1、1.10 闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质, 这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值, 起着十分重要的作用. 下面我们就不加证明地给出这些结论, 好在这些结论在几何意义是比较明显的.,一、最大值和最小值定理,定义: 对于定义在区间I上的函数f(x), 如果有x0I, 使得对一切的xI, 都有 f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0) ) 则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大(小)值. 此时称x0为最大(小)值点.,又例如, y=sgnx在(-, +)上有: ymax=1, ymin=-1, 在(0, +)上有: ymax=ymin=1.,定理
2、1(最大值和最小值定理): 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,即:若函数f(x)Ca, b, 则1,2a, b, 使得xa, b有: f(x) f(1), f(x) f(2),证明略.,注意: 1. 若区间是开区间, 结论不一定成立;2. 若区间内有间断点, 结论不一定成立.,例如, y=1+sinx在0, 2上有: ymax=2, ymin=0.,定理2(有界性定理): 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证: 设函数f(x)Ca, b, 则m和M, 使得xa, b有: m f(x)M, 取K=max| m |,| M |, 则有| f(x)|K, 所以, 函数f(x)在a,
3、 b上有界.,二、介值定理,定义: 如果有x0使得 f (x0)=0, 则称x0为函数f (x)的零点.,定理3(零点定理): 设函数f(x)Ca, b, 且f(a)与f(b)异号(即 f(a)f(b)0), 那末在开区间(a, b)内至少有函数f(x)的一个零点, 即至少存在一点(a, b), 使f()=0. 即方程 f(x)=0在(a, b)内至少存在一个实根.,几何解释:,连续曲线弧y= f (x)的两个端点位于x轴的不同侧, 则曲线弧与x轴至少有一个交点.,定理4(介值定理): 设函数 f(x)Ca, b, 且在区间a, b的端点取不同的函数值 f(a) = A 及 f(b) = B
4、那末, 对介于A与B之间的任意一个数C, 至少有一点(a, b), 使得 f() = C .,证: 设(x)=f (x)C, 由于f(x)Ca, b, 则(x)Ca,b, 且 (a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)=(AC)(BC)0,则由零点定理知:至少存在一点(a, b), 使()=0, 即 f ()C=0, 故至少存在一点(a, b), 使f()=C .,几何解释:,例1: 证明方程 x34x2+1=0在开区间(0, 1)内至少有一实根.,证: 令f(x)= x34x2+1, 则f(x)在闭区间0, 1上连续, 又 f(0)=10, f(1)= -20, 由零点定理: (0, 1),
5、 使 f()=0, 即 342+1=0, 所以, 方程x34x2+1=0在开区间(0, 1)内至少有一实根.,推论: 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,例2: 设函数 f(x)Ca, b, 且f(a)b, 证明: (a, b), 使得f()= .,证: 令F(x)= f(x)x, 则F(x)Ca, b, 而 F(a)=f(a)a0,则由零点定理: (a, b), 使F()=f()=0, 即f()= .,辅助函数的作法,(1)将结论中的(或x0或c)改写成x.,(2) 移项使右边为0, 令左边的式子为F(x),则F(x)即为所求辅助函数.,区间一般在题设中或要证明的
6、结论中已经给出,余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续, 及比较两端点处函数值的符号, 或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间.,注: 寻求方程f(x)=0的根寻求函数f(x)的零点;,注: 有关闭区间上连续函数命题的证明方法;,10直接法: 先利用最值定理, 再利用介值定理.,20间接法(辅助函数法): 先作辅助函数, 再利用零点定理.,三、小结,四个定理,有界性定理; 最值定理; 介值定理; 零点定理.,注意: 1. 闭区间; 2. 连续函数 这两点不能同时满足时, 上述定理不一定成立.,解题思路,1.直接法: 先利用最值定理, 再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,思考题,下述命题是否正确？,如果函数f(x)在a, b上有定义, 在(a, b)内连续, 且f(a)f(b)0, 那么f(x)在(a, b)内必有零点.,思考题解答,不正确.,例如, 函数,在0, 1上有定义, 在(0, 1)内连续, 且f(0)f(1)=-2e0, 但f(x)在(0, 1)内无零点.,
