1、动态模型,北京理工大学 王宏洲,1、动态模型的适用范围,研究对象的特征，会随时间/空间的变化而变化，这种变化可以是连续的，也可以是不连续的微分/差分方程,比如，问题中涉及到：(1) 物体的运动、振动、受力形变(2) 生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化(3) 物质、能量的扩散、传递(4) 消费品在市场上的销售过程(5) 信息的扩散与传播,导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变,自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制,粉尘
2、、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导,如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个过程中发生了什么微分方程的求解和求数值解,如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法/无须获得精确的解可以利用微分方程几何理论,2、微分方程模型的分析方法,3、建立微分方程模型的依据,随着时间/空间的变化，问题中的某些指标的变化速度或加速度，与另外一些指标的数值或速度、加速度呈现比例关系，或其他的简单函数关系，则可以据此建立微分方程模型。,建立微分方程模型时，需要注意：守恒定律；欲得解析解，尽量简化方程；掌握微分方程几何理论，用于定性讨论
3、；差分方程模型，可粗略转化为微分方程；微分方程方法更适合做定性讨论或精度要求不高情形。,4、案例消费品在市场上的销售过程,新产品入市之后，如果对销量进行预测？或者说，如何描述新产品占领市场的过程？,设需求量有一个上界，并记此上界为K，记 t 时刻已销售出的产品数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，则基于阻滞增长模型，可以认为：,记比例系数为k：,研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办法给出销量区间。如果希望预测较长时间内的销量，则可以采用上面的形式。,在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用，采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。,如果考虑更复杂一些的情形，比如部
4、分早期用户更新对销量的影响，可以采用时滞微分方程。,考虑早期用户更新的因素，可以采用时滞微分方程。,搜集数据，计算方程中的参数，即可得到销量的递推公式,求解时滞微分方程,求解需要初始条件！,求解需要初始条件！,已知过去一段时间的情况，希望了解将来。,根据已知的数据，推算过去发生了什么。,x,t,5、微分方程定性分析方法简介,不求解，直接分析解的一些性态。,x,y,2x + 4y = 0,希望知道时间充分长以后会如何，即研究事物最终的发展趋势。,6、稳定性模型,比如，前面提到的：(1) 物体的运动、振动、受力形变极限是什么？(2) 生物(动植物、微生物)的量变或密度变化稳定状态？(3) 物质、能
5、量的扩散、传递均衡状态是怎样的？(4) 消费品在市场上的销售过程市场容量是多少？(5) 信息的扩散与传播最大影响范围是什么？,(1) 运动状态稳定下来之后会是什么情形？长期受力的结果是什么？,(2) 对生态系统放任自流，或者加以干涉，最终会导致什么后果？,比如，前面提到的：(1) 物体的运动、振动、受力形变(2) 生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化(3) 物质、能量的扩散、传递(4) 消费品在市场上的销售过程(5) 信息的扩散与传播,(3) 如果不断有物质或能量的补充，那么最终物质和能量的分布情况如何？,(4) 商品不断销售，用户也会报废旧品，最终稳定下来的市场销量会是多少？,(5)
6、如果对信息的扩散与传播加以干涉，那么信息最后的分布情况如何？,考虑各种因素的微分方程建模,北京理工大学 王宏洲,1、指数增长模型,x(t) 时刻 t 的种群数量,基本假设 : 种群(相对)增长率 r 是常数,随着时间增加，种群按指数规律无限增长,2、阻滞增长模型(Logistic模型),资源、环境等因素对种群增长有阻滞作用,假设,r 固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,且阻滞作用随人口数量增加而变大,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),3、考虑外界突发干扰,突发的外界干扰，诸如战争、自然灾害、传染病等，对种群规模影响很大。虽
7、有偶然性，但可以近似的看作有一定规律的脉冲性影响。比如每隔若干年，江河泛滥、地震、干旱等。,脉冲微分方程,3、考虑外界突发干扰,再比如人类监测发现田鼠、蝗虫多到一定数量时，会采取大规模杀灭行动。,4、考虑阶段性影响,不同年龄对人口增长的作用不同：0-17；18-40；41以上,将年龄分层考虑：,传染病问题中，人的状态变化：健康人病人（潜伏期）病人（已发现）移出者（免疫）,5、考虑时滞影响,计算机通常五年报废购买新机,考虑到不到5年，也有损坏的设备；满5年的设备，也有继续使用的,6、长期演进：稳定性态,时间充分长会如何？事物最终的发展趋势。,比如，商品的价格与其价值的变化关系；食肉动物与草食性动
8、物数量的变化规律；侵入人体的病菌与白血球的数量变化关系；投入一粒石子的池塘水面振幅变化规律。,是已知的常数时，可以分析其几何性态；当 变化时，方程或方程组的几何性态会发生怎样的变化？,t,x,事物发展的稳定与不稳定,时间,这些现象在现实中都有实用背景和研究价值,事物的某些特征,差分方程建模,北京理工大学 王宏洲,多数大型哺乳动物有繁殖周期,经济运行也具有一定的阶段性：农产品、股市,植物有固定的繁殖周期,每年多次繁殖的啮齿类动物，也有一定的繁殖间隔,差分方程模型的实际背景,1、指数增长模型,实验室培养果蝇，不考虑自然灾害、疾病、资源突然短缺等因素的影响。另外假设：,第n个繁殖周期，果蝇的总量为x
9、(n)；每个繁殖周期，果蝇以一定的比例r产生下一代；每个繁殖周期，果蝇有一定的比例d死亡；不考虑果蝇的年龄结构、性别结构等。,相邻两个繁殖周期果蝇数量变化x(n + 1) - x(n) = r x(n) d x(n),求解，得到：x(n) = x(0) (1 + r d)n,按照此模型来预测，果蝇的总量将快速增加，甚至趋于无穷！,种群个体数量增多之后，增速实际上会逐渐放缓，需要对指数增长模型做改进。,假设果蝇的繁殖率r会随着总数x(n)增加而减少；果蝇的死亡率d会随着总数x(n)增加而增加；,2、果蝇资源受限模型,将r设为最简单的减函数r(x) = a b x，将d设为最简单的增函数d(x)
10、= p + qx，其中a、b、p、q均为非负常数。,受生存资源限制，果蝇总数不会无限制增长；同样不考虑果蝇的年龄结构、性别结构等。,x(n + 1) = (1 + r d)*x(n),x(n + 1) = A B x(n)*x(n),其中 A = 1 + a p，B = b + q,当果蝇数量较少而资源充足时，即x(n)很小时，果蝇数量必然是增加的，即 x(n+1) x(n)，此时A B x(n) 1；,x(n + 1) = A B x(n)*x(n),但是当果蝇数量x(n)太大时，比如x(n) (A 1)/B，此时A B x(n) 1，于是果蝇数量将出现回落。,(A 1)/B,根据参数选取的
11、不同，通解的性态会有很大差异,3、考虑年龄因素,假设果蝇的生存环境始终保持稳定，而且第n个繁殖周期，果蝇的总量为x(n)；果蝇需要k个繁殖周期才能进入成年期；每个繁殖周期，果蝇以一定的比例r产生下一代；每个繁殖周期，果蝇有一定的比例d死亡；不考虑果蝇的性别结构等。,从第n期到第n+1期新增个体数量，应由第n-k个周期时的种群总量决定.,x(n + 1) - x(n) = r (1 - d)k x(n - k) - d x(n).,假设果蝇的生存环境始终保持稳定，而且第n个繁殖周期，果蝇的总量为x(n)；果蝇中雌性的比例为s；每个繁殖周期，雌性果蝇以一定的比例r产生下一代；每个繁殖周期，果蝇有一
12、定的比例d死亡.,4、考虑性别因素,从第n期到第n+1期新增个体数量，应由第n个周期时的雌性果蝇的数量决定。,x(n + 1) - x(n) = s*r*x(n) - d x(n).,假设果蝇的生存环境始终保持稳定，而且第n个繁殖周期，果蝇的总量为x(n)；果蝇中雌性的比例为s；果蝇需要k个繁殖周期才能进入成年期；每个繁殖周期，雌性果蝇以一定的比例r产生下一代；每个繁殖周期，果蝇有一定的比例d死亡；不考虑果蝇的性别结构等。,5、结合考虑成熟周期与性别因素,性别结构：x(n + 1) - x(n) = s*r*x(n) - d x(n).,成熟周期：x(n + 1) - x(n) = r (1
13、- d)k x(n - k) - d x(n).,x(n + 1) - x(n) = s*r*(1 - d)k x(n - k) - d x(n).,6、考虑突发因素,以田鼠为例，假设第n年，鼠总量为x(n)；每年鼠以一定的比例r产生下一代；每年鼠有一定的比例d死亡；,城市每5年举行灭鼠运动杀灭90%， 草场鼠数量超过2万只时人为灭杀90%；不考虑鼠的年龄结构、性别结构等。,x(n + 1) - x(n) = r x(n) d x(n) T(n)0.9x(n),如果采取监控，发现数量达到一定程度就采取杀灭措施，可以建立如下差分方程模型：,x(n + 1) - x(n) = r x(n) d x
14、(n) S(x(n)0.9x(n),7、考虑年龄结构的种群,生物不同年龄层次的死亡率各有不同，而且产生下一代的作用也不同。以一种五年生河虾为例，成年虾直接孵化出幼虾，幼虾一年后即成年可以产卵，五龄虾产卵之后会迅速死亡。,假设： 第n年幼虾、一龄、二龄、三龄、四龄、五龄虾的数量分别为A(n)，B(n)，C(n)，D(n)，E(n)，F(n)； 各年龄层存活到下一年龄层的比例分别为R1，R2，R3，R4，R5； 每个一龄到五龄虾产生幼虾的个数为S1，S2，S3，S4，S5； 不考虑果蝇的性别结构等。,假设： 第n年幼虾、一龄、二龄、三龄、四龄、五龄虾的数量分别为A(n)，B(n)，C(n)，D(n
15、)，E(n)，F(n)； 各年龄层存活到下一年龄层的比例分别为R1，R2，R3，R4，R5； 每个一龄到五龄虾产生幼虾的个数为S1，S2，S3，S4，S5； 不考虑果蝇的性别结构等。,XT(n) = M XT(n-1)多维的状态转移方程，又称为Leslie模型,8、蛛网模型,商品的产量与价格之间存在很明显的互动变化关系：,以大蒜为例，主产地一年产出一季。假设第n年，大蒜产量为x(n)；第n年，大蒜价格为y(n)；当年产量多少，决定了当年价格高低；当年价格高低，决定了次年农民种植的积极性(即产量),y(n) = f (x(n)x(n+1) = g (y(n),模型中的函数 f 称为需求函数，由于产量越高则价格越低，产量偏低时价格会上升，所以需求函数 f 应为单调递减函数；函数 g 称为供给函数，如果当年价格偏高，会激励农民种植的积极性，所以次年产量会提升，供给函数 g 应为单调递增函数。,f (x) = a b x，g(y) = - c + d y,以大蒜为例，主产地一年产出一季。假设第n年，大蒜产量为x(n)；第n年，大蒜价格为y(n)；,y(n) = f (x(n)x(n+1) = g (y(n),
