1、第五章 线性代数方程组的数值解法,5.2 矩阵三角分解法,华长生制作,2,一、基本的三角分解法(Doolittle法),且对增广矩阵进行若干次初等行变换（把某行的倍数下边某行），可使系数矩阵化为上三角矩阵，即,其中U是上三角矩阵。而由线性代数理论可知，对一个矩阵进行一次初等行变换，相当于给这个矩阵左乘一个相应的初等矩阵，所以上述初等行变换相当于在,华长生制作,3,增广矩阵左边乘了一系列的初等矩阵其中 均为单位下三角阵（对 角元为1的下三角阵)。 记 ，则有A=LU 其中L是单位下三角阵，U是上三角阵。 定义 设A为n阶矩阵（n1).称A=LU为矩阵A的 三角分解，其中L是下三角阵，U是上三角阵
2、。,华长生制作,4,定义 如果L是单位下三角阵，U是上三角 阵，则称三角分解A=LU为Doolittle分解； 如果L是下三角阵，U是单位上三角阵，则 称A=LU为Crout分解。 定理 如果n阶（n1)矩阵A的n个顺序主 子式不为零，则A有唯一Doolittle分解和唯 一Crout分解。,华长生制作,5,直接三角分解法(Doolittle法),华长生制作,6,上式可记为,华长生制作,7,同样,由,华长生制作,8,综合以上分析,有,因此可以推导出,U的第一行,L的第一列,-(1),-(2),华长生制作,9,U的第r行,L的第r列,-(3),-(4),华长生制作,10,对于线性方程组,系数矩阵
3、非奇异,经过Doolittle分解后,线性方程组可化为下面两个三角形方程组,华长生制作,11,华长生制作,12,上述解线性方程组的方法称为 直接三角分解法的 Doolittle法,例1. 用Doolittle法解方程组,解:,由Doolittle分解,华长生制作,13,华长生制作,14,Doolittle法在计算机上实现是比较容易的,但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间:,华长生制作,15,因此可按下列方法存储数据:,华长生制作,16,直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示:,存储单元(位置),华长生制作,17,紧凑格式的 Doolittle法,华长生制作,18,例2. 用紧
4、凑格式的Doolittle法解方程组(例1),解:,华长生制作,19,华长生制作,20,所以,华长生制作,21,列主元Doolittle分解,在Doolittle法(包括紧凑格式)中,会反复用到公式,仍有可能为小主元做除数,为此,我们也要考虑在算法中加入选取列主元,我们下面介绍紧凑格式的Doolittle列主元法,华长生制作,22,符号因换行只代 表存储位置,与原 数值可能有差异,依此类推,华长生制作,23,列主元Doolittle法步骤:,第一步:,华长生制作,24,例3.,用列主元Doolittle法解线性方程组,解:,华长生制作,25,所以原 方程组 的解为,华长生制作,26,平方根法,
5、一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解),记为,-(1),华长生制作,27,华长生制作,28,因此,华长生制作,29,Diagonal:对角,为非奇异下三角阵,为非奇异上三角阵,-(2),-(3),华长生制作,30,因此,所以,综合以上分析,则有,-(4),-(5),华长生制作,31,定理1. (Cholesky分解),且该分解式唯一,这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解,华长生制作,32,-(6),-(7),-(8),华长生制作,33,华长生制作,34,二、对称正定线性方程组的解法,线性方程组,-(10),-(11),则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组,-(1
6、2),-(13),华长生制作,35,-(14),-(15),对称正定方程 组的平方根法,华长生制作,36,三、平方根法的数值稳定性,用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元,由,可知,因此,平方根法是数值稳定的,事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解,而不必加入选主元步骤,华长生制作,37,例 用平方根法求解,解 不难验证系数矩阵是对称正定的，于是按前面的方法计算可得,由Ly=（6，-0.5，1.25）T ，得y=（3，0.5，-1） T ，再解L T x=y 可以得到x=（2，1，-1） T 。,华长生制作,38,追赶法(Thomas算法),对角占优矩阵:,补充,华长生制作
7、,39,有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组,其形式为:,其中,-(1),华长生制作,40,华长生制作,41,以下以Doolittle分解导出三对角线方程组的解法,以Crout分解的三对角线方程组的解法请自己思考,设,用紧凑格式的 Doolittle分解,华长生制作,42,因此,二对角阵,-(2),华长生制作,43,由,-(3),-(4),-(5),-(6),可得L和U的元素的计算公式,华长生制作,44,得,-(7),华长生制作,45,得,-(8),也称Thomas法,华长生制作,46,例1.,用追赶法解三对角线方程组,解:,zhuiganfa.m,华长生制作,47,华长生制作,48,华长生制作,49,因此原线性方程组的解为,
