1、第 2 章 点、直线、平面的投影, 2.1 投影法及其分类, 2.2 点的投影, 2.3 直线的投影, 2.4 平面的投影, 2.5 直线与平面及两平面的相对位置, 本章小结,结束放映,课题 ：投影法及其分类,教学目标：投影法中心投影法及投影特性平行投影法及投影特性,教学课时：1课时,教学重点：平行投影法及投影特性教学难点：对各投影法及投影特性的理解,平行投影法,中心投影法,2.1 投影法及其分类,投影法,投射线,物体,投影面,投影,投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法投影法。,投射中心,斜投影法,正投影法,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的
2、大小有影响。度量性较差。,投 影 特 性,物体位置改变，投影大小也改变。,平 行 投 影 法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。,工程图样多数采用正投影法绘制。,投影法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,小结：,1、投影法 2、中心投影法及投影特性 3、平行投影法及投影特性,结束？,继续？,课题 ：点的投影,教学目标：点的三面投影点的投影规律:,教学课时：2课时(课堂练习+2课时）,教学重点：点的三面投影点的投影规律:教学难点：点的投影规律:,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面
3、上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,2.2 点的投影,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,注意： 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,空间点A； a 点A的水平(H)投影; a 点A的正面(V)投影; a 点A的侧面(W)投影。,3.1.1点的三面投影,空间点的位置和直角坐标,空间点的位置，可由直角坐标值来确定，一
4、般采用下列的书写形式：A(x,y,z)。,点到各投影面的距离，为相应的坐标数值X，Y，Z 。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴, aax=,aax=,aay=,a,y,Y,Z,az,a,X,Y,ay,O,a,ax,ay,a,aaOZ轴,=y,=Aa（A到V面的距离）,aaz,=x,=Aa（A到W面的距离）,aay,=z,=Aa （A到H面的距离）,aaz,例1:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的三面投影图。,作投影轴；,量取： Oax=12、Oaz=15、OaY
5、H=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等点 ；,步骤:,过ax、az、aYH、aYW等点分别作所在轴的垂线，交点a、a、a既为所求。,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,小结：,点的三面投影投影面投影轴 点的投影规律:,作业：,1、已知点A（20，10，18），求作它的三面投影图。2、已知点的两面投影，求作第三面投影,课题 ：点的投影,教学目标：1、两点的相对位置2、重影点,教学课时：1课时（课堂练习+1课时）,教学重点：两点的相对位置教学难点：重影点的理解,三、两点的相对位
6、置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,b,a,a,a,b,b,X,Y,Y,Z,o,( ),a c,c,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,a,a,c,被挡住的投影加( ),A、C为H面的重影点,3.1.2点的空间位置,由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。,2. 在投影面上：在H面上（X，Y，0）,X,V,Y,O,W,Z,H,在V面上（X，0，Z）
7、,在W面上（0，Y，Z）,3.1.3点的相对位置,3.1.3两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。, x 坐标大的在左；, y 坐标大的在前；, z 坐标大的在上。,判断方法：,B点在A点的 左、下、前方。,小结：,1、两点的相对位置2、重影点,作业：,1、已知空间点A（7，12，6），B点在A点的左方5，后方2，上方6。求作B点的三面投影。,结束？,继续？,课题 ： 直线的投影,教学目标：1、直线对一个投影面的投影特性2、直线在三个投影面中的投影特性水平线3、投影面平行线 正平线侧平线,教学课时：1课时（课堂练习+2课时）,教学重点：投影面平行线 教学难点：投
8、影面平行线的投影特性,2.3 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos, 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置, 投影面平行线,X,Z,水平线,实
9、长, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。,投影特性：,判断下列直线是什么位置的直线？,侧平线,正平线,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角:,实长,实长,直线与投影面夹角的表示法：,小结：,1、直线对一个投影面的投影特性2、直线在三个投影面中的投影特性3、投影面平行线,作业：,判断下列直线是什么位置的直线？ （图形画在黑板上）,课题 ： 直线的投影,教学目标： 铅垂线1、 投影面垂直线 正垂线侧垂线,教学课时：1课时（课堂练习+1课时）,教学重点：投影
10、面垂直线 教学难点：投影面垂直线的投影特性,2.3 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos, 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置,反映线段实长
11、，且垂直于相应的投影轴。, 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,小结：,铅垂线1、 投影面垂直线 正垂线侧垂线 2、投影面垂直线的投影特性,作业：,画三种垂直线的三面投影,课题 ：一般位置直线,教学目标：1、一般位置直线的投影特性2、直线与点的相对位置,教学课时：1课时（课堂练习+1课时）,教学重点：一般位置直线的投影特性 教学难点：直线与点的相对位置,2.3 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点
12、积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos, 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置, 一般位置直线,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性,二、直线与点的相对位置,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投
13、影上。,点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：,AC:CB=ac:cb= ac : cb= ac : cb,定比定理,判断下列直线是什么位置的直线？,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用定比定理,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一： （应用第三投影）,解法二： （应用定比定理）,a,b,小结：,1、一般位置直线的投影特性2、直线与点的相对位置,作业：,结束？,继续？,课题：平面的投影,教学目标：1、平面的表示法2、平面对一个投影面的投影特性3、平面在三投影面体系中的投影特性4、投影面垂直面的投影特性,教学课时：2课时（课堂练习+2课
14、时）,教学重点：1、平面对一个投影面的投影特性2、平面在三投影面体系中的投影特性 教学难点：投影面垂直面的投影特性,2.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,c,c, 投影面垂直面,为什么？,a,b,c,a,b,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅
15、垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,小结：,1、平面对一个投影面的投影特性2、平面在三投影面体系中的投影特性3、投影面垂直面的投影特性,作业：,课题：平面的投影,教学目标：1、平面对一个投影面的投影特性2、平面在三投影面体系中的投影特性3、投影面平行面的投影特性,教学课时：2课时（课堂练习+2课时）,教学重点：1、平面对一个投影面的投影特性2、平面在三投影面体系中的投影特性 教学难点：投影面平行面的投影特性,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性,
16、平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,小结：,1、平面对一个投影面的投影特性2、平面在三投影面体系中的投影特性3、投影面平行面的投影特性,作业：,平面的投影,教学目标：1、平面对一个投影面的投影特性2、平面在三投影面体系中的投影特性3、一般位置平面的投影特性,教学课时：1课
17、时（课堂练习+1课时）,教学重点：1、平面对一个投影面的投影特性2、平面在三投影面体系中的投影特性 教学难点：一般位置平面的投影特性,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面投影。
18、,思考：此题有几个解？,小结：,1、平面对一个投影面的投影特性2、平面在三投影面体系中的投影特性3、一般位置平面的投影特性,作业：,课题：平面上的直线和点,教学目标： 平面上取任意直线 平面上取点,教学课时：1课时（课堂练习+1课时）,教学重点：平面上取点 教学难点：平面上取任意直线,三、平面上的直线和点,位于平面上的直线应满足的条件：, 平面上取任意直线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,d,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一:,解法二:,有无数解！,例2：在平面ABC内
19、作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,a,b,唯一解！, 平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,首先面上取线,d,d,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一:,解法二:,d,e,例3：在ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。,小结：, 平面上取任意直线 平面上取点,作业：,结束？,继续？,教学目标：,1、两
20、直线的相对位置 2、点与平面的相对位置 3、直线与平面的相对位置 4、两平面的相对位置,教学课时：2课时（课堂练习+2课时）,教学重点：两直线的相对位置直线与平面的相对位置点与平面的相对位置 教学难点：对教学重点的理解,二、两直线的相对位置, 平行,同名投影互相平行。,对于一般位置直线，只 要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。, 相交, 交叉（异面）,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,三、点与平面
21、的相对位置,面上取点的方法,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,四、直线与平面的相对位置, 直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。, 直线与平面相交, 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。, 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性，采用直线上取点的方法求解。,五、两平面的相对位置, 两平面平行, 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。, 两平面相交, 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时
22、可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。,小结：,1、两直线的相对位置 2、点与平面的相对位置 3、直线与平面的相对位置 4、两平面的相对位置, 小 结 , 点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性。,重点掌握：, 点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。,一、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点的投影必分线段的投影成定比定比定理。, 判断方法, 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。, 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。, 本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间分析和想像，以培养空间思维能力。,解题方法：,解题方法：,本章小结,点、直线平面是构成形体的基本几何元素，研究它们的投影是为了正确表达形体和解决空间几何问题,奠定理论基础和提供有力的分析手段。,本 章 小 结,点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。,平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,在平面上确定直线和点的方法。,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。,END,
