1、6.1 刚体的定轴转动 6.2 刚体定轴转动规律 6.3 刚体定轴转动的角动量及其守恒定律,第6章 刚体定轴转动,Rigid Body Rotation about Fixed Axis,6.1 刚体的定轴转动,质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。,刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体。,刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。,一 刚体的运动,固联在刚体上的任
2、一条直线，在各个时刻的位置始终保持彼此平行的运动，叫做刚体的平动。,1.平动,在平动过程中，刚体中所有质点的位移都是相同的。在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都相同。 因此，平动过程中可以选取刚体上任一点的运动来代表刚体的运动。,2.转动,如果刚体上所有各点绕同一直线（转轴）作圆周运动，则称为刚体的转动。,转动时，轴外各点在同一时间间隔内走过的弧长虽然不一样，但角位移全同。,固定转轴：转轴不随时间变化 刚体定轴转动 瞬时转轴：转轴随时间变化 一般转动,进动旋进,3.刚体的一般运动,刚体的一般运动 = 平动 + 转动,例如，一个车轮的滚动，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。,
3、在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心轴的转动（应用刚体转动定律）。,4. 质心运动定理-了解,质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所受一切外力的矢量和。,质心: 质量中心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点.,质心的位置：,质点系：,质量连续分布：,质心运动定理,线,面,体,对于定轴转动的刚体，它的角动量可以看作是所有质点对转轴的角动量的代数和（因为每个质点对转轴的角动量方向相同）。,试比较：,基本思想刚体中的每一质点都遵守牛顿定律,取质量元,1.刚体对定轴的角动量,二、描述刚体动力学状态的物理量,刚体的角动量及角速度都是对固定轴的
4、，因此对刚体只用标量表示这些量即可。,动能,所有质点的动能之和就是该刚体的动能。,积分量dm是对空间坐标进行的，而是时间的函数。,即,比较平动动能,2.刚体转动动能,3.转动惯量,质量连续分布,质量离散分布,转动惯量定义为：,单质点,质量元,第 i 个质点的质量, 到转轴的距离, 到转轴的距离,r要与运动的速度方向垂直！,质点m的运动方向不同，相对于O的转动惯量不同,如图套两个质点的细杆长l ， 杆绕空端转动，分析整个系统绕 o 点的转动惯量。将两质点换位再作计算。,解：,例题1 ：,由,结论：,质量分布影响转动惯量。,I 与刚体的质量分布有关 I 与转轴的位置有关,因为质量分布是对转轴而言的
5、，上例也可看作质心离转轴越远转动惯量越大。,形状和转轴确定后，I与刚体的质量有关,讨论,影响转动惯量的因素,线分布,面分布,体分布,、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。,dm的取值：,求长为L、质量为 m 的均匀细棒对端点轴和中垂轴的转动惯量。,解：,例题2 ：,取如图坐标,取质量元,求质量为m 、半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：,例题3 ：,取质量元,求质量为m 、半径为R 均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：,例题4 ：,这样的一个圆盘可以视为半径不等的有宽
6、度的圆环拼接而成。,任取其中一环,利用圆环的转动惯量结果,圆环：,内半径为 R1 外半径为 R2 质量为 m 的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。,解：,例题5 ：,质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量。,解：,例题6 ：,在球面取一圆环带，,半径,质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量。,解：,例题7 ：,把球体看作无数个同心薄球壳的组合,球壳：,1. 力矩的功,对 i 求和，得：,力矩的功,一 刚体定轴转动的动能定理,6.2 刚体定轴转动规律,考察Fi对刚体的元功dAi,d是刚体转过的角度,2.力矩的功率,当输出功率一定时，力矩与角速度成反比。,比较质点,所以汽
7、车在启动或上坡时，为了获得较大的转矩，必须进低档位。,3.刚体定轴转动的动能定理,当=1 时，=1 所以：,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转 动动能的增量。,动能定理,即：,刚体中各质量元间无相对位移，所以内力矩不做功。,转动动能与角动量的关系,比较,解:,使用动能定理求解,取 m1、m2、I 为系统,外力功,设 m1由静止释放下落y,动能定理,两边对 t 求导数,如图所示, 绳与滑轮间无相对滑动，滑轮半径为r ,转动惯量为I。若m2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度a 及张力 T1 与 T2；若桌面光滑，再求。,例题8 ：,（注意 ）,再由牛顿定律可得张力。,本题要考虑滑轮转动动能
8、的影响。,解得,二、刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律,这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。,可以比照牛顿第二定律理解它的意义。,内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因而不能改变刚体的角速度。,这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例,如图所示, 绳与滑轮间无相对滑动，滑轮半径为r ，转动惯量为I 。若m2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度a 及张力 T1 与 T2；若桌面光滑，再求。,解：,力和力矩分析、,用隔离法,建坐标,对质点用牛顿定律,对刚体用转动定律,限制条件,例题9 ：,解方程，得结果。,一根均质细杆（ m
9、、L ），一端可在竖直平面内自由转动。杆最初静止在水平位置，由此下摆 角，求角加速度和角速度。,解：,例题10 ：,下摆过程重力矩做功,以杆为对象,取质元,当杆处在下摆 角时，该质量元所受重力对 o 点的矩为,重力对整个棒的合力矩为：,代入转动定律，可得：,代入转动动能定理,匀质圆盘的质量为 m，半径为 R，在水平桌面上绕其中心旋转。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为，求圆盘从以角速度 0 旋转到静止需要多少时间？,解：,例题11 ：,摩擦力矩导致减速,盘上任取微圆环,圆环上各质点所受摩擦力矩相同，取0的方向为正，圆环所受力矩为,整个圆盘所受的力矩为,根据转动定律，得,角加速度为常量，所以,当圆盘停
10、止转动时= 0，,得,6.3 刚体的角动量定理 角动量守恒定律,当 M = 0 时，,当作用在刚体（或刚体组系统）上的外力对固定转轴的合力矩为零时，刚体（或刚体组系统）对该轴的角动量守恒。,角动量守恒定律,角动量守恒的三种情况：,回顾质点(系)的角动量定理,对于刚体有：,刚体角动量定理,合外力对刚体的冲量矩等于刚体角动量增量。,回顾质点(系)的角动量定理,例如地球所受的力矩近似为零，地球自转角速度的大小方向均不变。地球赤道平面与黄道平面（公转轨道）的夹角2327保持不变。地球在轨道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季的变化。, I 不变，角速度的大小和方向均不变,9.0级日本大地震：+1.6s 8.8级智利大地震：+1.26s 9.1及印尼大地震：+6.8s,另一类常见现象, I 可变，亦可变，但 I 乘积不变, 刚体组的角动量守恒,一粒子弹水平射入一静止悬杆的下端，穿出后速度损失 3 / 4，求子弹穿出后棒的角速度 。已知轴处自由 。,解：,例题12 ：,以 f 代表杆对子弹的阻力，对子弹有:,子弹对杆的冲量矩为：,因 f = - f 由两式得,另解：,取子弹与杆组成的系统作为研究对象,角动量守恒,得,用系统的方法处理问题，简捷明了。,
