1、12009 年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1 （5 分） （2009 湖北）已知 P= | =（1，0）+m（0，1） ，mR，Q= | =（1，1）+n（1， 1） ，nR是两个向量集合，则 PQ=（ ）A （1，1） B（1， 1） C（1，0） D （0，1）【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先根据向量的线性运算化简集合 P，Q，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素，通过列方程组解得【解答】解：由已知可求得 P=（1，m ），Q=（1n，1+n），再由交集的含义，有 ，所以选 A【点评】
2、本题主要考查交集及其运算，属于基础题2 （5 分） （2009 湖北）设 a 为非零实数，函数 y= （xR，且 x ）的反函数是（ ）Ay= （ xR，且 x ） By= （x R，且 x ）Cy= （xR，且 x1） Dy= （xR，且 x1）【考点】反函数菁优网版权所有【专题】计算题【分析】从条件中函数 y= （x R，且 x ）中反解出 x，再将 x，y 互换即得原函数的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可【解答】解：由函数 y= （x R，且 x ）得：x= ，函数 y= （xR，且 x ）的反函数是：y= （xR ，且 x1） 故选 D2【点评】求反函数，一般应分以下步
3、骤：（1）由已知解析式 y=f（x）反求出 x=（y） ；（2）交换 x=（y）中 x、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域） 3 （5 分） （2009 湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n，则复数（m+ni）（nmi ）为实数的概率为（ ）A B C D【考点】复数的基本概念；古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为 a+bi（a，bR ）的形式，虚部为 0，求出m、n 的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可【解答】解：因为（m+ni） （nmi）=2mn+（n
4、 2m2）i 为实数所以 n2=m2 故 m=n 则可以取1、2、3、4、5、6，共 6 种可能，所以 ，故选 C【点评】本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题4 （5 分） （2009 湖北）函数 y=cos（2x+ ）2 的图象 F 按向量 平移到 F，F 的函数解析式为 y=f（x） ，当 y=f（x）为奇函数时，向量 a 可以等于（ ）A （ ，2） B （ ，2） C （ ， 2） D （ ，2）【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；余弦函数的奇偶性 菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数 y=c
5、os（2x+ ）2 到 y=sin2x 的路线，进而确定向量 【解答】解：y=cos（2x+ ）2将函数 y=cos（2x+ ）2 向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位可得到 y=cos（2x+ ）=sin2x =（ ，2）故选 B【点评】本题是基础题，考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意向量的平移的方向35 （5 分） （2009 湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ）A18 B24 C30 D36【考点】排列、组合的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由题意知本题
6、可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C42，顺序有 A33 种，而甲乙被分在同一个班的有 A33 种，两个相减得到结果【解答】解：每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C42，元素还有一个排列，有 A33 种，而甲乙被分在同一个班的有 A33 种，满足条件的种数是 C42A33A33=30故选 C【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题6 （5 分） （2009 湖北）设 +a2nx2n，则 （a
7、0+a2+a4+a2n） 2（a 1+a3+a5+a2n1） 2=（ ）A1 B0 C1 D【考点】二项式定理的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题因为求极限的数为二项式展开式的奇数项的系数和的平方与偶数项的系数和的平方的差，故可以把 x 赋值为 1 代入二项展开式中，求出 A=a0+a1+a2+a3+a2n1+a2n=，再令 x=1，可得到 B=a0a1+a2a3+a4a5+a2n1+a2n= ，而求极限的数由平方差公式可以知道就是式子 A 与 B 的乘积，代入后由平方差公式即可化简为求得答案【解答】解：令 x=1 和 x=1 分别代入二项式+a2nx2n 中得a0+a1+a2+a3
8、+a2n1+a2n= ，a 0a1+a2a3+a4a5+a2n1+a2n= 由平方差公式4得（a 0+a2+a4+a2n） 2（a 1+a3+a5+a2n1） 2=（a 0+a1+a2+a3+a2n1+a2n）（a 0a1+a2a3+a4a5+a2n1+a2n） = = 所以 （a 0+a2+a4+a2n） 2（a 1+a3+a5+a2n1） 2= =0故选择 B【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，主要是二项式系数和差的考查，并兼顾考查了学生的计算能力与划归能力以及求极限问题7 （5 分） （2009 湖北）已知双曲线 的准线过椭圆 的焦点，则直线y=kx+2 与椭圆至多有一个交点的充
9、要条件是（ ）AK ， BK ， ，+ CK ， DK ， ，+ 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先求得准线方程，可推知 a 和 b 的关系，进而根据 c2=a2b2 求得 b，椭圆的方程可得，与直线 y=kx+2 联立消去 y，根据判别式小于等于 0 求得 k 的范围【解答】解：根据题意，双曲线 中，c 2=2+2=4，则 c=2，易得准线方程是 x= =1所以 c2=a2b2=4b2=1 即 b2=3所以方程是联立 y=kx+2 可得（3+4k 2）x 2+16kx+4=0由0 解得 k ， 故选 A【点评】本题主要考查了直
10、线与圆锥曲线的综合问题解题的关键是先根据椭圆的性质求出椭圆的方程8 （5 分） （2009 湖北）在“ 家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗5衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）A2000 元 B2200 元 C2400 元 D2800 元【考点】简单线性规划的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；数形结合【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值【解答】解
11、：设需使用甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆，运输费用 z 元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数 z=400x+300y 的最小值解得当 时，z min=2200故选 B【点评】在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解9 （5 分） （2009 湖北）设球的半径为时间 t 的函数 R（t ） 若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径A成正比，比例系数为 C B成正比，比例系数为 2CC成反比，比例系数为 C D成反比，比例系数为 2C【考点】球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】计算题；应用题；压轴题【分析】求出球的体积的表达式，然后球的导数，推
12、出 ，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系【解答】解：由题意可知球的体积为 ，则 c=V（t）=4 R2（t ）R（t） ，由此可得 ，而球的表面积为 S（t ）=4R 2（t） ，所以 V 表 =S（ t）=4R 2（t）=8R（t ）R（t ） ，即 V 表 =8R（t）R （t）=24R （t）R （t ）=故选 D6【点评】本题考球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题10 （5 分） （2009 湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地
13、，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A289 B1024 C1225 D1378【考点】数列的应用；归纳推理菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；新定义【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项 ，同理可得正方形数构成的数列通项 bn=n2，则由 bn=n2（n N+）可排除 D，又由 ，与 无正整数解，故选 C【点评】考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题二、填空题（共 5 小题，每小题 5
14、 分，满分 25 分）11 （5 分） （2009 湖北）已知关于 x 的不等式 的解集 ，则实数 a= 2 【考点】其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先利用解分式不等式的方法转化原不等式，再结合其解集，得到 x= 是方程ax1=0 的一个根，最后利用方程的思想求解即得7【解答】解：不等式 ，（ ax1） （x+1）0，又 关于 x 的不等式 的解集 ，x= 是方程 ax1=0 的一个根，a（ ）1=0，a=2故答案为：2【点评】本小题主要考查分式不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归与转化思想属于基础题12 （5 分） （2009 湖北）如图是样本
15、容量为 200 的频率分布直方图根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在6， 10内的频数为 64 ，数据落在（2，10）内的概率约为 0.4 【考点】频率分布直方图菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】从直方图得出数落在6，10 内的频率和数据落在（2，10）内的频率后，再由频率= ，计算频数即得【解答】解：观察直方图易得数落在6，10 内的频率=0.084；数据落在（2，10）内的频率=（0.02+0.08）4；样本数落在6，10内的频数为 2000.084=64，频率为 0.14=0.4故答案为 64 0.4【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力利用统计图
16、获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频率、频数的关系：频率= 813 （5 分） （2009 湖北）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域为了转播 2008 年北京奥运会，我国发射了“中星九号” 广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为 36000km已知地球半径约为6400km，则“中星九号 ”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 12800arccos km （结果中保留反余弦的符号） 【考点】球面距离及相关计算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先求出球的半径，然后求出AOB 的
17、余弦值，求出角，再求其外接球面上两点A，B 间的球面距离【解答】解：如图所示，可得 AO=42400，则在 RtABO 中可得：cosAOB= ，所以l=cosR=2AOBR=12800arccos 球面距离的最大值约为：12800arccos 故答案为：12800arccos 【点评】本题考查球面距离的计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题14 （5 分） （2009 湖北）已知函数 f（x）=f（ ）cosx+sinx，则 f（ ）的值为 1 【考点】导数的运算；函数的值菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题9【分析】利用求导法则：（sinx）=cosx 及（cosx）=sinx，求
18、出 f（x） ，然后把 x 等于代入到 f（x ）中，利用特殊角的三角函数值即可求出 f（ ）的值，把 f（ ）的值代入到 f（x）后，把 x= 代入到 f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出 f（ ）的值【解答】解：因为 f（x）=f （ ）sinx+cosx所以 f（ ）=f（ ）sin +cos解得 f（ ）= 1故 f（ ）=f （ ）cos +sin = （ 1）+ =1故答案为 1【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题15 （5 分） （2009 湖北）已知数列a n满足：a 1=m（m 为正整数）
19、 ，a n+1=若 a6=1，则 m 所有可能的取值为 4，5，32 【考点】数列递推式菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由题设知 a5=2，a 4=4，有 两种情况：a 3=1，a 2=2，a 1=4，即m=4；a3=8，a 2=16，有两种情况：a 1=5，即 m=5；a 1=32，即 m=32【解答】解：数列a n满足：a 1=m（m 为正整数） ，an+1= ，a6=1，a5=2， a4=4，有两种情况：a3=1，a 2=2，a 1=4，即 m=4；a3=8，a 2=16，有两种情况：a1=5，即 m=5；a1=32，即 m=32故答案为：4，5，32【点评】本题考查数列的性质和应用
20、，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）1016 （10 分） （2009 湖北）一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为 x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y，记随机变量 =x+y，求 的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】计算题【分析】随机变量 =x+y，依题意 的可能取值是 5，6，7，8，9，10，11，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时
21、发生的概率做出概率的值，写出分布列和期望【解答】解：随机变量 =x+y，依题意 的可能取值是 5，6，7，8，9，10，11得到 P（=5）= ； P（=6）=P（=7）= ； P（=8）=P（=9）= ； P（=10）=P（=11）= 的分布列为5 6 7 8 9 10 11PE=5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 =8【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个综合题目17 （12 分） （2009 湖北）已知向量 =（cos ，sin ） ， =（cos ，sin） ， =（ 1，0） （1）求向量 的长度
22、的最大值；（2）设 = ，且 （ ） ，求 cos 的值【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有【专题】计算题【分析】 （1）利用向量的运算法则求出 ，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值【解答】解：（1） =（cos 1，sin ） ，则| |2=（cos 1） 2+sin2=2（1cos） 1cos1，0| |24，即 0| |211当 cos=1 时，有|b+c|=2，所以向量 的长度的最大值为 2
23、（2）由（1）可得 =（cos 1，sin ） ，（ ）=coscos +sinsincos=cos（） cos （ ） ， （ ）=0，即 cos（ ）=cos 由 = ，得 cos（ ）=cos ，即 =2k （kZ） ，=2k+ 或 =2k，kZ ，于是 cos=0 或 cos=1【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式18 （12 分） （2009 湖北）如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形， SD平面ABCD，SD=2a，AD= a，点 E 是 SD 上的点，且 DE=a（02）（）求证：
24、对任意的 （ 0，2） ，都有 ACBE（）设二面角 CAED 的大小为 ，直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ，若tantan=1，求 的值【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】解法一：（几何法） （）因为 SD平面 ABCD，BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影，由三垂线定理只要证 ACBD 即可（）先找出 和 ，因为由 SD平面 ABCD 知， DBE=，二面角 CAED 的平面角可由三垂线定理法作出再用 表示出 tan 和 tan，代入 tantan=1，解方程即可12解法二：（向
25、量法）因为 DADCDS 两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解（）写出向量 和 的坐标，只要数量积为 0 即可（）分别求出平面 ACE 的法向量、平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量，由夹角公式求出 cos 和 sin，再由 tantan=1 求解即可【解答】解：（）证法 1：如图 1，连接 BE、BD，由地面 ABCD 是正方形可得ACBDSD平面 ABCD， BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影， ACBE（）解法 1：如图 1，由 SD平面 ABCD 知，DBE= ，SD平面 ABCD，CD 平面 ABCD，SDCD又底面 ABCD 是正方形， CDAD，而 SD
26、AD=D，CD 平面 SAD连接 AE、CE，过点 D 在平面 SAD 内作 DFAE 于 F，连接 CF，则 CFAE，故CFD 是二面角 CAED 的平面角，即 CFD=在 RtBDE 中， BD=2a，DE=atan=在 RtADE 中， ，DE=a AE=a从而 DF=在 RtCDF 中，tan= 由 tantan=1，得 即 =2，所以 2=2由 02，解得 ，即为所求（）证法 2：以 D 为原点，以 DADC DS 的方向分别作为 x，y，z 轴的正方向建立如图 2 所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0） ，A（ ，0，0） ，B（ a， a，0） ，C（0， a，0 ） ，E（
27、0，0，a） ， ，13 ，即 ACBE（）解法 2：由（I）得 ， ，设平面 ACE 的法向量为 n=（x，y，z） ，则由 ，得 即 取 ，得 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为与 ， 0 ，0tantan=1+= sin=cos 2=2由 02，解得 ，即为所求【点评】本题考查空间线线垂直的证明、空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考查逻辑推理能力和运算能力19 （13 分） （2009 湖北）已知数列a n的前 n 项和 Sn=an（ ） n1+2（n N*） （1）令 bn=2nan，求证：数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式（2）令 cn= ，试比较
28、 Tn 与 的大小，并予以证明【考点】数列递推式；数列的求和；等差数列的性质；数学归纳法菁优网版权所有【分析】 （1）由题意知 S1=a11+2=a1， ，所以 2nan=2n1an1+1，b n=bn1+1，再由b1=2a1=1，知数列 bn 是首项和公差均为 1 的等差数列于是 bn=1+（n 1）1=n=2 nan，所以14（2） ， ，利用错位相减求和法可知，于是确定 Tn 与 的大小关系等价于比较 2n 与 2n+1 的大小猜想当 n=1，2 时，2 n2n+1，当 n3 时，2 n2n+1然后用数学归纳法证明【解答】解：（1）在 中，令 n=1，可得S1=a11+2=a1，即当 n
29、2 时，所以所以 ，即 2nan=2n1an1+1因为 bn=2nan，所以 bn=bn1+1，即当 n2 时，b nbn1=1又 b1=2a1=1，所以数列 bn 是首项和公差均为 1 的等差数列于是 bn=1+（n1） 1=n=2nan，所以（2）由 1）得所以 由 得所以于是确定 Tn 与 的大小关系等价于比较 2n 与 2n+1 的大小猜想当 n=1，2 时，2 n2n+1，当 n3 时，2 n2n+1下面用数学归纳法证明：当 n=3 时，显然成立假设当 n=k（k3）时，2 k2k+1 成立则当 n=k+1 时，2 k+1=22k2（2k+1）=4k+2=2（k+1 ）+1+（2k1
30、）2（k+1）+1所以当 n=k+1 时，猜想也成立15于是，当 n3， nN*时，2 n2n+1 成立综上所述，当 n=1，2 时， ，当 n3 时，【点评】本题考查当数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，解题时要注意数学归纳法的解题过程20 （14 分） （2009 湖北）过抛物线 y2=2px（p0）的对称轴上一点 A（a，0） （a 0）的直线与抛物线相交于 M、N 两点，自 M、N 向直线 l：x=a 作垂线，垂足分别为 M1、N 1（）当 a= 时，求证：AM 1AN1；（）记AMM 1、AM 1N1、 ANN1 的面积分别为 S1、S 2、S 3，是否存在
31、 ，使得对任意的 a0，都有 S22=S1S3 成立？若存在，求出 的值，否则说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想【分析】 （） 由题意，可设设直线 MN 的方程为 x=my+a，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则有 M1（a，y 1） ，N 1（a ，y 2） 将 x=my+a 代入 y2=2px（p0）消去 x 可得y22mpy2ap=0 利用根与系数的关系及点 A（a，0）得出 即可证明出结论；（）假设存在 =4，使得对任意的 a0，都有 S22=4S1S3 成立，分别表示出三个三角形的面积，代入验证即
32、可证明出结论【解答】解：依题意，可设直线 MN 的方程为 x=my+a，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则有M1（a，y 1） ，N 1（a ，y 2） 将 x=my+a 代入 y2=2px（p0）消去 x 可得 y22mpy2ap=0 从而有 y1+y2=2mp，y 1y2=2ap 于是 x1+x2=m（y 1+y2）+2a=2（m 2p+a） 又由 y12=2px1，y 22=2px2 可得 x1x2= = =a2 （）证：如图，当 a= 时，点 A（ ，0）即为抛物线的焦点，l 为其准线，其方程为 x=此时 M1（ ，y 1） ，N 1（ ，y 2） 并由 可得 y1y2
33、=p2 ，16 =0，故有 AM1AN1；（）存在 =4，使得对任意的 a0，都有 S22=4S1S3 成立，证明如下：证：记直线 l 与 x 轴的交点为 A1，则|OA|=|OA 1|=a于是有 S1= |MM1|A1M1|= （x 1+a）|y1|，S 2= |M1N1|AA1|=a|y1y2|，S 3= |NN1|A1N1|= （x 2+a）|y 2|，S22=4S1S3（ a|y1y2|） ） 2=（ （x 1+a）|y 1|） 2 （ （x 2+a）|y 2|） 2 a2（y 1+y2） 24y1y2=x1x2+a（x 1+x2）+a 2|y1y2|将、代入上式化简可得a2（4m 2
34、p2+8ap）=4a 2p（m 2p+2a）上式恒成立，即对任意的 a0，S 22=4S1S3 成立【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查了根与系数的关系，三角形的面积公式，抛物线的性质等，解题的关键是认真审题准确转化题设中的关系，本题综合性强，符号计算运算量大，解题时要认真严谨避免马虎出错21 （14 分） （2009 湖北）在 R 上定义运算：（b、cR 是常数） ，已知 f1（x）=x 22c，f 2（x）=x2b， f（x） =f1（x）f 2（x） 如果函数 f（x）在 x=1 处有极值 ，试确定 b、c 的值；求曲线 y=f（x）上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点；记 g（
35、x）=|f（x）| （1x1）的最大值为 M，若 Mk 对任意的 b、c 恒成立，试求 k 的取值范围 （参考公式：x 33bx2+4b3=（x+b） （x2b） 2）【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由题意得到 f（x）的解析式，求出 f（x）因为在 x=1 处有极值得到 f（1）= ，f（ 1）=0 求出 b、c 即可；（2）因为切线的斜率为 c，则解出 f（t）=c 时 t 的值得到切点坐标，写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数；（3）根据题17意得到 g（x）的解析式，利用已知求出 g（x）的最大
36、值 M，利用 Mk 列出不等式求出 k的取值范围即可【解答】解：依题意 ，解得 或 若 ， ，（ x）=x 2+2x1=（x1） 20f（x）在 R 上单调递减，在 x=1 处无极值；若 ， ，f（x）=x 22x+3=（x1） （x+3） ，直接讨论知，f（x）在 x=1 处有极大值，所以 为所求解 f（t）=c 得 t=0 或 t=2b，切点分别为（0，bc ） 、 ，相应的切线为 y=cx+bc 或 解得 x=0 或 x=3b；解即 x33bx2+4b3=0得 x=b 或 x=2b综合可知，b=0 时，斜率为 c 的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0） ，b0 时，斜率为 c 的切
37、线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc） 、 （3b，4bc）和、 g（x）=| （xb） 2+b2+c|若 |b|1，则 f（x）在 1，1是单调函数，M=max|f（1 ）| ，|f（1）|=|1+2b+c|，| 12b+c|，因为 f（1）与 f（ 1）之差的绝对值 |f（1）f（1）|=|4b|4，所以 M2若|b|1，f（x）在 x=b1，1取极值，18则 M=max|f（1）| ，|f（1） |，|f（b）|，f（b）f（1）=（b1） 2若1 b0，f （ 1） f（1）f （b；若 0b1，f （1）f（1） f（b） ，M=max|f（1 ）| ，|f（b）| = 当 b=0， 时， 在1，1上的最大值 所以，k 的取值范围是 【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用导数求曲线上某一点的切线方程的能力
