1、双因素方差分析,1. 非重复试验双因素方差分析,例1 在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得300%定强如下：,氧化锌B,催化剂A,问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影响？,此例中有A，B 二个因素。,因素A 有三种水平：,在每种组合水平 上 做一次试验获得了试验值。,因素B 有四种水平：,问因素A,B分别对试验结果有无显著影响？,因素 A 有r 种水平：,一般情况，设有二个因素A，B,因素 B 有s 种水平：,因素B,因素A,在每一种组合水平,上进行一次试验，结果为,相互独立。,假设总体 服从正态分布 。,令,数学模型,相互独立,令
2、,称为因素A在水平 的效应,检验假设,称为因素B在水平 的效应,令平均数,总离差平方和,总离差平方和,同理可得,令,=当 成立时，,当 不成立时，,当 成立时，,当 不成立时，,当 和 都成立时，,有一个约束条件：,的自由度为：,有一个约束条件：,的自由度为：,有r+s-1个约束条件：,的自由度为：,且 相互独立。,命题1 当H01，H02成立时，,称为均方误差,称为因素A引起的均方离差,称为因素B引起的均方离差,= 给定显著水平，H01 的拒绝域为,H02 的拒绝域为,记,例1 在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得300%定强如下：,氧化锌
3、B,催化剂A,问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影响？,解,可利用方差分析表得,来源,因子A,因子B,误差,总和,离差,自由度,均方离差,值,查表得,所以不同催化剂、氧化锌的不同份量对橡胶定强都有显著影响。,例2 在一个农业试验中，考虑四种不同的种子品种,和三种不同的施肥方法 得到产,量数据表如下。试分析种子和施肥对产量有无显著影响。（=0.05）,农业试验表（单位：kg）,解 本题是双因素不考虑交互效应的方差分析问题，,其中 。计算出方差分析表中相应的数据：,方差分析表,=不同的种子品种对产量有显著影响施肥方法对产量没有显著影响,2.重复试验双因素方差分析,在非重复实验情形，仅考虑
4、二个因素中各个因素的单独作用，即仅有因素A的效应与因素B的效应。一般情形，不仅各个因素在起作用，而且因素之间的组合有时会影响试验结果，这种就是交互效应。,因素 A 有r 种水平：,设有二个因素A，B,因素 B 有s 种水平：,在每一种组合水平,上进行一次试验，结果为,假设 相互独立。,假设总体,令,数学模型,相互独立,令,称为因素A在水平 的效应,称为因素B在水平 的效应,称为因素A,B在组合水平 的交互效应,检验假设,平均数,总离差平方和,因素A的离差平方和,因素B的离差平方和,因素A,B交互作用引起的离差平方和,误差平方和,命题2,令,=当 成立时，,当 不成立时，,当 成立时，,当 不成立时，,当 不成立时，,当 成立时，,当 都成立时，,命题3,当 都成立时，,双因素试验的方差分析表,= 给定显著水平，H01 的拒绝域为,H02 的拒绝域为,H03 的拒绝域为,例3 研究树种与地理位置对松树生长的影响，对四个地区的三种同龄松树的直径进行测量得到数据表如下所示。,表示四个不同地区。对每一种水平组合，,进行了5次测量，对此试验结果进行方差分析。,解 本题是双因素考虑交互效应的方差分析问题，其中,计算出方差分析表中的数据；,而位置效应及交互效应并不显著。,所以在显著水平 下树种效应是高度显著的，,
