1、,第5章,插 值 法4,基础教学部数学教研室彭 晓 华,立体化教学资源系列数值分析,总结：,一、拉格朗日插值,2.Lagrange插值多项式：,i =0,1,n,称为Lagrange插值基函数。,1.存在唯一性：满足插值条件 Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,n) n次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 存在而且惟一。,3.插值余项: Rn (x)= f (x) - Pn (x)=,1.牛顿插值公式：,二、牛顿插值：,（1）差商的定义:,（2）差商的基本性质:,在互异节点,上的,阶差商可由,这个性质可用归纳法证明.这个性质也表明差商与节点的 排列次序无关，称为
2、差商的对称性.,（a） 差商与函数值的关系：,的线性组合表示，即,（b） （对称性）：,（c）（差商与导数的关系）：,在,上存在，则,其中,位于包含,的最小闭区间的内部.,其值不变，即,，,差商中任意对调节点次序，,若,(3)牛顿插值公式：,(4) 插值余项与误差估计,，,（因为,）.,【定义2】 记号,，,，,分别称为,在,处以,(Forward Difference)、向后差分(Backward Difference),，,，,向后差分算子及中心差分算子.,为步长的向前差分,及中心差分.符号,分别称为向前差分算子，,2.等距节点的牛顿插值公式：,（1）差分的概念和性质：,二阶差分:,取,时
3、，则有,.,二阶向前差分：,，,阶差分:,恒等算子,和移位算子,差分算子,与,和,有下面关系,差分的基本性质:,(a)差分与函数值的关系：,(b)前差与后差的关系：,（c） 差商与差分的关系：,（d） 差分与导数关系：,，其中,(2) 等距节点插值公式,(一)牛顿向前差分插值公式,其余项为,.,. （5.10）,(二)牛顿向后差分插值公式,其余项为,在某些实际问题中，不但要求插值函数在节点上等于已知函数值，而且还要求其导数值相等. 这种使插值函数和被插值函数密合程度更好的插值问题，称为埃尔米特插值（Hermite Interpolation）.,三、 埃尔米特插值,一、重节点差商与泰勒插值,为
4、,是其变量的连续函数。,1.定理 设,异节点，则,上的互,2.重节点的差商：,一般地可定义n阶重节点的均差,重节点的二阶差商：,重节点的一阶差商：,3.泰勒插值多项式：,（*）,称（*）式为泰勒插值多项式，它就是一个埃尔米特,插值多项式，其余项为：,它满足条件,泰勒插值是牛顿插值,特插值多项式。,时的,极限形式，是一点处给出n+1个插值条件得到的埃尔米,2.Hermite插值：,上，,（1）满足连续和一阶光滑条件的Hermite插值问题.,（a）假设在节点,其形式为,的多项式，记为,个条件，可唯一确定一个次数不超过,（5.12）,求插值多项式,，满足条件,（c） 埃尔米特插值多项式:,满足插值
5、条件（5.12）的插值多项式是存在且唯一的.,其中基函数,为待定的,次多项式.,基函数满足性质：,.,（b） 埃尔米特插值多项式的存在唯一性,因此，Hermite插值多项式为,（d) 埃尔米特插值余项,是,其中,且与,有关.,(5.12) 的Hermite插值多项式，则其插值余项,， （5.14）,若,上满足插值条件,四、分段线性插值.,上，,为,其中,，,.,在每个小区间,，,且有,，,其中,.,.,分段线性插值的余项：,五、分段三次Hermite插值.,三次Hermite插值多项式（5.15），在每个小区间,上，,为,其中,，,.,若在,上，节点处的一阶导数已知，由两点,，,.,分段三次H
6、ermite插值的余项：,存在，,是过节点,的分段三次Hermite插值多项式，则,且有：,，,其中,设,.,上有一划分,给定节点,处的函数值为,若存在函数,满足,（2） 分段条件：在小区间,，,上，,是三次代数多项式，即,（3） 光滑条件：,则称,为样条节点,上的三次样条插值函数，称求,的方法为三次样条插值方法.称求,的问题为样条插值,设,，,（1） 插值条件：,问题.,六、 三次样条插值,确定三次样条插值函数的边界条件通常有三种：,第二种边界条件，即已知两端的二阶导数值，,其特殊情况为自然边界：,第三种边界条件，即周期特性,满足给定边界条件的三次样条插值函数是存在且唯一的.,第一种边界条件，即已知两端的一阶导数值，,三次样条插值函数,其中,有如下的分段表达式：,这是严格对角占优的，因此存在唯一解，且可以用追赶法解出,（1） 对第一种边界条件,满足三对角方程组,求,的三对角方程组,这个方程组是严格对角占优的，因此可以由追赶法获得唯一解.,.(5.24),（2） 对第二种边界条件,（3） 对第三种边界条件，求,的三对角方程组,三次样条插值的误差估计与收敛性：,是使,第二种边界条件的唯一的三次样条插值函数，则,设,满足第一种或,其中,
