1、1,几个典型问题和几种特殊的图,2,问：上图能否不重复原路一笔画出？怎么画？,3,1：哥尼斯堡七桥问题,在十八世纪，欧洲哥尼斯堡城的普雷格尔河上建有七座桥，这七座桥把河的两岸和河中的两个岛连接起来，当时有人提出这样的问题：能否从一个地方出发，通过每座桥一次且仅一次，最终又回到原来的地方?,4,1736年欧拉把这个问题抽象成图论问题：用四个点v1, v2, v3, v4表示两岸及两个岛(称为顶点)，用两点间的连线e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7表示桥(称为边)，问题转化为:从任何一个顶点出发，通过每一条边一次且仅一次，最后回到该顶点，是否存在满足条件的走法？,5,失败！,失败
2、！,6,“七桥问题”就等价于图右中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。右图的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。,设G=是连通无向图： 如果G中存在一条路径，经过G中每一条边且只经过一次，则称该路径为欧拉路径； 如果G中存在一条回路，经过G中每一条边且只经过一次，则称该路径为欧拉回路。走所有的边仅一次，并回到起点，如存在，该图为欧拉图。,7,2：推广为“中国邮递
3、员问题”,中国邮递员问题(Chinese Postman Problem, CPP)是由我国管梅谷教授于1962年首先提出并发表的:问题是从邮局出发，走遍邮区的所有街道至少一次再回到邮局，走什么路由才能使总的路程最短？如整个图构成欧拉回路，CPP 问题也就迎刃而解了;若不能构成欧拉回路，则必然有一些街道要被重复走过才能回到原出发点;显然要在奇次点间加重复边;如何使所加的边长度最少?,走所有的边至少一次，并必须回到起点，为了能回到起点，有时可能会一条路径走两次，但要求总路径最短，为中国邮递员问题CPP。,8,3：哈密顿周游世界问题,英国数学家哈密顿于1856年提出周游世界的问题：若要周游世界上的
4、二十个名城，且城与城之间只有一条路，则能否把每一个城走且只走一次，最后返回到原地.该问题可以抽象为图论问题：用20个顶点分别表示20个城市，两个顶点间的连线表示城市间的路，要求找一条从某点出发，经过各个顶点一次且仅一次，最后能否返回到出发点的路线?,哈密顿图 设G=是连通无向图： 如果G中存在一条路径，经过G中每个结点且只经过一次，则称该路径为哈密顿路径； 如果G中存在一条回路，经过G中每个结点且只经过一次，则称该路径为哈密顿回路。存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。,9,10,4：推广为“旅行售货员问题”,一个售货员从他所在的城镇出发,想去若干城镇售货,要求每个城镇仅经过一次,然后返回原地,问怎
5、样安排他的路线才会使通过的总路程最短?该问题可以抽象图论问题为：在一个赋权完全图中,找出一个有最小权的哈密顿(Hamilton)圈.,11,5：四色猜想,1840年数学家墨比乌斯首先提出：任何平面上的地图,总可以把其上的国家用四种不同的颜色来染色，并且总使得任何两个相邻的国家颜色不同，这个猜想就是有名的四色猜想.这个问题在理论上还没有证明，但在1976年，美国数学家阿培尔和墨肯在三台百万次的电子数字计算机上用了1200小时验证了它正确性.,推广问题: 边着色问题.,定义：如果把一个无向图G的所有结点和边画在平面上，使得任何两边除公共结点外没有其它交叉，则称G为平面图，否则称G为非平面图。 着色
6、问题是图匹配和平面图理论的一个直接应用。,12,6：稳定的婚姻问题,组合数学中有一个著名定理：如果一个村子里每一个女孩都恰好认识k个男孩，并且每一个男孩也恰好认识k个女孩，那么每一个女孩都可以嫁给她认识的一个男孩，并且每一个男孩都可以娶一个他认识的女孩。（k正则二部图，一定存在一个完美匹配）,偶图：若无向图G=的结点集V能够划分为两个子集V1,V2，满足V1V2=，且V1V2=V，使得G中任意一条边的两个端点，一个属于V1，另一个属于V2，则称G为偶图。V1和V2称为互补的结点子集，偶图通常记为G=。平凡图和零图可堪称特殊的偶图。此问题可用与偶图紧密相连的匹配理论解决。,13,7：网络流问题,随着中国经济快速的增长，城市化是未来中国的发展方向。人大通过的“十五”规划，把物流业作为战略重点列入要大力发展的新兴服务产业。如何制定一个运输计划使生产地到销售地的产品输送量最大。这就是一个网络最大流问题。,
