1、1,机械振动理论,单自由度系统自由振动,2,教学内容,单自由度系统自由振动,无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,3,无阻尼自由振动,令 x 为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，为静变形,当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：,在静平衡位置：,固有振动或自由振动微分方程 ：,动画1,单自由度系统自由振动,4,固有振动或自由振动微分方程 ：,令 ：,单位：弧度/秒（rad/s）,则有 ：,通解 ：,任意常数，由初始条件决定,振幅 ：,初相位 ：, 固有频率,单自由度系统自由振动,5,相位滞后,单自由度系统自由振动,6,系统固有的数值特征，与系统是
2、否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系,不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关,单自由度系统自由振动,7,考虑系统在初始扰动下的自由振动,设 的初始位移和初始速度为：,令 ：,有 ：,单自由度系统自由振动,8,时刻以后的自由振动解为：,零时刻的初始条件：,零初始条件下的自由振动：,单自由度系统自由振动,9,零初始条件下的自由振动：,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止,初始条件的说明：,初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能,单自由度系统自由振动
3、,10,零初始条件下的自由振动：,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止,初始条件：,固有频率从左到右：,时间,位置,单自由度系统自由振动,11,固有频率计算的另一种方式：,在静平衡位置：,则有：,对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用该式计算是较为方便的,单自由度系统自由振动,12,例： 提升机系统,重物重 量,钢丝绳的弹簧刚度,重物以 的速度均匀下降,求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力,单自由度系统自由振动,13,解：,振动频率,重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时
4、重物所在位置,则 t=0 时，有：,振动解：,静平衡位置,k,x,W,v,单自由度系统自由振动,14,振动解：,绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 ：,动张力几乎是静张力的一半,由于,为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度,单自由度系统自由振动,15,例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞,梁长 L，抗弯刚度 EJ,求：梁的自由振动频率和最大挠度,单自由度系统自由振动,16,解：,由材料力学 ：,自由振动频率为 ：,取平衡位置,以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系,静变形,m,h,0,l/2,l/2,x,单自由度系统自由振动,17,撞击时刻为零时刻，则 t=
5、0 时，有：,则自由振动振幅为 ：,梁的最大扰度：,单自由度系统自由振动,18,例：圆盘转动,圆盘转动惯量 I,在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置,扭振固有频率,为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩,由牛顿第二定律：,单自由度系统自由振动,由上例可看出，角振动与直线振动的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的,单自由度系统自由振动,从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，
6、它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大 。,单自由度系统自由振动,21,例：复摆,刚体质量 m,对悬点的转动惯量,重心 C,求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率,a,0,C,单自由度系统自由振动,22,解：,由牛顿定律 ：,因为微振动：,则有 ：,固有频率 ：,实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法,若已测出物体的固有频率 ，则可求出 ，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：,单自由度系统自由振动,23,例：弹簧质量系统沿光滑
7、斜面做自由振动,斜面倾角 300,质量 m=1kg,弹簧刚度 k=49N/cm,开始时弹簧无伸长，且速度为零,求： 系统的运动方程,重力加速度取 9.8,单自由度系统自由振动,24,解：,以静平衡位置为坐标原点建立坐标系,振动固有频率：,振动初始条件：,初始速度：,运动方程：,如果系统竖直放置，振动频率是否改变？,单自由度系统自由振动,25,教学内容,无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,26,能量法,对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率,无阻尼系统为
8、保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即：,或：,单自由度系统自由振动,弹簧质量系统,动能：,势能：,（重力势能）,（弹性势能）,不可能恒为 0,零势能点,单自由度系统自由振动,如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置,动能：,势能：,设新坐标,零势能点,弹簧原长,如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项,单自由度系统自由振动,29,考虑两个特殊位置上系统的能量,静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大,最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大,对于转动：,x 是广义的,单自由度系
9、统自由振动,30,例：如图所示倒置的摆,摆球质量 m,刚杆质量忽略,每个弹簧的刚度,求: (1) 倒摆作微幅振动时的固有频率,(2) 摆球 时，测得频率 为 ， 时，测得频率为 ，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？,单自由度系统自由振动,31,解法1：,广义坐标,动能,势能,零势能位置1,零势能位置1,单自由度系统自由振动,32,解法2：,零势能位置2,动能,势能,零势能位置2,单自由度系统自由振动,33,例：均质圆柱 质量m，半径R 与地面纯滚动 在A、B点挂有弹簧,确定系统微振动的固有频率,单自由度系统自由振动,34,解：,广义坐标：圆柱微转角,圆柱做一般运动，由柯希尼定理
10、，动能：,C点为运动瞬心,势能：,C,A点速度：,B点速度：,单自由度系统自由振动,35,解：,动能：,势能：,C,单自由度系统自由振动,36,例：铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统,确定系统微振动的固有频率,滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。,单自由度系统自由振动,37,解：,广义坐标：质量块的垂直位移 x,动能：,x,势能：,单自由度系统自由振动,38,解：,广义坐标：质量块的垂直位移 x,动能：,x,势能：,单自由度系统自由振动,39,教学内容,无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,40,
11、瑞利法, 利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只 考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限, 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程 问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高,单自由度系统自由振动,例如：弹簧质量系统,设弹簧的动能:,系统最大动能：,系统最大势能：,若忽略 ，则 增大,弹簧等效质量,因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限,单自由度系统自由振动,42,教学内容,无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,单自由度系统
12、自由振动,43,等效质量和等效刚度,方法1：,选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：,当 、 分别取最大值时：,则可得出：,Ke：简化系统的等效刚度,Me：简化系统的等效质量,等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等,单自由度系统自由振动,44,动能,势能,单自由度系统自由振动,45,动能,势能,单自由度系统自由振动,46,x,动能,势能,单自由度系统自由振动,47,方法2：定义法,等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度,等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个
13、坐标上的等效质量,单自由度系统自由振动,48,例：串联系统,总变形：,在质量块上施加力 P,弹簧1变形：,弹簧2变形：,根据定义：,或,P,k1,k2,使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度,单自由度系统自由振动,49,例：并联系统,两弹簧变形量相等：,受力不等：,在质量块上施加力 P,由力平衡：,根据定义：,并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和,P,k1,k2,k1,k2,使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度,单自由度系统自由振动,50,例：杠杆系统,杠杆是不计质量的刚体,求：系统
14、对于坐标 x 的等效质量和等效刚度,单自由度系统自由振动,51,解法1：能量法,动能：,势能：,等效质量：,等效刚度：,固有频率：,单自由度系统自由振动,52,解法2：定义法,设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P,设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P,则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：,则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：,单自由度系统自由振动,53,教学内容,无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,54,阻尼自由振动, 最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼 例如：在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通
15、常就认为受到粘性阻尼, 实际系统的机械能不可能守恒，存在各种各样的阻力 振动中将阻力称为阻尼：摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼 尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定,单自由度系统自由振动,粘性阻尼力与相对速度称正比，即：,c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数,单位：,动力学方程：,或写为：,固有频率,相对阻尼系数,k,c,建立平衡位置，并受力分析,单自由度系统自由振动,56,动力学方程：,令：,特征方程：,特征根：,三种情况：,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,单自由度系统自由振动,57,动力学方程：,特征方程：,特征根：,特征根：,阻尼固有频率,有阻尼的自
16、由振动频率,振动解：,c1、c2：初始条件决定,两个复数根,单自由度系统自由振动,欠阻尼,振动解：,设初始条件：,则：,或：,单自由度系统自由振动,59,欠阻尼,振动解：,阻尼固有频率,阻尼自由振动周期：,T0：无阻尼自由振动的周期,阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期,单自由度系统自由振动,60,欠阻尼,响应图形,振动解：,欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动,=0 1,时间,位置,单自由度系统自由振动,61,欠阻尼,响应图形,振动解：,欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动,1 =0,有 阻尼和无阻尼时的自由振动,单自由度系统自由振动,62,不同阻尼，振动衰减的快慢不同,不同阻尼大小的振动衰减情况
17、,阻尼大，则振动衰减快 阻尼小，则衰减慢,不同阻尼大小时的自由振动,单自由度系统自由振动,63,评价阻尼对振幅衰减快慢的影响,与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为,衰减振动的频率为 ，振幅衰减的快慢取决于 ，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部,减幅系数,定义为相邻两个振幅的比值：,单自由度系统自由振动,64,减幅系数：,含有指数项，不便于工程应用,实际中常采用对数衰减率 ：,单自由度系统自由振动,65,实验求解,利用相隔 j 个周期的两个峰值 进行求解,得：,当 较小时（ ）,单自由度系统自由振动,66,第二种情况：,过阻尼,动力学方程：,特征方程：,特征根：,特征根：,两个
18、不等的负实根,振动解：,c1、c2：初始条件决定,单自由度系统自由振动,67,过阻尼,振动解：,设初始条件：,则：,一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生,响应图形,单自由度系统自由振动,68,第三种情况：,临界阻尼,动力学方程：,特征方程：,特征根：,特征根：,二重根,振动解：,c1、c2：初始条件决定,单自由度系统自由振动,振动解：,临界阻尼,则：,也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些,临界阻尼系数,设初始条件：,响应图形,单自由度系统自由振动,70,临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些,欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动,过阻尼是一种按指数规律衰减的非周
19、期蠕动，没有振动发生,单自由度系统自由振动,71,小结：,动力学方程,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,按指数规律衰减的非周期蠕动,按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快,振幅衰减振动,单自由度系统自由振动,72,例：阻尼缓冲器,静载荷 P 去除后质量块越过平衡位置的位移为初始位移的 10,求： 缓冲器的相对阻尼系数,单自由度系统自由振动,73,解：,由题知,设,求导 ：,设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：,即经过半个周期后出现第一个振幅 x1,单自由度系统自由振动,74,由题知,解得：,单自由度系统自由振动,75,例：,刚杆质量不计,求： （1）写出运动微分方程,（2）临
20、界阻尼系数，阻尼固有频率,小球质量 m,单自由度系统自由振动,76,解：,阻尼固有频率：,无阻尼固有频率：,m,广义坐标,力矩平衡：,受力分析,单自由度系统自由振动,77,教学内容,无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,78,等效粘性阻尼, 阻尼在所有振动系统中是客观存在的, 大多数阻尼是非粘性阻尼，其性质各不相同, 非粘性阻尼的数学描述比较复杂, 处理方法之一：采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼,原则：,等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量,单自由度系统自由振动,79, 通常假设
21、在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然为简谐振动, 该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的, 粘性阻尼在一个周期内消耗的能量 可近似地利用无阻尼振动规律计算出：,目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数, 讨论以下几种非粘性阻尼情况：,干摩擦阻尼,平方阻尼,结构阻尼,单自由度系统自由振动,80,（1）干摩擦阻尼,库仑阻尼,摩擦力：,：摩擦系数,：正压力,：符号函数,摩擦力一个周期内所消耗的能量：,等效粘性阻尼系数：,单自由度系统自由振动,81,（2）平方阻尼,工程背景：低粘度流体中以较大速度运动的物体,：阻力系数,等效粘性阻尼系数：,阻尼力与相对速度的平方成正比，方向相反,摩擦力：,在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：,单自由度系统自由振动,82,（3）结构阻尼,由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为结构阻尼,：比例系数,等效粘性阻尼系数：,特征：应力应变曲线存在滞回曲线,内摩擦所耗散的能量等于滞回环所围的面积：,加载和卸载沿不同曲线,单自由度系统自由振动,83,单自由度系统自由振动,本章结束,
