1、1习题一4.设 A，B 为随机事件，且 P（A ）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（ ）.【解】 P（ ）=1P （AB）=1P(A )P(AB)=10.70.3=0.623. 设 P（ ）=0.3,P(B )=0.4,P(A )=0.5，求 P（BA ）【解】 )()(BPA0.7516.425. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生有 90%的可能考试不及格.据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设 A=被调查学生是努力学习的，则
2、 =被调查学生是不努力学习的.由题意知 P（A ）=0.8，P（ ）=0.2，又设 B=被调查学生考试A及格. 由题意知 P（B|A）=0.9，P（ | ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()() ()PB0.210.2789.3即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%(2) ()()() ()PABPAB0.8140.372.9即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%.30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为 0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设 Ai=第 i 道工序
3、出次品 （i=1,2,3,4）. 412341()()iPAA230.987.509.34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设 A=飞机被击落，B i=恰有 i 人击中飞机 ，i=0,1,2,32由全概率公式，得 30()(|)iiiPABP=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.
4、7=0.45835. 已知某种疾病患者的痊愈率为 25%，为试验一种新药是否有效，把它给 10 个病人服用，且规定若 10 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到 35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】 （1） 31010C(.5).6.538kkkp(2) 102104(.).7.24kkk习题二14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12元保险费，而在死亡时家属可从保险公
5、司领取 2000 元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在 1 月 1 日，保险公司总收入为 250012=30000 元.设 1 年中死亡人数为 X，则 Xb(2500,0.002)，则所求概率为(2030)(15)(14)PPX由于 n 很大，p 很小， =np=5，故用泊松近似，有 5140e().069!kk(2) P(保险公司获利不少于 10000)30210)(1)XPX510e.98635!kk即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上P（保险公司获利不少于
6、 20000） (020)(5)PXPX50e.619!kk即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%316.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 X 的密度函数为f(x)=.10,2x求：（1） 在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F（x）.【解】（1） 1502()d.3PXx38()7p(2) 12234C()9(3) 当 x0 时， (e)(ln)xPXyln()dyXf故 2/ln11(ln)e,0yYYxFffy(2) 2(1)P当 y1 时 (0YFy当 y1 时 2)(1)PXy5211122y
7、yyPXPX(1)/2dyfx故 d11()()422YYXXyyfFffyy(1)/12e,(3) (0)PY当 y0 时 ()0FYy当 y0 时 )|()YXPXy()dyfx故 ()()YYXfFfyfy2/e,047.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率.【解】设 X 为考生的外语成绩，则 XN（72， 2） 7296240.3(96) 1()XP故 240.查表知 ,即 =12从而 XN（72，12 2）故 60728472(6084)11XP
8、XP()(.2习题三9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为6f（x，y）= .,0,他eyxy求边缘概率密度.【解】 ()(,)dXfxfe,0,=.0,yxx其 他()(,)dYff0e,0,=.,yxy其 他题 10 图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= .,0,12他yxc（1） 试确定常数 c；（2） 求边缘概率密度.【解】 （1） (,)d(,)dDfxyfxy如 图21- 4=1.xcc得 .24c(2) ()(,)dXfxfy21241(),1,840,0,.xxx其 他()(,)dYfyfy52217,01,40, .yxy其 他713.设二维随机变量（
9、X，Y）的联合分布律为2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】 （1）X 和 Y 的边缘分布如下表2 5 8 PY=yi0.4 0.15 0.30 0.35 0.80.8 0.05 0.12 0.03 0.2iPXx0.2 0.42 0.38(2) 因 20.42.8PYA016.5(2,0.4),PXY故 X 与 Y 不独立.14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为fY（y）= .,2/他ye（1）求 X 和 Y 的联
10、合概率密度；（2） 设含有 a 的二次方程为 a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率.【解】 （1） 因 1,0,()Xxfx其 他 ;21e,()0yYf其 他 .故/2e1,0(,)(),.yXYxyfxyfxA独 立 其 他题 14 图(2) 方程 有实根的条件是20aXY2()40XY故 X2Y，从而方程有实根的概率为：XYXY822(,)dxyPXYfx21/0de()0.45x22.设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（ X，Y）联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. y1 y2 y3 PX=xi=pix1x
11、21/81/8PY=yj=pj 1/6 1【解】因 ,21,jj ijiPXxYy故 1121,YyP从而 1,.684Xx而 X 与 Y 独立，故 ,ijiiPYyXxYyA从而 11,.2xx即： /.246又 111213,PXxxYyPXxYyPXxYy即 ,3,48从而 13,.2xy同理 2PY23,8PXxYy又 ,故 .311jjy316同理 2.4Xx从而YX9233131,.24PXxYyPyXxYy故 123iiPXx1x2418121428343jjPYyp16231习题四11.设随机变量 X 的概率密度为f（x ）= .0,2xcke求（1） 系数 c;（2） E（X
12、 ）;（3） D（X）.【解】(1) 由 得 .220()ded1kxfxc2ck(2) 0()edkxA220ed.kx(3) 222201()()e.kxEXfA故 22214.DEX13.一工厂生产某种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）= .0,41xxe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值： 100 元和200 元/41/4110edxPX/2.故 (元).1/41/41/4()e(20)e)
13、3023.64EYYX1017.设随机变量（X，Y ）的分布律为1 0 11011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与 Y 显然不独立，由联合分布律易求得 X，Y 及 XY 的分布律，其分布律如下表X 1 0 1P 382Y 1 0 1PXY 1 0 1P 284XY11由期望定义易得 E（X ）=E （Y ）=E（XY）=0.从而 E(XY)=E(X)E(Y),再由相关系数性质知 XY=0,即 X 与 Y 的相关系数为 0，从而 X 和 Y 是不相关的.又311,18PP
14、XYA从而 X 与 Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0） ， （0 ，1） ， （1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求 Cov（X，Y） ， XY.【解】如图，S D= ，故（X，Y）的概率密度为2题 18 图2,(),(,)0xyDfxy其 他 .()(,)dDEXf1012d3xA22()(,)xfy1206xy从而2221()(.638DXEX同理1,.38Y而 101()(,)d2d2d.xDDxyfxyy所以.Cov(,)()()1236XYEXYA从而 (,)3618XYDA34.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为1 0 1YX12010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20试求 X 和 Y 的相关系数 . 【解】由已知知 E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而 XY 的概率分布为YX 1 0 1P 0.08 0.72 0.2所以 E（XY）= 0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0.120.60.2=0从而 =0
