1、高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！绝密 启用前2007 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据 的标准差 锥体体积公式12,nx22()()()nsxx 13VSh其中 为样本平均数 其中 S 为底面面积，h 为高
2、柱体体积公式 球的表面积、体积公式VSh 234,R其中 S 为底面面积，h 为高 其中 R 为球的半径第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知命题 R， ，则:pxsin1x（A） R, （B） R, :pxsin1（C） R, （D ） R, :i （2）已知平面向量 则向量 =(1)(,)ab32ab（A） （B）(2,)(,1)（C） （D ）0高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！（3）函数 在区间 的简图是sin(2)3yx,2（A） （B）（C） （D ）（4）已知 是等差数列， ，其
3、前10项和 ，则其公差na10a107Sd（A） （B） （C） （D）233323（5）如果执行右面的程序框图，那么输出的 S（A）2 450（B）2 500（C）2 550（D）2 652（6）已知抛物线 的焦点为 ，点 、 、 在抛2(0)ypxF1(,)Pxy2(,)xy3(,)Pxy物线上，且 ，则有13（A） （B）12FP 2123F（C） （D ）13 1开始k 50?k=1S=S+2k 输出 S否是 S=0k=k+1 结束高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！（7）已 知 ， 成 等 差 数 列 ， 成 等 比 数 列 ， 则 的 最 小 值0,xy,xa
4、by,xcdy2()abcd是（A）0 （B） 1 （C）2 （D）4（8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是（A） 34cm （B） 80 （C） 32c（D） 40 m（9）若 ，则 的值为cos2in()4cosin（A） （B） （C） （D）72121272（10）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为1exy2(,e)（A） （B） （C） （D）29242e2e（11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7
5、 8 9 10频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4、 、 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有1s23（A） （B）12s213s（C） （D ）3（12）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1、h 2、h，则 h1h2h =（A） 11 （B） 223 3（C） 2 （D ） 22020正视图2010俯视图10侧视图20高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！第卷本卷包括必考题和选考题两
6、部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率为 .（14）设函数 为奇函数，则 .(1)xafa（15） 是虚数单位， .(用 的形式表示， )i50i34ib,abR（16）某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种.(用数字作答 )三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）如
7、图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C与 D. 现测得 ， ， ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，BCDCs求塔高 .A（18）（本小题满分12分）如图，在三棱锥 中, 侧面 与SABCSAB侧面 均为等边三角形, 为SAC90,O中点.B（）证明： 平面SO;AB（）求二面角 的余弦值. C S O C B A 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！（19）（本小题满分12分）在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 有(0,2) 21xy两个不同的交点 P 和 Q. （）求 k 的取值范围；（）
8、设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量 与 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由 .OAB（20）（本小题满分12分）如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计MSCD的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入M中，则M的面nm积的估计值为 . 假设正方形 的边长为2，M的面积为1，并向正方形 中mnABABCD随机投掷10 000个点，以 表示落入M中的点的数目.X（）求 的均值 ；E（）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率.(0.3,)附表： 1010(C.2
9、5.7kllllP2424 2425 2574 2575()k0.0403 0.0423 0.9570 0.9590（21）（本小题满分 12 分）设函数 .2()ln)fxax（）若当 时 取得极值，求 a 的值，并讨论 的单调性；1(f ()fx（）若 存在极值，求 a 的取值范围，并证明所有极值之和大于 .()fx eln2请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 （22）（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，已知 AP 是O 的切线， P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于 B、CD CBAMAB MCOP高
10、考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！两点，圆心 O 在 的内部，点 M 是 BC 的中点.PAC（）证明 A，P，O，M 四点共圆；（）求OAMAPM 的大小.（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程O 1 和O 2 的极坐标方程分别为 .cos, 4sin（）把O 1 和O 2 的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求经过O 1，O 2 交点的直线的直角坐标方程.（24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 .()21fxx（）解不等式 2；()f（）求函数 的最小值.y高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！绝密 启
11、用前2007 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案和评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一选择题（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）C（7）
12、D （8）B （9）C （10）D （11）B （12）B二填空题（13）3 （14） （15） （16）240112i三解答题（17）解：在BCD中，. 2分CBD由正弦定理得5分,sinsiB所以 iBCD8分s.n()在RtABC中，高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！tanABCB12分si.()（18）证明：（）由题设AB=AC=SB=SC=SA. 连结OA，ABC为等腰直角三角形，所以OA=OB=OC= SA，且AO BC. 又SBC为等腰三角形，故SOBC，且2SO= SA， 从而OA 2+SO2 =SA2， 3分所以SOA为直角三角形， . SOA又AOB
13、C= O，所以SO平面ABC. 6分（）解法一：取SC中点M, 连结AM, OM , 由（）知 , 得OMSC，AMSC.,SCA为二面角 的平面角. 9分ASCB由AOBC，AOSO，SOBC 得OAO平面SBC，所以AOOM . 又 ，故32A6sin,M所以二面角 的余弦值为 12分ASCB3.解法二：以O为坐标原点，射线OB、OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系 .z设B(1,0,0) ，则 (1,0)(,)(0,1).CASSC的中点 2M,0,O,1,2(1,0)SC， .SC 0AS故MO SC，MA SC ， 等于二面角 的平面角. 9分,OMASCB3cos
14、,MM A B C O S M z y x A B C O S 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！所以二面角 的余弦值为 12分ASCB3.（19）解：（）由已知条件，直线 l 的方程为，2ykx代入椭圆方程得，22()1整理得 . 3 分210kxk直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于，2284()解得 或 . 即 k 的取值范围为 . 6 分kk2(,)(,)（）设 ，则 ，12(,)(,)PxyQ122,OPxy由方程，. 1224k又 . 8 分1()yx而 .(2,0),2,ABA所以 与 共线等价于OPQ，1212()xy将代入上式，解得 .
15、 11 分k由（）知 或 ，故没有符合题意的常数 k. 12 分2（20）解：每个点落入M中的概率均为 . 2分14p依题意知 . (10,)XB:（） . 6分25E（）依题意所求概率为 ， 9分0.3410.3XP. .1高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！2457PX71010246C5llll 5 24510100C75lllllll .973. 12分14（21）解：（） ，()2fxxa依题意有 ，故 ， 2 分103从而 .2(1)()2xxf 的定义域为 . 当 时， ；当 时，()f3(,)231x()0fx12x；当 时， . 从而， 分别在区间 ，
16、单调0x10fx()f3,2(,)增加，在区间 单调减少. 5 分(,)（） 的定义域为 ， .fx(,)a21(xaf方程 的判别式 .210a248（）若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 无极值.2()fx()0fx()fx（）若 ，则 或 .2a若 ， ， .当 时， ，当2a(,)x2(1)xf ()0fx时， ，所以 无极值.(,),x()0()f若 ， ， 也无极值. 7 分2a 21(,)xxfx（）若 ，即 或 ，则 有两个不同的实根02a210a.212,xx高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！当 时， . 从而 在 的定义域内没有零点，故2a12,xa(
17、)fxf无极值.()fx当 时， ， 在 的定义域内有两个不同的零点，由极12,()fxf值判别方法知 在 取得极值.()fx,x综上， 存在极值时，a 的取值范围为 . 10 分f (2,)的极值之和为()fx 221211()ln()ln()ffxaxax. 12 分el（22）（）证明：连结 OP，OM .因为 AP 与O 相切于点 P，所以OPAP.因为 M 是O 的弦 BC 的中点，所以OMBC .于是OPAOMA=180，由圆心 O 在 的内部，可知四边形 APOM 的对PAC角互补，所以 A，P，O，M 四点共圆. 6 分（）解：由（）得 A，P，O ，M 四点共圆，所以OAM=
18、OPM.由（）得 OPAP .由圆心 O 在 的内部，可知 OPMAPM=90.C所以OAMAPM =90. 10 分（23）解：以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（） ，由 得cos,sinxy4cos，24所以 .即 为O 1 的直角坐标方程 .20xy同理 为O 2 的直角坐标方程. 6 分4AB MCOP高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！（）由240,xy解得 1,0;y2,.xy即O 1，O 2 交于点（0，0）和 . 过交点的直线的直角坐标方程为 .(,)yx10 分（24）解：（）令 ，则|21|4|yx3分15,23,4,.xyxx作出函数 的图像，它与直线 的交点为 和 .|21|4|yx2y(7,2)5(,)3所以 的解集为 . 6分|5(,7)(,)3（）由函数 的图像可知，当 时， |21|4|yx12x取得最小值 .|21|4|yx910 分y=2 4 y O x 12
