1、第六章 低速宏观运动规律的正则形式 运动规律的表述形式：牛顿形式、拉格朗日形式、哈密顿形式、泊松括号形式 对于拉格朗日形式，有 1.力学系统的描述：2.拉格朗日方程：,3. 缺点：方程中 地位不平等力学系统的描述改为： (广义坐标)、 (广义动量) ：有共轭关系(独立、平等、成对)。用这一 对变量深刻反映了运动本质，且可得到更为对称的运动方程 正则方程。 1.6.1 哈密顿方程一、勒让德变换 (将 ),设：f = f (x,y)关于两个变量的二元函数 则 又 两式相减关于x、Q 变量的全微分 (勒让德变换),变换后的函数：g = f QyQ=Q(x,y) y=y(x,Q) ：由 Q=Q(x,y
2、) 解出y=y(x,Q)f = f (x,y) f = f (x,Q) 因此g = f Qy = g(x,Q)说明： 1. (1)、(2)两式相减的另外一种结果为d (Qy f ) = ydQPdx (本质上与前面无差别),2. 若要将变量 x 变为 P，则上两式相减这样,3.对于df = Pdx + Qdy用Q取代 y，则将df 中的dy 前面的Q乘以被取代的y，再减去原函数 f ；用P取代x，则将df 中的dx前面的P乘以被取代的x，再减去原函数 f。4. f = f (x,y,z)关于三个变量的函数(可推广到N元函数)要将 x、y、z x、Q、R，采用与前面一样的方法， 有,二、哈密顿函
3、数 设 ，t 固定参量 则,而广义动量为拉格朗日方程为而 (上式中 不对称),目的： 作勒让德变换 哈密顿函数得又,与 比较得：H就是系统的能量E。在 中，H只是 的函数一般情况：三、哈密顿方程 由 H=H(q, p) 得到,比较于是有哈密顿方程 (正则方程,系统的运动方程),说明 1. 数学上：哈密顿形式上为一阶微分方程 (2S个)，而拉格朗日形式上为二阶微分方程简化数学计算(尤其对于数值计算)； 2. 哈密顿方程中， 地位同等相互共轭的正则变量、 两者差别消失，可建立相空间(见后)； 3. 哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力学的过渡； 4. 循环坐标：若 是拉格朗日函数的循环坐标
4、，同时也是哈密顿函数的循环坐标，反之亦然。但是，,也可以是哈密顿函数的循环坐标。而循环坐标与守恒量密切相关，力学规律采用哈密顿形式或者后面的泊松括号形式，更容易找到守恒量。另外，采用哈密顿形式时，若 是循环坐标，则与其共轭的变量 守恒。此时，从变量的角度讲，系统减少了一对变量，从系统自由度的角度讲，自由度由S减为(S-1)。如有心力问题中， 是循环坐标，则 守恒，因此在哈密顿函数中，这一对变量均不出现。由以下表达式也很容易看到这一点：,5 . 提供了一个形式简洁而又完善的统一的运动微分方程。 6 . 有时，并未直接减少求解给定力学问题的困难程度。因为求解哈密顿正则方程归根到底仍是求解拉格朗日方
5、程。,四、最小作用量原理 已讲：由最小作用量原理导出拉格朗日方程 现在：由最小作用量原理导出哈密顿方程因为 ， 所以 将L代入作用量 ，得,而,极值条件：又 互相独立，所以,即哈密顿方程五、相空间 定义：仅由广义坐标 形成的空间叫位形空间；由 这一对共轭变量形成的空间叫相空间。在任一时刻t，当给定位形空间中一点的r(t)，不能 确定质点的运动。为了决定质点的运动，还必须知道这 一时刻位矢的导数 ，而这意味着需要知道相邻时刻 的r(t)。位形空间：位置状态；相空间：运动状态。,要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动， 将3个坐标分量 和3个动量分量 合在一起，形成一个6维欧氏空间，称为这一质
6、点的相 空间。这样，给定相空间中的一点，就完全决定了质 点的运动。质点在相空间中的代表点随时间t的变化所描出的 曲线称为质点的相轨迹。对于周期运动，相轨迹是闭 合曲线 (例如一维谐振子的相图)。,1.6.2 守恒律 泊松括号 (Poisson Bracket)一、力学量对时间的导数哈密顿形式下， 力学系统的状态 力学量用 来表示的例子： 一维线性谐振子2. 粒子的能量、角动量,设 f 力学系统的任意力学量，则 一般情况：f = f (p,q,t)，则由哈密顿方程,定义：H 和 f 的泊松括号用泊松括号表示的力学量随时间的演化方程,说明 1. 用泊松括号，可以使任一力学量随时间的变化方程表述得非
7、常简洁； 2. 泊松括号形式很容易过渡到量子力学：量子泊松括号。量力泊松括号到经典泊松括号的过渡参见曾谨言量子力学下册p464-p466，或参见教材p464。,二、用泊松括号表示出的运动方程 因为1.f 中不显含时间，只含 则2. f 中不显含时间，只含,则即用泊松括号表示的运动方程 实际上,三、能量守恒与动量守恒 设 f = f (p, q)不显含时间t，即 则又若f 守恒不显含时间t的力学量守恒的充分必要条件是它和H的泊松括号等于零,若：H不显含时间t，则H是守恒量能量守恒循环坐标：在拉格朗日函数中不包含的某一广义坐标 1.设H不包含某一广义坐标 ，则与循环坐标 对应的广义动量 守恒,2.
8、设H不包含 ，则因此，广义动量也称为循环坐标。这样，在哈密顿表述中，广义坐标概念被推广，地位相等，广义动量也可视为广义坐标。,四、泊松括号的性质 设任意两个函数 f, g：f = f (q, p, t), g = g(q, p, t) 定义：f 和 g的泊松括号为泊松括号的重要性质 1. 基本的泊松括号(由正则变量组成),2. 反对易性3. 分配律4. 结合律5. 若c为常量，则6. 求导运算,x：时间、广义坐标、广义动量等变量7. 线性性质8. 雅可比关系附：量子泊松括号和海森堡绘景下的运动方程 1. 设有算符 ，则量子泊松括号为,1.6.3 正则变换一、正则变换 1. 目的： 找到一坐标系
9、，使得在该系下，循环坐标多； 2. 正则变换的涵义：广义坐标为 ，是决定系统中所有质点位置的独立变量。设 为 的单值可逆函数，即,2. 在海森堡绘景下的运动方程为,决定 ，即决定了系统中所有质点的位置也是广义坐标 ( ：均在位形空间) 是 之间的变换 例：笛卡尔坐标和球坐标之间的关系就是这种变换。,都是广义坐标。笛卡尔坐标和柱坐标之间的关系也是这种变换。变换表示广义坐标的选取不唯一。对拉格朗日形式、哈密顿表述都如此 但：在哈密顿表述中， 地位平等，坐标和动量已失去其原有的意义。寻找更广泛的变换,(相空间中的坐标变换),在变换中， 中同时包含 当 时，哈密顿函数使得 (变中有不变)此时称 为正则
10、变换 变换的结果,问题的关键：寻找正则变换二、正则变换的生成函数 由变分原理，有类似地,由前面变分原理的两个表达式可得：两个被积函 数相差一个任意函数F 对时间的全导数，即事实上而在端点处,(1)式中的F 称为正则变换的生成函数，即4S+1个变量其中： 2 S个方程除去时间变量外， 有2S个独立变量。例子：对于二维运动，可选直角坐标x、y，还可选极 坐标 ，或 、 ，即可在这四个变量中任选两个作为函数的自变量。此外，还可在相空间中选择。,选F1 = F1(q, Q, t)，则比较,F 有以下四种形式，即,即又：若给定F1，则,因为且有恒等式,所以令F1 = F1(q, Q, t)中的Q：,又 F2 = F2 (q, P, t)而比较得,若给定F2 = F2 (q, P, t)则同理：,三、正则变换举例 1. 由F2 = F2 (q, P, t)生成的变换 设因所以,恒等变换2. 由F1 = F1(q, Q, t)生成的变换 设因所以,结论：老的广义动量 新的广义动量老的广义坐标 新的广义动量 (相差一负号)坐标、动量平等哈密顿雅可比理论 生成函数 正则变换,
