1、第二部分 刚体动力学,力系的简化 刚体动力学基本方程 惯量张量 刚体定轴转动 刚体平面平行运动 刚体绕固定点的运动 刚体绕定点自由运动,刚体动力学问题的困难之处： 方程的建立需要克服一些困难，需要引入惯量张量和运用一些技巧； 动力学方程组是非线性的。 解决动力学问题的理论和方法： 运用质点系的三大定律来解决； 运用分析力学的方法建立运动方程。 刚体动力学理论对现代科学技术用重要作用,力的作用线不能随意移动,力的可传性原理：,1 力系的简化,滑移矢量,刚体上的力沿其作用线移动，力的效果不变,P 点:,故P 点受到一个力,和一个力偶矩,设: 为作用在刚体A点上的一个力, P为空间任一点.,定理:
2、任意力系总可简化为通过某定点（即简化为中心，一般取质心）的一个单力（主矢）及一力偶 矩（主矩）.,(主矢): 使刚体质心平动运动状态发生变化.,(主矩): 使刚体绕通过质心轴线的转动状态发生变化.,2 刚体动力学基本方程,刚体是以特殊的质点组，自由度s=6,利用质点组基本定理和守恒律来处理刚体运动问题,刚体一般运动：,随参考点的平动与绕参考点的转动,在动力学中以质心为参考点,由动量定理可以求出 刚体随质心的平动,由角动量定理可以求出 刚体绕质心的转动,3 惯量张量,一、角动量与角速度的关系,普通物理中，对于定轴转动,角动量的定义,若质量连续分布,已知刚体绕固定点O转动，角度度为,角动量为,由于
3、绕定点转动,角动量可以表示为,投影到任意选定的以O为原点的坐标系,轴上的投影为,同样有,其中,这些量写成二级张量的形式,表示成矩阵的形式为,角动量与角速度的关系式可以写成,惯量张量的性质：,惯量张量作为一个整体表示刚体绕固定点转动中的惯性大小。,平动：,转动：,若,决定了绕 轴转动时角动量在 轴方向的分量的大小,决定了绕 轴转动时角动量在 轴方向的分量的大小,在某一时刻，刚体对固定点的惯量张量取决于该刚体相对于固定点的质量分布，与坐标系的选择无关，但惯量张量的各个分量与坐标系的选择有关。,同一刚体对不同参考点的惯量张量不同，因为对不同的参考点，质量的分布是不相同的。当刚体以相同的角速度绕不同点
4、转动时，刚体的角动量不一样。与角动量一样，惯量张量也必须指明其参考点。,二、惯量主轴,1、惯量主轴与主转动惯量,一般情况下，角动量与角速度的方向不相同,对一定点O，总能找到一些特殊方向，当刚体绕这些方向转动时，角动量与角速度的方向相同，这些方向称为刚体上O点的惯量主轴方向。,当角动量与角速度的方向相同时，有,分量方程为,有非零解的条件是系数行列式为零,惯量张量是实对称矩阵，有实本征值和至少三个两两正交的本征矢量，这些本征矢量的方向就是惯量主轴的方向。,可以解得 的三个根， 代入分量方程，可以得到三组角速度分量 的值，它们构成所要求的三个特殊方向，即惯量主轴方向,2、主轴坐标,取刚体上某点O为坐
5、标原点，过该点的三个两两正交的主轴为坐标轴Ox、Oy和Oz，这种固定在刚体上的特殊坐标称为O点的主轴坐标。,在主轴坐标中，惯量张量具有对角形式,在主轴坐标中，角动量与角速度的关系简化为,或,形式上的简化,3、寻找惯量主轴的方法,代数方法：求本征值和本征矢量的方法,几何方法：有一定对称性的均匀刚体,若刚体通过固定点存在一对称面，则过定点垂直于对称面的轴就是主轴,若刚体通过固定点存在一对称轴，则对称轴是一个主轴,当找到两个相互垂直的主轴后，与这两个主轴垂直的第三根轴一定也是主轴,若,则空间中的一切方向都是O点的主轴方向,若,则xy平面中的一切方向都是O点的主轴方向,4、任意方向转轴的转动惯量与主转动惯量之间的关系,主坐标系,过固定点O的任意转轴,方向余弦为,单位矢量为,对 轴的转动惯量为,四、刚体转动动能与角速度的关系,由柯尼希定理,对于定点转动，刚体上任意一点的速度为,刚体动能可表示为,刚体动能为,也可以表示为,在主坐标系下,刚体的动能为,或,4 刚体的定轴转动,一、定轴转动的基本方程,为维持A、B两点不动，刚体受有约束力,由动量定理,是刚体上第i个质点收到的外力：主动力,由对定点 A（也可选B或质心）的角动量定理，得,取固定坐标系的 轴沿 方向,角速度 沿 轴方向,表示刚体绕 轴转过的角度,根据角动量与角速度的关系有,刚体定轴转动的基本方程,
