1、1.4.3 多自由度的耦合振动 一、弱耦合的二振子系统 (两个自由度) 设：两个振子 m，k；m，k。两个振子之间用一软弹簧 连接实现两个振子的耦合 k：弱耦合 (将软弹簧换为硬弹簧或刚性杆会如何?) 又设：滑块 1、滑块 2 的平衡位置为坐标原点，作两轴 o1 x1、 o2 x2，则势能为,系统的拉格朗日函数为(思考：将两个方程相加或相减，会出现什么结果？) 设：解的形式为两个滑块以同一频率振动,由拉格朗日方程得到运动方程, 关于 C1、 C2 的齐次方程组 非零解条件为C1、 C2 的两组解：(具体值由初始条件定),(久期方程),C1、 C2 矩阵形式的解为显然，它们是相互正交的，即归一化
2、：令 ，有,满足正交归一条件：耦合振子系统有两个振动频率：1、2 。与1、2 对应，有如下两种确定的集体振动模式一般情况下，振动是以上两种振动模式的叠加，即,选新的广义坐标：Q1、Q2，令则 Q1、Q2 分别表示两种独立的集体振动模式。这样从而得到新旧坐标之间的变换关系,新坐标系下的拉格朗日函数耦合项消失(退耦)，此时相互耦合的二振子系统变成两个独立的振子系统。定义：Q1、Q2 为耦合振子系统的简正坐标。,二、对称矩阵的本征值与本征矢(参见p320)为将二耦合振子系统推广到任意 S 个耦合振子系统，将前面关于 C1、 C2 的方程改写成矩阵形式，有令,则,一列二行矩阵 U 可看成一个二维空间中
3、的矢量。 一般：22 对称矩阵 S 作用在一个任意二维空间矢量上，会改变它的大小和方向，即 SU 和 U 一般不平行。 但： SU =U 表明此式中的矢量 U 受到 S 的作用后，不改变方向，而只是乘上一个常数。 定义： U矩阵 S 的本征矢，与本征矢 U 对应的本征值，SU =U 对称矩阵 S 的本征方程。,这样，求耦合二振子系统的集体振动模式归结为求解矩阵 S 的本征值方程。将以上方法推广到三维空间，对此空间中的矢量写成矩阵形式，得到于是，33 的矩阵 S 的本征值方程为,或写为如果 ，则称矩阵 S 为对称矩阵。 对于对称矩阵有如下定理： 定理一 33 的对称矩阵 S 有3个独立的本征矢。
4、与本征矢对应的本征值为实数。,证： SU =U 可写为其中 I 为单位矩阵将 SU U = (S I) U = 0 写成矩阵形式,上式是关于3个未知数 u1, u2, u3 的齐次方程组。非零解 条件为由以上条件，可得的3个根 = a (a=1,2,3)。与每 个根相对应，可得到一个解 ，这就是和本 征值a 对应的本征矢。 假定：S 为实对称矩阵，即,本征值方程又可写成取其复共轭将 ，并利用 ，得到将上式左右两边同时乘以 uj ，并对 j 求和，得到,将本征值方程的左右两边同时乘以 ，并对 i 求和，有因此，即为实数。 讨论：当为实数时，由本征值方程得到的解 u1, u2, u3 也是实数，可
5、以组成有物理意义的矢量。对于 33 的 对称矩阵有3个实本征值，相应的有3个独立本征矢。,注意：本征值方程是齐次方程，它的解可以乘上任意常数。因此，和本征值对应的只是本征矢的方向，而相应的本征矢的长度不确定。此时可以将本征矢“归一化” 成单位长度，即通过乘上一个常数使得 ui (i =1,2,3) 满足上式的矩阵形式其中 是 U 的转置矩阵。,定理二 对称矩阵对应于不同本征值的本征矢相互正交。 证：和 、 对应的本征值方程分别为将上两式分别乘上 和 并对 i 求和，得到,对上两式中的第一式的左边交换求和指标 ，有又 ，所以即因 ，所以 ，即 。,从定理一和定理二可知，33 的对称矩阵有三个独立
6、本征矢，对应于三个本征值。如果这三个本征值互不相等，则对应的三个本征矢相互垂直。几何上，可画出三个本征矢，其长度分别为对应的本征值，用它们为主轴作一个椭球。这一椭球就是对称矩阵的几何表示，称之为对称矩阵的本征椭球。用本征椭球的三个主轴 (对称矩阵的三个本征矢) 作为坐标架基矢作一个笛卡尔坐标系，则在此坐标系中，对称矩阵有对角形式,在以本征椭球的三个 主轴为坐标轴的坐标系下， 本征矢量的矩阵表达式分 别为 (1，0，0)、(0，1， 0)、(0，0，1),备忘：矢量 A 可用复数来表示，如图。在Oxy和Oxy 坐标 系下，有 z = x+i y、z = x+i y ； ，因此,：代表转动。,当坐
7、标系转动时，矢量 U 变成 U ，它的三个分量ui (i =1,2,3)是 U 的三个分量 ui (i =1,2,3) 的线性组合上式的矩阵形式 U = AU 其中矩阵 A 应满足一定的条件，以保证归一化的矢量 在转动以后仍然归一化，即有由 A 的任意性(坐标系可任意选取)，有 或,满足以上条件的矩阵称为正交矩阵。注意，代表物 理量的矩阵 S 是对称矩阵，即 ；而坐标转动矩 阵 A 则是正交矩阵，即 。由于坐标系的转动，使得表示物理量的矩阵S 也发生变化。变化后的矩阵 S 与 S 的关系的推导： 原坐标系中，将 S 作用到 U，得另一矢量 V，有 SU=V； 坐标系转动后，这一关系仍然应成立，
8、即 S U = V 由U的任意性，有 S A = AS 。,而 ，所以 。 可以证明：在坐标转动下，代表物理量的矩阵S的本征值和本征矢不变。注：当坐标系变换到另一坐标系时，对称矩阵的各个分量都要发生变化，矩阵不再是对角的了，但是物理量的本征值和本征矢不因坐标系的变换而变化，因而相应的本征椭球在空间中的位置和形状不变。,定理三 如果对称矩阵 S 的两个本征值相等a= b = ，则和它们对应的本征矢 ua 和 ub 的线性组合也是 S 的对应于同一个本征值 的本征矢。 证：本征值方程为将两式分别乘上 和 并相加，得,上式表明： 也是 S 的对应于同一个本征值的本征矢。两个独立矢量 ua 和 ub
9、的线性组合形成一个平面。 因此定理三表明，和两个相等本征值对应的不是两个 特定的本征矢量，而是一个平面，在这一平面中的任 意矢量都是和这一本征值对应的本征矢。此时，对应 的椭球有两个主轴长度相同，是一个旋转椭球。沿这 两个主轴作的椭球的截面是一个圆。这一截面上的任 意矢量都可以看成椭球的主轴。可以从中选两个相互,垂直的矢量作为椭球的主轴。所以，对于任意一个 33 对称矩阵 S，总可以找到三个相互垂直的方向，当矢量 u 沿这三个方向时，S 作用到矢量 u 上不改变它的方向。,x,y,z,x,z,当实对称矩阵 S 的三个本征值相等时，其特征多项式为其中 对 S () 分别求一阶导数和二阶导数，得,
10、将上式代入 S () 的一阶导数表达式，有化简得 由于 S 是矩阵，所以,而因此这样由 S 的本征值方程 SU =0U 得 SU =0 IU =0U 即当实对称矩阵 S 的三个本征值相等时，其本征矢 方向是任意的，对于电磁介质而言，这说明介质是 各向同性的。,推广： S 维矢量的定义定义一 一组 S 个实数 ui (i =1,2,S) 称为 S 维空间中的矢量，每个 ui 称为这一矢量的分量。定义二 两个矢量的对应分量相乘并求和 ，此和称为它们的标积。说明：对于实矢量，标积的另一种形式其中,定义三 如果两个矢量的对应分量成正比 ui = c vi ，就称它们相互平行。 定义四 如果两个矢量 (
11、非零矢量) 的标积 等于零，就称它们相互正交。 SS 的矩阵 S 的本征值方程成为或者,定理四 SS 的对称矩阵 S 有 S 个独立的本征矢。对应的 本征值为实数。当这 S 个本征值各不相等时，对应的 S 个 本征矢相互正交。可以将它们归一化成为一组 S 个正交 归一的 S 维矢量 。当在 S 个本 征值中有 m 个本征值相等时，对应的 m 个独立本征矢的 线性组合形成一个 m 维线性子空间 (m 维 “平面”)，其中 的任意矢量都是对称矩阵 S 对应于这一本征值的本征矢。 可以从中选出 m 个相互正交的矢量并加以归一化，成为 这个 m 维线性子空间中的正交归一完备基。对于所有有,相等本征值的
12、本征矢都这样处理以后，得到一组 S 个 矢量 ，满足正交归一条件,以上定理的例子：各向异性介质中电场与电流密度的方向。为便于比较，在各向同性介质中加入电场 E，则根据 欧姆定理，有 ，即在各向同性介质中， E与 j 同向； 但在各向异性介质中， E 与 j 一般不平行，而是有只有当电场 E 沿 的本征方向加入时， E 才与 j 平行。,三、多自由度耦合振子的集体振动模式 对两个自由度的二振子耦合振动系统，势能改写为,推广到有 S 个自由度的一般情况，有因此，对于有 S 个自由度的振动系统，拉格朗日函数为,拉格朗日方程为又运动方程为了得到 S 个质点的集体振动模式，下面来求所有 的 以同一频率振
13、动的解。,解的形式： 代入运动方程得关于 的 S 个线性齐次方程组,非零解的条件关于2 的 S 次代数方程：S 个正实数S 个自由度的耦合振子系统有 S 个本征频率,另一种做法：将 乘以 ，并令得到对称矩阵 K 的本征值方程有 S 个正的本征值 ,与 相应的本征矢为 。 又因此所有 S 个自由度 以同一频率 按特定的方式的协调振动，是一个集体振动模式，称为简正振动。,实际的振动是这 S 个简正振动的线性叠加用 表示第个集体振动模式的 广义坐标，称为简正坐标。坐标变换为,不同的本征矢 有正交性，令 ，有将 乘以 可以使之归一化又对应于本征值 ，将上式两边乘以 ，并对 作和,所以可以证明，在新的广义坐标 下，拉格朗日 函数退耦合成为 S 个独立振动,(为证明下式作准备),
