min f =50=1 可以想象，去乘车点的距离越大越不满意，即满意度随距离的增加而降低，假设为线性关系，当所有人走的总距离最短时满意度最大。定义 为乘客个体满意度，依假设有：=1 -其中 d 为某点走到乘车点的距离，D 为任意两点最短距离的最大值。定义 为所有乘客的总体满意度，有：=1 - 其中 m 为某点的人数，M 为所有教师人数。定义 R 为教师及工作人员走到乘车点的平均距离，即：R=3.3.2 模型的求解任取 n 个点 为乘车点，所
10、有人到乘车点的总路程为：1， 2， 3， ， =1， 2， 3， ， 50=1（ 1, 2, )则取 50 个点的组合 做 ，分别计算 ，取501， 2， 3， ， 1， 2， 3， ， 得使 1， 2， 3， ， 取最小 值 的 1， 2， 3， ， 点即 为 所求乘 车 点。即：=min（ ） 1， 2， 3， ， 其中 1,2,50, 且 互不相等1， 2， 3， ， 1， 2， 3， ， 取 n=2,3，计算结果，算法的 MATLAB 实现减附录 D .由程序计算得：n=2 时，求得乘车点应取区域 19 和 32，总体满意度 =77.77%；距离乘车点的平均距离 R=496.8n=3
11、时，求得乘车点应取区域 15、21 和 32，总体满意度 =82.60%；距离乘车点的平均距离 R=388.83.4 建立 3个乘车点的数学模型3.4.1 模型的建立此问题以车辆数和总体满意度为双目标函数；任取 3 个点 为乘车点，所有人到乘车点的总路程为：1， 2， 3=1， 2， 350=1（ 1, 2, )分别找出此时到 点距离最近的 个点，计算这 个点的总人数 。（i=1,2,3） 则取 50 个点的组合 做 ，分别计算 ，取得使3501， 2， 3 1， 2， 3 1， 2， 3取最小值的 点即为所求乘车点。即：1， 2， 3=min（ ） 1， 2， 3从而车辆数 K= ( 表示向
12、上取整)3=147 3.4.2 模型求解以上算法通过 MATLAB 编程实现。( 具体程序见附录 D)将最短距离矩阵 B 和各区人数座位输入数据输入程序，计算得到结果：乘车点应设在区域 15、21、32（由模型 3.3 可知）；其中：15 区应安排 17 辆车，到 15 区乘车的区域有：5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、 15 、 16 、 17 、 18 、 25 、 26 、 2721 区应安排 19 辆车，到 21 区乘车的区域有：1 、 2 、 3 、 4 、 19 、 20 、 21 、 22 、 23 、 24 、 28 、 4
13、3 、 44 、 45 、 46 、 47 、 48 、4932 区应安排 18 辆车，到 32 区乘车的区域有：29 、 30 、 31 、 32 、 33 、 34 、 35 、 36 、 37 、 38 、 39 、 40 、 41 、 42 、 50 3.5 建议1.从问题求解过程中，我们可以看出固定的校车出发点使得校车利用率降低。因此我们建议空闲的校车到其他的乘车点去运送乘车人员。从而使需要的校车数目减少一至两辆。2.适当增加乘车点的数量，使乘车人员的不满意度进一步减小。3.在一天内的不同时间点应安排不同辆数的校车。上下课时间为乘车高峰期，应多安排车辆，其它时间应少安排。这样可有效节
14、省运行成本。4.尽量将人员的上下班时间统一在几个固定的时间段，在这几个时间段安排足够的车辆，保证每名员工都能及时乘坐校车，也可增加校车的运营效率。5.在非高峰期可适当停止部分站点的使用。4.模型的分析与评价本文就高校校车安排问题建立网络模型，进而转化为图论中最短路问题，具有一定的科学性。但模型是建立在一系列假设的基础上，所得结果与实际问题会存在一定偏差，需要通过与实际情况比较而进行修正。模型优点：1、本模型运用相关数学及计算机知识，成功解决了如何安排有限个站点使老师和工作人员满意度最高的问题。在假设条件下，该模型精确地给出了站点位置。2、通过 MATLAB 编程我们可以得到任意两个区之间的最短
15、路径，并且可以得了任意两个区最短路径具体的路线。模型缺点：1、本模型在理想条件下，通过编程可得出精确结果，但程序运行较为复杂，当设置的乘车点较多时，程序运算量非常大。2、乘客个体满意度公式过于理想，忽略了很多其他因素。5、模型的推广：本模型可推广到公共站点设置、服务中心位置选择、垃圾运输等最短路径及选址问题。本模型利用计算机程序实现了对结果的精确定位，可应用于各种与此类型相关的场合。6、参考文献【1】王海英 黄强 等，图论算法及其 MATLAB 实现，北京航空航天大学出版社，2010 年 2 月第 1 版【2】龚劬，图论与网络最优化算法，重庆大学出版社，2009 年 10 月第 1 版【3】姜
16、启源 谢金星 叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003 年 8 月【4】李得宜 李明，数学建模，科学出版社，2009 年 5 月7、附录附录 A：各区距离表区域号 区域号 距离 区域号 区域号 距离 区域号 区域号 距离1 2 400 15 17 250 29 31 1901 3 450 16 17 140 30 31 2402 4 300 16 18 130 30 42 1302 21 230 17 27 240 30 43 2102 47 140 18 19 204 31 32 2303 4 600 18 25 180 31 36 2604 5 210 19 20 140 31 50 21
17、04 19 310 19 24 175 32 33 1905 6 230 20 21 180 32 35 1405 7 200 20 24 190 32 36 2406 7 320 21 22 300 33 34 2106 8 340 21 23 270 35 37 1607 8 170 21 47 350 36 39 1807 18 160 22 44 160 36 40 1908 9 200 22 45 270 37 38 1358 15 285 22 48 180 38 39 1309 10 180 23 24 240 39 41 31010 11 150 23 29 210 40 41
18、 14010 15 160 23 30 290 40 50 19011 12 140 23 44 150 42 50 20011 14 130 24 25 170 43 44 26012 13 200 24 28 130 43 45 21013 34 400 26 27 140 45 46 24014 15 190 26 34 320 46 48 28014 26 190 27 28 190 48 49 20015 16 170 28 29 260附录 B：点间最短距离矩阵附录 C:各点间取最短距离的走法（仅列出以 1为出发点的路径）目的地 最短路径2 123 134 1245 12456 1
19、24567 124578 1245789 124578910 122120191816151011 12212019181615101112 122120191816151011121 2 3 4 5 6 7 8 9 48 49 501 0 400 450 700 910 1140 1110 1280 1480 1110 1310 15102 400 0 850 300 510 740 710 880 1080 710 910 11103 450 850 0 600 810 1040 1010 1180 1380 1560 1760 18754 700 300 600 0 210 440 41
20、0 580 780 1010 1210 12755 910 510 810 210 0 230 200 370 570 1220 1420 14856 1140 740 1040 440 230 0 320 340 540 1450 1650 16207 1110 710 1010 410 200 320 0 170 370 1164 1364 13008 1280 880 1180 580 370 340 170 0 200 1334 1534 14709 1480 1080 1380 780 570 540 370 200 0 1534 1734 1640 48 1110 710 1560
21、 1010 1220 1450 1164 1334 1534 0 200 110049 1310 910 1760 1210 1420 1650 1364 1534 1734 200 0 130050 1510 1110 1875 1275 1485 1620 1300 1470 1640 1100 1300 013 122120191816151011121314 122120191816151415 1221201918161516 12212019181617 1221201918161718 122120191819 1221201920 12212021 122122 1221222
22、3 12212324 1221202425 122120242526 1221202428272627 12212024282728 122120242829 1221232930 1221233031 122123293132 12212329313233 1221232931323334 122120242827263435 1221232931323536 12212329313637 122123293132353738 122123293136393839 1221232931363940 1221232931364041 122123293136404142 12212330424
23、3 122123444344 1221234445 1221224546 122122484647 124748 1221224849 122122484950 122123293150附录 D：MATLAB 程序/Warshall-Floyd 算法/%给邻接矩阵赋值，邻接矩阵记为w （i，j ）for i=1:50for j=1:50if i=jw(i,j)=0;else w(i,j)=inf;endendendw(1,2)=400; w(1,3)=450; w(2,4)=300; w(2,21)=230;w(2,47)=140; w(3,4)=600; w(4,5)=210; w(4,19
24、)=310;w(5,6)=230; w(5,7)=200; w(6,7)=320; w(6,8)=340;w(7,8)=170; w(7,18)=160; w(8,9)=200; w(8,15)=285;w(9,10)=180; w(10,11)=150;w(10,15)=160;w(11,12)=140;w(11,14)=130;w(12,13)=200;w(13,34)=400;w(14,15)=190;w(14,26)=190;w(15,16)=170;w(15,17)=250;w(16,17)=140;w(16,18)=130;w(17,27)=240;w(18,19)=204;w(1
25、8,25)=180;w(19,20)=140;w(19,24)=175;w(20,21)=180;w(20,24)=190;w(21,22)=300;w(21,23)=270;w(21,47)=350;w(22,44)=160;w(22,45)=270;w(22,48)=180;w(23,24)=240;w(23,29)=210;w(23,30)=290;w(23,44)=150;w(24,28)=130;w(24,25)=170;w(26,27)=140;w(26,34)=320;w(27,28)=190;w(28,29)=260;w(29,31)=190;w(30,31)=240;w(30
26、,42)=130;w(30,43)=210;w(31,32)=230;w(31,36)=260;w(31,50)=210;w(32,33)=190;w(32,35)=140;w(32,36)=240;w(35,37)=160;w(36,39)=180;w(36,40)=190;w(37,38)=135;w(38,39)=130;w(39,41)=310;w(40,41)=140;w(40,50)=190;w(42,50)=200;w(43,44)=260;w(43,45)=210;w(33,34)=210;w(45,46)=240;w(46,48)=280;w(48,49)=200;for i
27、=1:50for j=1:50if w(i,j)=0w(j,i)=w(i,j);endendend%以k1=1 ，k2=25为例k1=1;k2=25;%初始化n=length(w);U=w;m=1;%利用求最短路的warshallfloyd算法的思想，求最短距离矩阵while mU(i,m)+U(m,j)U(i,j)=U(i,m)+U(m,j);endendendm=m+1;endu=U(k1,k2); %最短距离%求任意给定两个点k1和k2间的最短路所包含的顶点p1=zeros(1,n);k=1;p1(k)=k2;v=ones(1,n)*inf;kk=k2;while kk=k1for i=
28、1:nv(1,i)=U(k1,kk)-w(i,kk);if v(1,i)=U(k1,i)p1(k+1)=i;kk=i;k=k+1;endendendk=1;wrow=find(p1=0);for j=length(wrow):(-1):1p(k)=p1(wrow(j);k=k+1;end/Warshall-Floyd 算法/3.2.2 中 n=2 时/%以最短距离矩阵作为矩阵d的输入for i=1:49for j=i+1:50D(i,j)=0;endendfor i=1:49for j=i+1:50for k=1:50if d(k,i)d(k,j) dmin=d(k,j);else dmin=
29、d(k,i);endD(i,j)=D(i,j)+dmin;endendenddistance=D(1,2);station1=1;station2=2;for i=1:49for j=i+1:50if D(i,j)d(k,j)*n(k); dmin=d(k,j)*n(k);else dmin=d(k,i)*n(k);endD(i,j)=D(i,j)+dmin;endendenddistance=D(1,2);station1=1;station2=2;for i=1:49for j=i+1:50if D(i,j)maxmax=d(i,j);endendendM=0; %M为所有教师人数for
30、i=1:50M=M+n(i);endmd=0;for i=1:50if d(i,station1)maxmax=d(i,j);endendendM=0; %M为所有教师人数for i=1:50M=M+n(i);endmd=0;for i=1:50if d(i,station1)=d(i,station2)else if d(i,station2)=d(i,station3)md=md+n(i)*d(i,station2);else md=md+n(i)*d(i,station3);endendendmanyidu=1-md/(M*max);R=md/M;/3.3.2 中 n=3 时/3.4 中
31、/%以最短距离矩阵作为矩阵D的输入x=0;y=0;z=0;s15=0;s21=0;s32=0;n=65 67 42 34 38 29 17 64 39 20 61 47 66 21 70 85 12 35 48 54 49 12 54 46 76 16 94 18 29 75 10 86 70 56 65 26 80 90 47 40 57 40 69 67 20 18 68 72 76 62 ;for i=1:50if min(D(i,15),D(i,21),D(i,32)=D(i,15)x=x+1;k15(x)=i; %k15为到区域15乘车的区域s15=s15+n(k15(x);else if min(D(i,15),D(i,21),D(i,32)=D(i,21)y=y+1;k21(y)=i; %k21为到区域21乘车的区域s21=s21+n(k21(y);else z=z+1;k32(z)=i; %k32为到区域32乘车的区域s32=s32+n(k32(z);endendendn15= ceil(s15./47); %n15即为区域15应设的车辆数n21= ceil(s21./47); %n21即为区域21应设的车辆数n32= ceil(s32./47); %n32即为区域32应设的车辆数 /3.4 中/
