1、实验报告 课程名称： 工程电磁场与波 指导老师： 成绩： 实验名称： 球形载流线圈的场分布与自感 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 八、磁通球磁场的 其他 解法 一、实验目的和要求 1.研究球形载流线圈（磁通球）的典型磁场分布及其自感参数 。 2.掌握工程上测量磁场的两种基本方法感应电势法和霍耳效应法 。 3.在理论分析与实验研究相结合的基础上，力求深化对磁场边值问题、自感参数和磁场测量方法等知识点的理解，熟悉霍耳效应高斯计的应用。 二、实验内容和原理 1
2、.实验内容 （ 1） 测量磁通球轴线上磁感应强度 B 的分布 。 （ 2） 探测磁通球外部磁场的分布 。 （ 3） 磁通球自感系数 L 的实测值 。 （ 4） 观察磁通球的电压、电流间的相位关系 。 2.实验原理 （ 1）球形载流线圈（磁通球）的磁场分析 图 1 球形载流线圈（磁通球） 图 2 呈轴对称性的场域计算 如图 1 所示，当在 z向具有均匀的匝数密度分布的球形线圈中通以正弦电流 i时，可等效看作为流经球表面层的面电流密度 的分布。显然，其等效原则在于载流安匝不变，即如设沿球表面的线匝密度分布为 W，则在与元长度对应的球面弧元 Rd上，应有 WRd i = N2R dz i 因在球面上
3、，所以 dz = d R cos = R sind 代入上式，可知对应于球面上线匝密度分布 W，应有 W =N2R R sin dRd =N2R sin 即沿球表面，该载流线圈的线匝密度分布 W正比于 sin ，呈正弦分布。因 此，本实验模拟的在球表面上等效的面电流密度 的分布为 = N2R i sin 由上式可见，面电流密度 周向分布，且其值正比于 sin。 因为，在由球面上面电流密度 所界定的球内外轴对称场域中，没有自由电流的分布 , 所以，可采用标量磁位 m为待求场量，列出待求的边值问题如下： 泛定方程： 2m1 r, = 0 r BC： Ht1 Ht2 = H1 H2 = Kn = N
4、2R i sin r = R Bn1 = Bn2 0Hr1 = 0Hr2 r = R m1|r=0 = 0 2|r = m2|r = 0 上式中泛定方程为拉普拉斯方程，定解条件由球表面处的辅助边界条件、标量磁位的参考点，以及离该磁通球无限远处磁场衰减为零的物理条件所组成。 通过求解球坐标系下这一边值问题，可得标量磁位 m1和 m2的解答，然后，最终得磁通球内外磁场强度为 1 = m1 = Ni3R cos sin r 1 2 基于标量磁位或磁场强度的解答，即可描绘出磁通球内外的磁场线分布，如图 3 所示。 由上述理论分析和场图可见，这一典型磁场分布的特点是： 图 3 场图（ H 线分布） 图
5、4 磁通 的计算用图 （ i） 球内 H1 为均匀场，其取向与磁通球的对称轴（ z 轴）一致，即 1 = Ni3R cos sin = Ni3R = H1 1 3 （ ii） 球外 H2 等同于球心处一个磁偶极子的磁场。 （ 2）球形载流线圈自感系数 L 的分析计算 在已知磁通球的磁场分布的情况下，显然就不难算出其自感系数 L。现首先分析如图 4 所示位于球表面周向一匝线圈中所交链的磁通 ，即 然后，便可分析对应于球表面上由弧元 Rd所界定的线匝 dW 所交链的磁通链 d 这样，总磁通链 就可由全部线匝覆盖的范围，即 由 0 到 的积分求得 最终得该磁通球自感系数 L 的理论计算值为 L =
6、29N20R 1 4 在本实验研究中，磁通球自感系数 L 的实测值可通过测量相应的电压、电流来确定。显然，如果外施电源频率足够高，则任何电感线圈电阻在入端阻抗中所起的作用可被忽略。此时，其入端电压和电流之间的相位差约等于 90，即可看成一个纯电感线圈。这样，由实测入端电压峰值与电流峰值之比值，即可获得感抗 L的实测值，由此便得 L 的实测值。 （ 3）感应电势法测磁感应强度 若把一个很小的探测线圈放置在由交变电流激磁的时变磁场中，则根据法拉第电磁感应定律，该探测线圈中的感应电动势 e = ddt 1 5 式中， 为与探测线圈交链的磁通链。 如果 测试 线圈的轴线与磁场方向相一致，且磁场由正弦交
7、变电流激励，那 么 ，对应于式 1 5 的有效值关系为 E = = 2fN1 由于探测线圈所占据的空间范围很小，故该线圈内的磁场可近似认为是均匀的， 201d si nHR S BSd d si n d2NWRR d Li因此有 = BS = 0HS，从而，被测处的磁感应强度 B = E2fSN11 6 式中， N1 为探测线圈的匝数； E 为探测线圈中感应电势的有效值（ V）； B 为被测处磁感应强度的有效值（ T）； f 为正弦交变电流的频率，本实验采用 5 kHz 的交流； S 为探测线圈的等效截面积（ m2）。 （ 4）霍耳效应法测磁感应强度 图 5 霍尔效应示意图 霍耳元件被制备成一
8、块矩形 （ b l） 半导体薄片，如图 5 所示。当在它的对应侧通以电流 I，并置于外磁场 B 中时，在其另一对应侧上将呈现霍耳电压 Vh，这一物理现象称为霍耳效应。霍耳电压为 Vh = Rhd IBf lb 1 7 式中， Rh 为霍耳常数，取决于半导体材料的特性； d 是半导体薄片的厚度； f(l/b)是霍耳元件的形状系数。 由式 1 7 可见，在 Rh、 d、 I、 f(l/b)等参数值一定时， Vh B Bn 。根据这一原理制成的霍耳效应高斯计，通过安装在探棒端头上的霍耳片，即可直接测得霍耳片所在位置的磁感应强度的平均值（ T 或 Gs， 1T=104 Gs）。本实验采用 5070型高
9、斯计，它既可测量时变磁场，也可测量恒定磁场。 应指出，在正弦交流激励的时变磁场中，霍耳效应高斯计的磁感应强度 平均值读数与由感应电势法测量并计算得出的磁感应强度的有效值之间的关系为 Bav = 2 2 B 0.9B 1 8 （ 5）探测线圈等效截面积的计算 测试 线圈的轴向剖面图如图 6 所示。由于线圈本身的尺寸很小，故线圈内的磁场分布可近似认为是均匀的。图中半径为 r，厚度为 dr 的薄圆筒状线匝所包围的轴向磁通为 = Br2 = 0Hr2 故与该薄筒状线匝所交链的磁通链为 d = bdrb R2 R1 N10Hr2 式中 bdrb R2R1 N1是薄筒状线圈对应的匝数。将上式取积分，就可求
10、出探测线圈的磁通链 = d = N10HR2 R1r2drR2R1= N10H3 R12 + R1R2 + R22 因此，探测线圈的等效截面积为 S = 3 R12 + R1R2 + R22 （ 6） 5070 型高斯计的使用方法（简介） 本实验应用的 5070 型高斯计配有横向探棒，其结构示意图如图 7 所示。 图 7 横向探棒 使用操作步骤如下： （ i） 将横向探棒接入高斯计右侧插孔中； （ ii） 自测：接通电源（按下 POWER 键），高斯计即进入自测过程。若有故障，则显示“ Err”； （ iii） 测量模式选择：调节 FUNCTION 选择器的指示，在 MODE 位置上配合SEL
11、ECT 键，可显示 DC（恒定磁场）或 AC（时变磁场）两种测量模式的选择； （ iv） 测量单位的选择：调节 FUNCTION 选择器，在 UNITS 位置上配合 SELECT键，可显示 G（高斯）、 T（特斯拉）或 A/m（安 /米）三种测量单位的选择（前二者对应于磁感应强度 B 在 CGS 制与 SI 制中的单位（ 1 T = 104 Gs）；后者则对应于磁场强度 H 在 SI 制中的单位）； （ v） 测试量程选择：调节 FUNCTION 选择器，在 RANGE 位置上配合 SELECT键，可显示所期望的测试量程，如 G、 kG 等； （ vi） 零位调整：高斯计探棒初始读数置零的操作
12、是保证磁感应强度测量精度的前提条件。首先，为屏蔽外磁场对探棒零读数的影响，可将探棒插入“零磁通腔”内；然后，可选择自动调零功能，即将 FUNCTION 选择器置于 ZERO 的位置，按下 AUTO 键，约在 5-10 秒内该高斯计自动完成探棒初始读数置零操作。 （ vii） 测量：将 FUNCTION 选择器置于 MEASURE 位置，即可读出被测场点处的磁感应强度值。如果被测磁场范围未知时，应选择高量程测试（测量时，对应于 G 和 T 的测量单位的选择，超量程指示为“ 1999”）。 三、主要仪器 设备 名称 型号、规格 数量 备注 磁通球 球半径 R=5cm 球匝数 N=131 匝 材料：
13、环氧树脂（ 0） 无感取样电阻（ 0.5 ） 1 精心缠绕的线匝模拟了 z向具有均匀匝数密度分布的磁通球的设计要求 磁通球激磁电源 直流： 01.3A 交流： 5kHz， 01.3A 1 交流毫伏表 050mV 1 测试线圈 内径 R1=1.0mm 外径 R2=3mm 线圈宽度 b=1.5mm 线匝数 N1=60 1 高斯计 5070 型 0.1-1-10-200-2k-20kGs 1 可测量恒定或时变磁场 示波器 20Mhz 模拟示波器 1 四、操作方法和实验步骤 实验测试的接线示意图，如图 8 所示。 图 8 接线示意图 1.测量磁通球轴线上磁感应强度 B 的分布 （ 1） 沿磁通球轴线方
14、向上下调节磁通球实验装置中的探测线圈，在 5kHz 正弦交变电流（ I = 1 A）激励情况下，每移动 1 cm 由毫伏表读出探测线圈中感应电势的有效值 E，然后，应用式 1 6 计算磁感应强度 B； （ 2） 在上述激磁情况下，应用 5070 型高斯计及其探棒，通过调节探棒端头表面位置，使之有最大霍耳电压的输出（即高斯计相应的读数最大），此时，探针面应与磁场线正交。由此可以由高斯计直接读出磁通球北极（ r = 0， z = R）处磁感应强度 Bav 。 2.探测磁通球外部磁场的分布 （ 1） 在 5 kHz 正弦交变电流（ I = 1 A）激励情况下，继续探测磁通球外部磁场的分布。测试表明，
15、磁场分布如同图 1-3 所示：磁场正交于北极表面；在赤道（ r = R， z = 0）处，磁场呈切向分布；磁通球外 B 的分布等同于球心处一个磁偶极子的磁场； （ 2） 在直流（ I = 1 A）激励情况下，应用高斯计重复以上探测磁通球外部磁场分布的实测过程，并定量读出磁通球北极（ z = R）处磁感应强度 B 。 3.磁通球自感系数 L 的实测值 本实验在电源激励频率为 f=5kHz 正弦交变电流（ I=0.5A）激励 情况下，近似地将磁通球看作为一个纯电感线圈。因此，通过应用示波器读出该磁通球的激磁电压 u(t)的峰值 ULm 和电流 i(t)的峰值 ILm 本实验中， i(t)的波形可由
16、串接在磁通球激磁回路中的 0.5 无感电阻上的电压 uR t = Ri t 测得 ，从而， ILm = ULmR ， 由此 即可算出其电感实测的近似值 ： L = ULmILm。 应指出，以上电压峰值读数的基值可由示波器设定，而电流峰值读数的依据为 0.5 无感电阻上的电压降 （注：示波器（ YB4360）提供了 f=1kHz，峰 -峰值为2V 的标准方波信号电压，故首先应校准示波器上电压（ V）和时间（ t）的输入挡的相应旋钮位置，然后，由双通道（ CH1 和 CH2）分别输入待测的 u（ t）和 i（ t）信号） 。 4.观察磁通球的电压、电流间的相位关系 应用示波器观察磁通球的激磁电压
17、u(t)和电流 i(t)间的相位关系 。 五、实验数据记录和处理 1.磁 通球轴线上磁感应强度 B 的分布 正弦激磁电流 I=1A， f=5kHz （ 1）感应电势法测磁感应强度 B 序号 坐标 r（ cm） （ = 0） 感应电势法 测试线圈的感应电势 E（ 103V） 按式 1 6 计算的磁感应强度B 104T = Gs 1 -5 22.5 8.7682 2 -4 22.0 8.5733 3 -3 22.5 8.7682 4 -2 23 8.9630 5 -1 22 8.5733 6 0 21.9 8.5344 7 1 22 8.5733 8 2 21 8.1836 9 3 20 7.79
18、39 10 4 19 7.4042 11 5 11 4.2867 磁通球轴线上磁感应强度 B 的理论值： （ i）球内 B1 = 0H1 = 0 Ni3R = 10.9746Gs。 （ ii）球外 2 = m2 = Ni6R Rr 32 cos + sin 轴线上 = 0， 故 B2 = 0H2 = 0 Ni R23r3 。 序号 坐标 r（ cm） （ = 0） 感应电势法 磁感应强度 B的理论值104T = Gs 测试线圈的感应电势 E（ 103V） 按式 1 6 计算的磁感应强度B 104T = Gs 1 -5 22.5 8.7682 10.9746 2 -4 22.0 8.5733 1
19、0.9746 3 -3 22.5 8.7682 10.9746 4 -2 23 8.9630 10.9746 5 -1 22 8.5733 10.9746 6 0 21.9 8.5344 10.9746 7 1 22 8.5733 10.9746 8 2 21 8.1836 10.9746 9 3 20 7.7939 10.9746 10 4 19 7.4042 10.9746 11 5 11 4.2867 10.9746 （ 2）霍尔效应法测磁感应强度 B 序号 坐标 r， cm， rad 霍尔效应法 实测值Bav 104T = Gs 计算的磁感应强度 B 104T = Gs 1 “北极”（
20、交流激磁 I=1A） 10.7 11.8847 2 “北极”（直流激磁 I=1A） 8.3 9.2190 3 “赤道”（交流激磁 I=1A） 4.9 5.4425 4 “赤道”（直流激磁 I=1A） 4.7 5.2204 理论解： （ i）“北极”（交流或直流激磁 I=1A） B=10.9746Gs （ ii）“赤道”（交流或直流激磁 I=1A） 2 = m2 = Ni6R Rr 32 cos + sin 赤道上 = 90，故 2 = 02 = 0 Ni6R = 5.4873Gs 2.磁通球自感系数 L 的分析 正弦激磁电流 I=0.5A， f=5kHz 理论值 L = 29 N20R （ H
21、） 实测值 L = ULI = ULmIm（ H） 7.5277 104 6.3662 104 3.观察电压、电流间的相位关系 由示波器观察磁通球的 u(t)和 i(t)波形间的相位关系，可以观察到 u(t)约超前于 i(t)相位 90的实验结果，从而可知，在激磁电源频率为 5kHz 的条件下，磁通球当可近似看作为一个纯电感线圈。 六、实验结果与分析 由实验数据分析易知，球形载流线圈的场分布在球内为均匀场 ，在球外等同于球心处一个磁偶极子的磁场，与理论计算相符。 本实验中所用的磁通球球内的磁场强度实际测得为 8.6 104T， 而理论值为 10.9746 104T， PDE 仿真值为7.661
22、85 104T， 存在着一定的差距 ， 但是 差距并不大 。这可能是由于实际的球形载流线圈绕线并不 均匀，或是测量误差，亦或是理论分析产生的近似。 同时，球形载流线圈在 f=5kHz 的激磁电流的作用下可以看成是一个纯电感，电压相位领先电流相位 90。 实验测得的球形载流线圈的电感值为 6.3662 104H， 而理论分析值为 7.5277 104H， 有差距但差距并不大 。这可能是由于实际的球形载流线圈绕线并不均匀，或是测量误差，亦或是理论分析产生的近似。 七、讨论、心得 通过这次实验，我了解了高斯计的使用方法，并且知道了高斯计所测得的磁感应强度是一个平均值，只有磁感应强度的有效值的 0.9
23、 倍。若是交流电，则还可以用感应电势法测磁感应强度。 八、磁通球磁场的其他 解法 1.利用 Matlab 中的 pdetool 工具仿真 电压 电流 如上图所示， 是磁通球的一个半截面的磁场分布。 中间区域为匀强磁场，磁感应强度为 7.66185 104T。 如上图所示，赤道附近的磁感应强度为 7.77825 104T ， 实测值为4.8 104T， 理论值为 5.33145 104T，三者均有一定的差距。可能是实测值探棒位置没放准确，而且实际的球形载流线圈两端是有开口的，而理论和仿真均未考虑该开口，或是理论值的建模存在一定的误差。 如上图所示是一个完整磁通球截面的磁场分布，带箭头的线为等 A
24、 线。 2.基于矢量磁位的分析 对于求解区域区域，其基于矢量磁位 A 的边值问题如下： 其中 由于球形线圈的对称性，可知 ： 使用分离变量法可以得到： 其中 : Pl1( cos ) 为变量 cos 的 l 阶一次连带勒让德多项式 ; Al、 Bl 为待定系数。 由 可以得到： 将 A 的通解形式带入，即可得到： 再带入边界条件，利用其有界性，可以得到： 将电流同样展开为级数形式： 可以得到系数表达式： 当 ，带入上式，可以得到球内磁场分布： 同理，可得球外磁场分布： Br2 = 20I0 cos3a ar 3， B2 = 0I0 sin3a ar 3综上所述，在磁通球内为匀强磁场，其磁感应强
25、度为 = 20I03a 球外磁场等同于 球心处一个磁偶极子的磁场 ，其磁感应强度为 = 20I0 cos3a ar 3 + 0I0 sin3a ar 3 3.利用 类比的方法计算磁场 任意一电流源在空间中任意一点形成的矢量磁位 其中 n为沿直径方向单位长度的导线数。 将其分解到 x y方向 ,可以得到 令 可以得到 考察上两式的内容它们实际上是均匀开质球分别措 y和 x方向均匀极化后极化电荷在空间产生的电场中 r点的电位这时对应的极化强度矢量 P 的数值为 （ 1）球内的场 关于均匀极化介质球的电场和电位的表达式根容易求得 .事实上，在介质球内是一个均匀电场当 P沿 y方向时 ,球内的电场可由高斯定理和场的叠加原理求得为 取球心为零电位点 ,则可得到 由此可以得到 : 从而由 ,得到 （ 2）球外的场 为了求得球外的磁场，可首先求得对应均匀极化介质球在球外的电位，这时沿 y 方向极化的介质球相当于在球心沿 y 方向上的电偶极子 ， 且 = 4R33 式中 P 为极化强度矢量。故有 可得电偶极子在 r 处的电位： 故最终得
