1、运筹学 Operational Research,“夫运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”2008年9月,运筹学简史,战国时代：齐王与田忌赛马的故事 1736年欧拉哥尼斯堡七桥问题 1915年哈里斯经济订货批量公式 1917年爱尔朗（A.K.Erlang）自动拨号设备对电话需求影响的实验（排队论）,运筹学简史 Operational Research,起源于军事活动 问题：合理利用稀缺战争资源保护自己、消灭敌人 学科产生：第二次世界大战20世纪40年代 布莱克特（P.M.S.Blackett） “OR”小组,运筹学简史,50 年代后理论的发展,扩展：战后用于民用事业 成型：各个分支成熟,运筹学简史
2、,企业管理 工程设计 生产计划 财政金融 资源配置 物资存贮,公共服务 医疗保健 交通运输 教育科研 国防军事 航天技术,成熟：计算机、信息技术结合 发展： 60，70年代 ,学科结合渗透、 应用广度和深度、方法和算法的完善,运筹学在工商管理中的应用 Management Science,生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等。库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存量等。运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等。,运筹学在工商管理中的应用,人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分配，建立人才评价
3、体系等。市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等。,运筹学在工商管理中的应用,财务和会计：包括预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等。其他： 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等。,运筹学定义,“为决策机构在对其控制下的业务活动，提供以数量化为基础的科学方法。”,“运筹学是应用科学，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。”,“运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术，否则的话问题的结果会更坏。”,运筹学定义,一般来说，运筹学的研究对象是各种有组织的系统（主要是经济组织系统）的经营管理问题，运筹学所
4、研究的系统是在一定时空条件下存在的，为人所控制和操纵，有两个以上的行动方案可供选择而需要人们做出决策的系统。,运筹学定义,运筹学所研究的问题时能用数量表示与系统各项活动有关而带有运用，筹划，安排，控制和规划等方面的问题。 运筹学的任务就是在现有条件下，根据问题的要求，对有关活动中错综复杂的数量进行分析研究，并归纳为一定的模型，然后运用有关原理和方法求得解决问题的最优途径和方案，以求实现预期目的。,运筹学解决问题的过程,1）提出问题：认清问题。2）寻求可行方案：建模、求解。3）确定评估目标及方案的标准或方法、途径。4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等。,运筹学解决问题的过程,5）选择最优方案
5、：决策。6）方案实施：回到实践中。7）后评估：考察问题是否得到完满解决。1）2）3）形成问题；4）5）分析问题：定性分析与定量分析相结合，构成决策。,如何学习运筹学课程,学习运筹学要把重点放在分析、理解有关的概念、思路上。在自学过程中，应该多向自己提问，例如一个方法的实质是什么，为什么这样进行，怎么进行等。自学时要掌握三个重要环节：,如何学习运筹学课程,1.认真阅读教材和参考资料，以指定教材为主，同时参考其他有关书籍。一般每一本运筹学教材都有自己的特点，但是基本原理、概念都是一致的。注意主从，参考资料会帮助你开阔思路，使学习深入。但是，把时间过多放在参考资料上，会导致思路分散，不利于学好。,2
6、.要在理解了基本概念和理论的基础上研究例题，注意例题是为了帮助理解概念、理论的。作业练习的主要作用也是这样，它同时还有让你自己检查自己学习的作用。因此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出错。因为，整个课程是一个整体，各节内容有内在联系，只要学到一定程度，知识融会贯通起来，你自己就能够对所做题目的正确性作出判断。,如何学习运筹学课程,3、要学会做学习小结。每一节或一章学完后，必须学会用精炼的语言来概述该书所讲内容。这样，你才能够从较高的角度来看问题，更深刻地理解有关知识和内容。这就称作“把书读薄”，若能够结合相关参考文献并深入理解，把相关知识从更深入、广泛的角度进行论述，则称为“把书读厚”。,如
7、何学习运筹学课程,在建数学模型时，要结合实际应用。,如何学习运筹学课程,课程内容,线性规划 单纯形法、对偶理论、灵敏度分析、 运输问题 目标规划 动态规划图与网络理论 存贮论 决策论,线性规划引论 单纯形法 线性规划的对偶理论 灵敏度分析 运输问题 目标规划,线性规划 （Linear Programming）LP,线性规划 （Linear Programming）,1947年 美国数学家 Dantzig 单纯形法,1979年 前苏联数学家 哈奇安 椭球法,1984年 美国数学家 Karmarkar Karmarkar算法,第一章 线性规划与单纯形法原理, 1. 问题与模型1.1线性规划数学模型
8、,1.1线性规划数学模型,例1.某工厂生产A、B、C三种产品，每吨利润分别为2000元，3000元，3000元；生产单位产品所需的工时及原材料如表所示。若供应的原材料每天不超过9t，所能利用的劳动力日总工时为3个单位，问如何制定日生产计划，使三种产品总利润最大？,1.1线性规划数学模型,问题：工时和材料的日可供量已知求使利润最大的生产方案,解：产品A，B，C的日生产量： x1，x2，x3 每日工时= x1 + x2 + x3 每日消耗材料量= x1 + 4x2 + 7x3 每天可得利润（以千元为单位）Z = 2x1 + 3x2 + 3x3,1.1.线性规划数学模型,利润最大 工时约束 材料约束
9、 非负约束,Max：maximize， “最大化” s.t.: subject to , “满足于”,minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23,解 设xij Ai运往Bj的运量（万块）,S.t. x11+x12+x13=23,x21+x22+x23=27,x11+x21=17,x12+x22=18,x13+x23=15,xij0, i、j,1.1.线性规划数学模型,A2产量,A1产量,B1 需求量,B2 需求量,B3 需求量,1.1.线性规划数学模型,定义： 对于求取一组变量xj(j=1,2,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性的目标函数取得极
10、值的一类最优化问题称为线性规划问题。,max（或min）,1.1.线性规划数学模型,一般形式：,max（或min）,目标函数,约束条件,非负约束,称为决策变量,称为价值系数或目标函数系数,称为资源常数或约束右端常数,称为技术系数或约束系数,1.1.线性规划数学模型,紧缩形式：,max（或min）,i=1,2,n,1.1.线性规划数学模型,矩阵形式：,max（或min）,称为决策变量向量,称为价值系数向量或目标函数系数向量,称为资源常数向量或约束右端常数向量,称为技术系数或约束系数矩阵,1.1.线性规划数学模型,线性规划模型特点： 用一组未知变量（决策变量）表示要求的方案。通常，根据决策变量所代
11、表的事物的特点可以对变量的取值加以约束，例如非负约束。 存在一定的限制条件，通常称为约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或者线性不等式来表示 有一个目标要求，并且可以表示为决策变量的线性函数，称为目标函数，按所研究问题的不同，要求目标函数实现最大化或者最小化。,Min z=1000x1+800x2,(2-x1)/500 0.002,0.8(2-x1)+1.4-x2/7000.002,x12, x21.4,x1, x20,第一化工厂每天排放污水2万m3，第二化工厂每天排放污水 1.4万m3。污水从工厂1流到工厂2前会有20%自然净化。根据环保要求，河水中污水的含量应不大于0.2%。而工厂1和
12、工厂2处理污水的成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。问两工厂各应处理多少污水才能使处理污水的总费用最低？,例 3 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m3，两工厂之间有一条流量为每天200万m3的支流（见图）。,1.1.线性规划数学模型,例4.某厂在今后四个月内需租用仓库堆存物资。已知每个月所需的仓库面积数字列于表：,仓库租借费用，当租借合同期限越长时，享受的折扣优待越大，具体数字见下表:,1.1线性规划数学模型,租借仓库的合同每月都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需求在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，也可同时签若
13、干份租用面积和租借期限不同的合同，总的目标是使所付的租借费用最小。,1.1线性规划数学模型,解设xij 为第i个月初签订的租借期限为j个月的合同租借面积（i=1,2,3,4;j=1,2,4-i+1）,min S=2800x11+4500x12 +6000x13 +7300x14 +2800x21 +4500x22 +6000x23 +2800x31 +4500x32 +2800x41,1.1线性规划数学模型,1.1线性规划数学模型,例5(合理下料问题)现要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m和1.5m的圆钢各一根。已知原料长7.4m。问应如何下料，使用的原材料最省？,解每一根原料上截取
14、2.9m,2.1m,1.5m的圆钢各一根，组成一套则原材料省下料头0.9m。若做100套，就有90m料头。若采用套裁，就可以节约原材料。下面有几种方案可供采用,设按第i种方案下料为xi根（i=1，2，5），则模型为,min =0.1x1+0x2+0.3x3+0.2x4+0.8x5,s.t. 2x1+x2+x3 =100,2x3+2x4+x5=100,x1+3x2 +2x4+3x5=100,x1,x2, ,x50,1.1线性规划数学模型,第一章 线性规划与单纯形法原理, 1. 问题与模型1.2 图解法,1.2 图解法,用作图的方法确定可行域，判断目标函数的大小，达到求解的目的 适用对象： 仅有两
15、个变量的LP问题 步骤： 建立平面坐标系 图解约束条件和非负条件 做目标函数等值线 平移目标函数等值线 联立求解相应约束条件,1.2 图解法,例1 用图解法求解下面的线性规划问题：,最优解为B(2,2),1.2 图解法,例2 用图解法求解下面的线性规划问题：,最优解为BC线上，无穷多个,1.2 图解法,例3 用图解法求解下面的线性规划问题：,最优解为O(0,0),1.2 图解法,例4 用图解法求解下面的线性规划问题：,最优解为无穷,1.2 图解法,例5 用图解法求解下面的线性规划问题：,最优解为正无穷，即没有有限最优解,1.2 图解法,例6 用图解法求解下面的线性规划问题：,无可行解,1.2
16、图解法,最优解无最优解唯一最优解无穷多个最优解没有有限最优解,可行域 空集 有界集 无界集,1.2 图解法,猜想1 线性规划的可行域是凸集； 猜想2 最优解若存在，则可以在可行域的顶点上得到； 猜想3 可行域的顶点的个数是有限的； 猜想4 若有两个最优解，则其连线上的点也是最优解，即最优解有无穷多个,第一章 线性规划与单纯形法原理, 1. 问题与模型1.3线性规划标准形式,化一般问题为标准形式：,(一)若ak1x1+ak2x2+aknxnbk,加一变量xn+k0（松驰变量），改写为ak1x1+ak2x2+aknxn+xn+k=bk,若ak1x1+ak2x2+aknxnbk,减一变量xn+k0(
17、剩余变量），改写为ak1x1+ak2x2+aknxn-xn+k=bk,(二) 若目标函数为min=c1x1+c2x2+cnxn,max =-=-(c1x1+c2x2+cnxn),（三）若xj0，令xj=xj-xj”,xj0,xj”0,( 四) 若bi0,例1：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f= -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 284 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 396 x2 + 2 x3 + 3 x4 - 58x1 , x3 , x4 0,1.3线性规划标准形式,解：首先，将目标
18、函数转换成极大化： 令 z = -f = 3x15x28x3+7x4 ；其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变量x5 ,x6 ,x7 0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2-x2”,其中 x20，x2”0 ；由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两端乘以-1 。于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：,1.3线性规划标准形式,Min f= -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 284 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 396 x2 + 2 x3 + 3 x4 - 58x1 , x3
19、, x4 0,Max z = 3x15x2+5x2”8x3 +7x4s.t. 2x13x2+3x2”+5x3+6x4+x5= 284x1+2x2-2x2”+3x3-9x4-x6= 39-6x2+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58x1 ,x2,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 0,1.3线性规划标准形式,Min f= -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 284 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 396 x2 + 2 x3 + 3 x4 - 58x1 , x3 , x4 0,标准型的主要
20、特征： 目标最大； 约束等式； 变量非负； 右端非负。,1.3线性规划标准形式,标准型的紧缩形式：,标准型的矩阵形式：,1.3线性规划标准形式,标准型的向量形式：,其中：,1.3线性规划标准形式,1.3线性规划标准形式,标准化举例：,第一章 线性规划与单纯形法原理, 1. 问题与模型1.4线性规划问题解的概念,可行解、可行解集（可行域） 最优解、最优值 基、基变量、非基变量 基本解、基本可行解 可行基、最优基,熟悉下列一些解的概念,1.4线性规划问题解的概念,1.4线性规划问题解的概念,可行解：满足约束条件的解,最优解：使目标函数达到最大的可行解,基:若B是A中m*m阶非奇异子矩阵，(|B|0
21、)，则称B是一个基，相应于B的变量称为基变量。,B被称为一个基，是由于B由m个线性无关列组成，这m个线性无关的列向量可以作为一个基。,基本解：令非基变量取零，则得唯一解，称为基本解。,基本可行解：所有变量非负的基本解。,可行基：对应于基可行解的基。,例. Min Z=2x1+x2s.t. x1+x2+x3 =5-x1+x2 +x4 =06x1+2x2 +x5=21xj0,j=1,2, 5,因此P3,P4,P5是一个基，对应的x3,x4,x5为基变量。,例. Min Z=2x1+x2s.t. x1+x2+x3 =5-x1+x2 +x4 =06x1+2x2 +x5=21xj0,j=1,2, 5,令
22、x1=x2=0,则得x3=5,x4=0,x5=21,x0=(0,0,5,0,21)T是,例. Min Z=2x1+x2s.t. x1+x2+x3 =5-x1+x2 +x4 =06x1+2x2 +x5=21xj0,j=1,2, 5,令x4=x5=0,得 x1=21/8,x2=21/8,x3=-2/8 则x=(21/8,21/8,-2/8,0,0)T也是基本解，但其不是可行解。,另外，向量 线性无关，因此 P1,P2,P3为一个基，对应的x1,x2,x3为基变量。,又向量P1，P2，P3线性无关，其为一基，x2，x3，x5为对应的基变量，令x1=x4=0，则x2=0，x3=5，x5 =21，所以X
23、2=（0，0，5，0，21）T也是一基本可行解。,例. Min Z=2x1+x2s.t. x1+x2+x3 =5-x1+x2 +x4 =06x1+2x2 +x5=21xj0,j=1,2, 5,下面讨论线性规划标准形式的基、基本解、基本可行解的概念。考虑线性规划标准形式的约束条件：Ax=b，x0其中A为mn的矩阵，nm，秩(A) = m，b Rm 。在约束等式中，令n维空间的解向量：x = (x1，x2，xn)T,1.4线性规划问题解的概念,中n-m个变量为零，如果剩下的m个变量在线性方程组中有唯一解，则这n个变量的值组成的向量x就对应于n维空间中若干个超平面的一个交点。当这n个变量的值都是非负
24、时，这个交点就是线性规划可行域的一个极点。根据以上分析，我们建立以下概念：（1）线性规划的基：对于线性规划的约束条件Ax=b， x0,1.4线性规划问题解的概念,设B是A矩阵中的一个非奇异（可逆）的mm子矩阵，则称B为线性规划的一个基。用前文的记号，A=( p1 ，p2 ，pn ) ，其中 pj=( a1j ，a2j ，amj )T Rm ，任取A中的m个线性无关列向量 pj Rm 构成矩阵 B=( pj1 ，pj2 ，pjm )。那么B为线性规划的一个基。我们称对应于基B的变量xj1 ，xj2，xjm为基变量；而其他变量称为非基变量。,1.4线性规划问题解的概念,可以用矩阵来描述这些概念。设
25、B是线性规划的一个基，则A可以表示为A= B , N xBx也可相应地分成x=xN其中xB为m维列向量，它的各分量称为基变量，与基B的列向量对应；xN为n-m列向量，它的各分量称为非基变量，与非基矩阵N的列向量对应。这时约束等式Ax=b可表示为,1.4线性规划问题解的概念,xBB,N = bxN或BxB + NxN = b如果对非基变量xN取确定的值，则xB有唯一的值与之对应xB = B-1b - B-1NxN特别，当取xN = 0，这时有xB=B-1b。关于这类特别的解，有以下概念。,1.4线性规划问题解的概念,（2）线性规划问题的基本解、基本可行解和可行基：对于线性规划问题，设矩阵B =
26、( pj1，pj2，pjm ) 为一个基，令所有非基变量为零，可以得到m个关于基变量xj1 ，xj2 ，xjm的线性方程，解这个线性方程组得到基变量的值。我们称这个解为一个基本解；若得到的基变量的值均非负，则称为基本可行解，同时称这个基B为可行基。,1.4线性规划问题解的概念,矩阵描述为，对于线性规划的解xB B-1bx= =xN 0称为线性规划与基B对应的基本解。若其中B-1b0，则称以上的基本解为一基本可行解，相应的基B称为可行基。,1.4线性规划问题解的概念,我们可以证明以下结论：线性规划的基本可行解就是可行域的极点。这个结论被称为线性规划的基本定理，它的重要性在于把可行域的极点这一几何
27、概念与基本可行解这一代数概念联系起来，因而可以通过求基本可行解的线性代数的方法来得到可行域的一切极点，从而有可能进一步获得最优极点。,1.4线性规划问题解的概念,例: 考虑线性规划模型Max z = 1500 x1 + 2500 x2s.t. 3 x1 + 2 x2 652 x1 + x2 403 x2 75x1 , x2 0 注意，线性规划的基本解、基本可行 解（极点）和可行基只与线性规划问题标准形式的约束条件有关。,1.4线性规划问题解的概念,Max z=1500x1 +2500x2s.t. 3x1 +2x2 +x3 =652x1 +x2 + x4 =403x2 + x5 =75x1 ,x
28、2,x3,x4 ,x5 0,3 2 1 0 0 A = P1 ,P2 ,P3 ,P4 ,P5 = 2 1 0 1 00 3 0 0 1A矩阵包含以下10个33的子矩阵：B1=p1 ，p2 ，p3 B2=p1 ，p2 ，p4B3=p1 ，p2 ，p5 B4=p1 ，p3 ，p4 B5=p1 ，p3 ，p5 B6=p1 ，p4 ，p5 B7=p2 ，p3 ，p4 B8=p2 ，p3 ，p5 B9=p2 ，p4 ，p5 B10=p3 ，p4 ，p5,1.4线性规划问题解的概念,其中B4= 0，因而B4不是该线性规划问题的基。其余均为非奇异方阵，因此该问题共有9个基。对于基B3=p1 ，p2 ，p5，
29、令非基变量x3 = 0， x4 = 0，在等式约束中令x3 = 0，x4 = 0，解线性方程组：3 x1 + 2 x2 + 0 x5 = 652 x1 + x2 + 0 x5 = 400 x1 + 3 x2 + x5 = 75得到x1 =15，x2 = 10，x5 = 45，对应的基本可行解：x=(x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5)T=(15，10，0，0，45)T。于是对应的基B3是一个可行基。,1.4线性规划问题解的概念,类似可得到x(2) = (5,25,0,5,0)T （对应B2）x(7) = (20,0,5,0,75)T （对应B5）x(8) = (0,25,15,15,0)T
30、（对应B7）x(9) = (0,0,65,40,75)T （对应B10）是基本可行解；而x(3)= (0,32.5,0,7.5,-22.5)T（对应B9）x(4)= (65/3,0,0,-10/3,75)T （对应B6）x(5)= (7.5,25,-7.5,0,0)T （对应B1）x(6) = (0,40,-15,0,-45)T （对应B8）是基本解。B2 B3 B5 B7 B10都是可行基。,1.4线性规划问题解的概念,以下是所有基本可行解 x=(15，10，0，0，45)T x(2) = (5,25,0,5,0)T x(7) = (20,0,5,0,75)T x(8) = (0,25,15
31、,15,0)T x(9) = (0,0,65,40,75)T,1.4线性规划问题解的概念,Max z = 1500x1 +2500x2s.t. 3x1 +2x2652x1 +x2 403x2 75x1 ,x2 0,这里指出了一种求解线性规划问题的可能途径，就是先确定线性规划问题的基，如果是可行基，则计算相应的基本可行解以及相应解的目标函数值。由于基的个数是有限的（最多个），因此必定可以从有限个基本可行解中找到最优解。,1.4线性规划问题解的概念,第一章 线性规划与单纯形法原理, 1. 问题与模型1.5 线性规划问题的几何意义,1.5 线性规划问题的几何意义,1.基本概念,凸集：设k为n维欧氏空
32、间的一点集，任取X,YK,若连接X,Y的线段仍属于K,则称K为凸集。即任取,01 X+(1-)YK 称K为凸集。,顶点（极点）：设K是凸集，XK,若X不能用不同的两点X(1) K,X2) K 的线性组合表示为X=X(1)+(1-)X(2) (01) 则称X为极点。,2.基本定理,定理1.线性规划问题的可行域为凸集。,定理2.可行域的点X是顶点的充分必要条件为X是基本可行解。,定理3.若可行域有界，最优解可以在极点上达到。,1.5 线性规划问题的几何意义,求解思路,求一个初始基本可行解是判断基本可行解是否最优 结 束不是求使目标得到改善的基本可行解,是否存在？ 如何得到？,是否唯一？,如何判断？
33、,如何改善？ 如何判断没有有限最优解？,第一章 线性规划与单纯形法原理, 2.单纯形法原理,单纯形法,单纯形方法引例 单纯形法的一般描述 表格单纯形法 一般问题的处理 单纯形法矩阵描述 几点注意事项,第一章 线性规划与单纯形法原理, 2.单纯形法原理2.1单纯形法引例,2.1单纯形方法引例,例1. 用单纯形法的思想求解线性规划问题：,利润目标最大,例1,基本解（0，0，0，3，9）也是可行的,2.1单纯形方法引例,例1,初始基本可行解（0，0，0，3，9）含义：不生产任何产品，工时剩余为3，材料剩余为9，利润为 Z=0 初始基本可行解是否最优解 ?是否可以生产某种产品使目标提高？当x1（或x2
34、 , x3）增加一个单位时，会使目标增加2（或3）单位,2.1单纯形方法引例,例1,初始基本可行解（0，0，0，3，9）当x1（或x2 , x3）增加一个单位时，会使目标增加2（或3）单位同时，基变量x4 x5也会随之而变化，对目标带来一定变化,直接影响,间接影响,应该考察：综合影响 = 直接影响+间接影响,2.1单纯形方法引例,2.1单纯形方法引例,例1,初始基本可行解（0，0，0，3，9）当x1（或x2 , x3）增加一个单位时，如果目标函数中基变量x4 x5的系数为零，则间接影响没有，直接影响就是综合影响。为获得综合影响，从约束中解出基变量，代入目标函数，即用非基变量表示目标函数这时非基
35、变量的系数就是综合影响，其符号就决定了目前解是否最优。,2.1单纯形方法引例,例1,从约束等式中解出基变量用非基变量表示基变量代入目标函数用非基变量表示目标函数此时目标函数中非基变量的系数称为该变量的检验数，表示为j判别定理：若对于所有非基变量，检验数均非正（j0），则当前基本可行解最优。,2.1单纯形方法引例,例1,初始基本可行解（0，0，0，3，9）从约束中解出基变量，代入目标函数有：,用非基变量表示基变量 用非基变量表示目标函数,非基变量的检验数不全非正，因此不是最优，取某个检验数为正的变量增加可以提高目标函数值,单纯形方法引例,例1,初始基本可行解（0，0，0，3，9）取x1增大，应该
36、确定其增大的上限,x1增大时，其余非基变量保持为零，称x1进基,单纯形方法引例,例1,初始基本可行解（0，0，0，3，9）取x1进基时，应该保持所有基变量非负，哪个基变量先成为零，哪个基变量成为非基变量，称这个基变量出基。,X4出基,单纯形方法引例,例1,基本解（3，0，0，0，6）也是可行的,从约束等式中解出基变量用非基变量表示基变量代入目标函数用非基变量表示目标函数此时目标函数中非基变量的系数称为该变量的检验数，表示为j判别定理：若对于所有非基变量，检验数均非正（j0），则当前基本可行解最优。,单纯形方法引例,单纯形方法引例,例1,新的基本可行解（3，0，0，0，6） 含义： 生产A产品三
37、单位，工时剩余为0，材料剩余为6，利润为 Z=6 继续判断，先解出基变量，再代入目标函数,有正的检验数，不是最优。,单纯形方法引例,例1,新的基本可行解（3，0，0，0，6） 取x2进基,X5出基，材料用完,最小比值原理 零和负数不做分母,单纯形方法引例,例1,新的基本可行解（1，2，0，0，0）,所有检验数小于零，目标最优，最优值Z=8,单纯形方法引例,方法步骤总结： 确定（观察法）一个初始基本可行解; 从约束中解出基变量（用非基变量表示基变量）； 代入目标消去基变量（用非基变量表示目标函数），得到非基变量xj的检验数 j。 判断最优。若 j0，当前解最优; 若k 0，则选xk进基 用最小比
38、值法确定xk的最大值，使基变量xl取0值，其它基变量非负, 即xl出基，若不存在, 则Z，没有有限最优解。 重复上述1到5的工作。,第一章 线性规划与单纯形法原理, 2.单纯形法原理2.2单纯形法一般描述,单纯形法一般描述,初始基本可行解的确定 （观察法）,单纯形法一般描述,初始基本可行解的 确定（观察法）,基,基本可行解,单纯形法一般描述,从约束中解出基变量,单纯形法一般描述,代入目标消去基变量 ，得到非基变量xj的 检验数 j。,单纯形法一般描述,代入目标消去基变量, 得到非基变量xj的检 验数 j。,单纯形法一般描述,判断最优 最优性判别定理：若是对应于B的基本可行解， j是用非基变量表
39、示目标函数的表达式中非基变量xj的检验数，若对于一切非基变量的角指数j均有j 0则当前基本可行解为最优解。,对于任意可行解X，,对于基本可行解X0，,单纯形法一般描述,没有有限最优解的判断 无最优解判别定理：若是对应于B的基本可行解， 非基变量x k的检验数k 0 , 且对于i=1,2,m 均有aik 0, 则问题没有有限最优解。,单纯形法一般描述,改进目标若k 0,则选xk进基,用最小比值法确定xk的最大值,使基变量xl取0值，其它基变量非负；,即xl出基，目标改善k，换基过程 若不存在, 则Z，没有有限最优解。,单纯形法一般描述,主元变换 xk进基，xl出基， 解出新的基变量,第一章 线性
40、规划与单纯形法原理, 2.单纯形法原理2.3表格单纯形法,表格单纯形法,标准型：,表格单纯形法,标准型：,表格单纯形法,基变量,检验数,基变量系数 右端常数 最小比值列,表格单纯形法,表格单纯形法,此时的基本可行解 （0，0，0，3，9）,表格单纯形法,此时的基本可行解 （3，0，0，0，6）,表格单纯形法,最优解 X=(1, 2, 0, 0, 0) 最优值 Z=8 实际意义：每天生产A产品1单位，B产品2单位，C产品不生产每天可获得利润8000元,求解线性规划,向右迭代一步,表格单纯形法图示,例 .用图解法求解下面的线性规划问题：,2x1+5x2=10,-x1+2x2=2,2x1+5x2=0
41、,x1-x2=2 x1+x2=4,0 1 2 3 4 x1,x2,G 4 3 2 1,F,E,H,A,B,C,D,I,向上迭代一步,表格单纯形法图示,例 。用图解法求解下面的线性规划问题：,2x1+5x2=10,-x1+2x2=2,2x1+5x2=0,x1-x2=2 x1+x2=4,0 1 2 3 4 x1,x2,G 4 3 2 1,F,E,H,A,B,C,D,I,求解线性规划,表格单纯形法, ,没有有限最优解,表格单纯形法图示,例. 用图解法求解下面的线性规划问题：,x1+2x2=4,x1+2x2=6,0 1 2 3 4 x1,x1=3,X2321,-x1+2x2=0, ,表格单纯形法图示,
42、例. 用图解法求解下面的线性规划问题：,x1+2x2=4,x1+2x2=6,0 1 2 3 4 x1,x1=3,X2321,-x1+2x2=0,算法思路,求一个初始基本可行解是判断基本可行解是否最优 结 束不是求使目标得到改善的基本可行解,是否存在？ 如何得到？,是否唯一？,如何判断？,如何改善？ 如何判断没有有限最优解？,练习题：max z=3x1+x2+3x3s.t. 2x1+x2+x32x1+2x2+3x352x1+2x2+x36xi0,i=1,2,3 用表格单纯形法求解。,XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x4 2 2 1 1 1 0 0 1x5 5 1 2 3 0 1 0
43、 5/2x6 6 2 2 1 0 0 1 30 3 1 3 0 0 0,x2 2 2 1 1 1 0 0 2x5 1 -3 0 1 -2 1 0 1/2x6 2 -2 0 -1 -2 0 1 -2 1 0 2 -1 0 0,XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 1 5 1 0 3 -1 0 1/5x3 1 -3 0 1 -2 1 0 -x6 3 -5 0 0 -4 1 1 -7 0 0 3 -2 0,x1 1/5 1 1/5 0 3/5 -1/5 0 x3 8/5 0 3/5 0 -1/5 2/5 0 x6 4 0 1 1 -1 0 1-27/5 0 -7/5 0 -6/5 -3
44、/5 0,最优解为(1/5,0,8/5,0,0,4)Tmax =27/5,第一章 线性规划与单纯形法原理, 2.单纯形法原理2.4一般问题的处理,一般问题的处理,处理方法一 大法,人造基添加人工变量造成基去掉人工变量,M是个充分大的正数,一般问题的处理,原问题的可行解 新问题的可行解 目标值,结论：新问题的最优解中，如果人工变量均为零，则得到的解也是原问题的最优解，否则原问题无可行解,大M法举例,检验数为-2+M,一般问题的处理,一般问题的处理,最优解： x1=0 x2=1 最优值： Z= -2,一般问题的处理,大M法举例1,一般问题的处理,一般问题的处理,所有检验数0 已经是最优解 x5=2
45、 人工变量不为零, 表示原问题无可行解,例.max =3x1+2x1+x3-x4s.t.3x1+2x2+x3 =155x1+x2+2x3 =20x1+2x2+x3+x4=10x1,x2,x3,x40,max=3x1+2x1+x3-x4-M(x5+x6) s.t.3x1+2x2+x3 +x5=155x1+x2+2x3 +x6=20x1+2x2+x3+x4 =10xi0,i=1,2, ,6,大M法练习,3 2 1 -1 -M -M XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x5 15 3 2 1 0 1 0 x6 20 5 1 2 0 0 1 x4 10 1 2 1 1 0 0 8M+2 3M
46、+2 3M+2 0 0 0x5 3 0 7/5 -1/5 0 1 -3/5x1 4 1 1/5 2/5 0 0 1/5x4 6 0 9/5 3/5 1 0 -1/50 7/5M -M/5 0 0 -8/5M+16/5 +2/5 -4/5,XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 15/7 0 1 -1/7 0 7/5 -3/7 x1 25/7 1 0 3/7 0 -1/7 2/7 x4 15/7 0 0 6/7 1 -9/7 5/7 0 0 6/7 0 -M-2/7 -M+5/7x2 5/2 0 1 0 1/6 1/2 -1/4 x1 5/2 1 0 0 -1/2 1/2 -1/14 x3 5/2 0 0 1 7/6 -3/2 6/5 0 0 0 -1 -M+1 -M最优解为(5/2,5/2,5/2,0,0,0)T ,max=15,原问题的解为(5/2,5/2,5/2,0)T,max=15.,一般问题的处理,处理方法二 两阶段法,人造基添加人工变量造成基去掉人工变量,
