1、非线性方程解的稳定性,由非线性方程解的分类可以看出，非线性方程解的形式 或性质与其定态解是否稳定有重要关系。从实际情况可以看出，解特别是定态解的稳定性有着十分重要的意义。线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与 系统的初始条件及外界扰动的大小无关。非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。,稳定性的意义,稳定与不稳定,所谓描述系统运动方程的解是稳定的，是指系统即使是在这些不可避免的扰动下偏离此解所表征的状态，它仍将自动返回此状态，即系统长期稳定的处于此状态，或至少不会偏离此状态太远。,稳定,渐近稳定,稳定与不稳定,所说的方程的解是不稳的，是指在不可避免的扰动下系统一旦稍许偏离
2、此状态，它将不能返回此状态，而是更加偏离此状态。这表示系统即使某一时刻处于此状态，它也会自动的偏离此状态而达到其他状态，此状态自然是不稳定的。,不稳定,定义,（1）设t=t0时方程 i，j=1,2,3n 的解为 （用X代替Xi），另一受扰动偏离它的解为 如果对于任意小的0,总有一小数（，t0）0存在，使得必有 t0t则称x(t)是在李雅普诺夫意义下稳定，简称李雅普诺夫稳定 或者稳定的。,定义,（2）如果x0(t)是稳定的，且则称此解是渐近稳定的。 （3）不满足李雅谱诺夫稳定的解称为不稳定解。,李雅普诺夫定理,李雅普诺夫对方程解的稳定性研究的贡献突出表现是提出了判断稳定性的两种方法。,李雅普诺夫
3、第一法（间接法）：先把非线性方程在奇点附近线性化，然后利用线性方程判断定态的稳定性。,李雅普诺夫第二法（直接法）：仿照力学平衡中用能量判断平衡态的稳定性一样，不求解方程，利用类似力学中能量的函数直接做出判断。,定义,（1）设V(x)为在相空间坐标原点的临域D中的连续函数，而且V是正定的，即除V(0)=0外，对所有D中别的点V(x)0,我们称这样的函数为李雅普诺夫函数。 （2）V沿方程 的解x(t)的全导数为,标量函数的符号性质,设V(x)为由n维向量x所定义的标量函数，x，且在x=0处，恒有V(x)=0。对所有在域中的任何非零向量x，如果成立：,(1)V(x)0，称V(x)为正定的,(2)V(
4、x)0，称V(x)为半正定(或非负定)的,(3)V(x)0，称V(x)为负定的,(4)V(x)0，称V(x)为半负定(或非正定)的,(5)V(x)0或V(x)0，称V(x)为不定的,例子,下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、负定函数等的例子。 1) 正定函数,2) 负定函数,3) 非负定函数,4) 非正定函数,李雅普诺夫第二法,它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量达到最小值。 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能量,其储存的能量将越来越大。 基于这样的观
5、点,只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。,李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为零,即运动变化的趋势为零)的状态。 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要的能量,即变化所需的能量为零。 通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳定。 下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳定性定理的直观意义。,李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,从直观物理意义的角度,也非常易于理解。 由于物体运动所受到的摩擦
6、力作负功,由能量守恒定律可知,物体的能量将随物体运动减少, 即其导数(变化趋势)为负。,李雅普诺夫第二法三个定理,（1）如果对于微分方程组 存在李雅普诺夫函数V(x)，其全导数 是负半定的（即对于D中所有点 ），则方程的定态解是稳定的。 （2）如果对于方程组存在李雅普诺夫函数V(x)，其全导数 是负定的（即除 外，对于D中所有其他点 ），则方程的定态解是渐进稳定的。 （3）如果对于方程组存在李雅普诺夫函数V(x)，其全导数 也是正半定的（即除远点外， ），则方程的定态解是不稳定的。 虽然对于简单或者特殊的方程组有求李雅普诺夫函数的方法，但至今没有普适的求李雅普诺夫函数的方法。,补充：李雅普诺夫
7、函数第一法,李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究稳定性的一种方法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态（定态、奇点）附近进行线性化, 即在平衡态求其一次Taylor展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值,然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统在零输入情况下的稳定性。,李雅普诺夫第一法,李雅普诺夫第一法的基本结论是: 若线性化系统的状态方程的系统矩阵的所有特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态渐近稳定,而且系统的稳定性与高阶项无关。 若线性化系统的系统矩阵的特征值中至少有一个具有正实部,则原非线性系统的平衡态不稳定,而且该平衡态的稳定性与高阶项无关。 若线性化系统的系统矩阵除有实部为零的特征值外,其余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态的稳定性由高阶项决定。,李雅普诺夫稳定性的判定方法小结,V(x),V(x),结论,正定(0),负定(0),该平衡态渐近稳定,正定(0),半负定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解),该平衡态渐近稳定,正定(0),半负定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解),该平衡态稳定 但非渐近稳定,正定(0),正定(0),该平衡态不稳定,正定(0),半正定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解),该平衡态不稳定,
