1、数学物理方法,学时：48， 学分：3.0 教材：自编 教师：李丽 Email： Tel: 62471434; 13594003026,数学物理方法,复变函数论,数学物理方程,特殊函数,计算机辅助（自学）,复变函数论部分,复变函数论主要内容,第一章、复数与复变函数 第二章、解析函数 第三章、复变函数的积分 第四章、复数级数 第五章、留数 第六章、Fourier、Laplace变换,教学参考书,习题参考书,网络资源,图书馆电子资源http:/202.202.36.190/source/serv3.htm MIT开放课程http:/ 数学物理方法-电子科技大学精品课程http:/202.115.21
2、.138/wlxt/ncourse/Mathematic/web/Download.aspComplex Analysis Project for Undergraduate Students（推荐）http:/math.fullerton.edu/mathews/complex.html 数学世界http:/ 重点和要求 复数及其运算 复变函数，区域，连续，极限 作业 习题一、11、14 、19、22（6，10）26（1、4）、30,1-1 复数基本运算,一、复数的表示法,注意：复数的虚部是一个实数,一个复数的共扼通常记做,（物理学中常用z*表示）,2.复数的几何表示,实数组(x,y)与平面
3、直角坐标系上的点 一一对应.因此,复数z也与平面直角坐标系上的点一一对应,这样的平面叫做复平面。两个坐标轴分别叫做实轴和虚轴。 （具体图示参看课本）,主值argz的范围(z=x+iy)：,argz=,其中,补充内容,幅角应注意的问题,3.复数的三角函数与指数函数表示,二、复数运算规则,1. 复数的基本运算 如果复数z的实部和虚部都等于零, 则复数等于零，记作 z=0。,图示具体见教案,2. 复数的运算法则,共扼复数的性质：,复数的乘法与除法的代数形式与指数形式的计算总结,可见复数的乘除法用指数形式方便,3.复数的乘幂与方根(重点),具体见下页,用指数形式求解,如果在复平面上画出这n个不同方根,
4、它们就是以原点为中心,以r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点 .,Note!,k=0,1,2.n-1,For example!,解：1、先把代数式化为指数式 因为-1的辐角为，而模为8。2、根据公式可得,4、方根的图示,三、例题1、2、3、4见课本,四、复数的无穷远点,在实变函数微积分学中的,只是一个符号而已。,而复球面上的无穷远点 却是一个完全确定的点， 并且只有一个无穷远点。,补充一些内容,具体见课本,无穷远点：复平面上模为无穷大的点 涉及无穷大的复数运算： 确定值（条件是？）不确定值,复数的无穷远点,本节总结与注意,1、掌握书上的例题，并且会举一反三。 例题1要根据复数的模的基本性
5、质证明。 例题2要记住结论。 例题3此类题目用z=x+iy代入方程化简即可。,3、,2、复数的幂和根式的求法（见例题4）,重点内容,首先要求把复数的代数形式化为极坐标形式，找出模与幅角的主值。,定义：对于复平面的点集E，它的每个点z都有一个或多个点通过确定的关系与之对应。则称为z的复变函数，记作： =f(z), zEE叫做定义域。 复变函数可以看做两个实二元函数有序组合 =f(z)=u(x,y)+iv(x,y), 复变函数有单值函数和多值函数之分 复变函数研究的重点是解析函数,一、复变函数的定义,1.2 复变函数,画图说明,邻域：|z-z0|，记做(z0) 去心邻域 0|z-z0|设G为复平面
6、上的点集， z0为G内任意点 内点：存在一个(z0)属于G。 开集：G上的点都是内点 区域：1）开集，2）连通 （举例子在教案） 区域的边界点：非内点 区域的边界：所有边界点的集合（线条，点） 闭区域：区域边界 区域有界：任意 |z|M，否则称为无界,以某点z0为圆心,以任意小的正实数为半径的圆的内部，称为z0 的邻域。,二、复平面上的区域,点z的集合不包含点z0,叫做点z0的去心邻域.,具体见课本与教案,要画图说明,简单(闭)曲线：与自身不相交的(闭合)曲线 单连通区域：任意简单闭曲线内的点都属于该区域 复连通区域：非单连通的连通区域 区别：单连通区域内的任意一条简单闭曲线经过连续变形可以缩
7、为一点。直观上讲复连通区域就是区域内有孔的连通区域,三、单与复连通区域,“有洞”,“无洞”,画图说明,单连通区域可以经过变形而缩成一点，而多连通区域就不具有这个特征。,复连通区域单连通化：作一些适当的割线能将复通区域的不相连接的边界线连接起来从而降为单连通区域.（注意：连接边界的分开方式不唯一） 边界线的正方向：为了以后学习环路积分方便，我们按照通常的规定：（当人）沿边界线环行时，所包围的区域始终在人的左手边，则前进方向为边界线的正方向. 对于有界的单连通区域，如图下图 (a) 的逆时针方向所示即为正方向. 而多连通区域单连通化后，外围逆时针为正方向，内部顺时针为正方向，如图 (b),(c)所
8、示.,a,b,c,复连通区域单连通化（补充）,说明：当判断区域是什么样的区域时，通常按照下列顺序判断：（1）有、无界，(2)单、复连通，（3）开、闭区域. 判断|z-1|+|z+2|5 代表什么样的区域 【解】 此不等式所代表的区域是焦点在z=1和z=-2，长轴为5的椭圆内部，为有界单连通闭区域.,区域的判断方法及实例分析(补充),(1)、定义：设复变函数 = f (z),在z0的某个去心邻域内有定义，若存在一个确定的数A，对于任意0，必存在0使得在0|z-z0|时，总有|f (z)-A|，那么称A是f(z)的极限。记作：,四、复变函数的极限,注意：1）f(z)在z0可以没有定义。2）z趋近于
9、z0的路径是任意的,极限都是A.3）z沿不同路径趋近于z0得到的极限不同, 表示f (z0)没有极限,解释一下作业题,(2)、复变函数极限的基本定理,复变函数与二元实变函数极限的区别在于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中包含两个二元实变函数u(x,y)和v(x.y).因此有下面的定理:,求复变函数的极限就是求两个二元实变函数的极限,因此具有相同的几何意义. 因此可以证明,在存在极限limz-z0f(z)=A, limz-z0g(z)=B的条件下, 下列极限运算法则对复变函数的极限运算也成立:,具体证明见课本,五、复变函数的连续,定义：如果函数f (z)在点z0有极限有定义且相等，则称函数在z0处连续。 连续的等价条件： f (z)实部和虚部分别在z0处连续,总结复变函数的连续,即u(x,y)和v(x,y)在(x0, y0)处连续。,
