1、2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,第六章 线性空间,6.4 基变换与坐标变换,一、基变换,6.4 基变换与坐标变换,二、坐标变换,6.4 基变换与坐标变换,引入,n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的因此如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.,6
2、.4 基变换与坐标变换,1、定义,设V为数域P上n维线性空间， ；,为V中的两组基，若,即，,一、基变换,6.4 基变换与坐标变换,则称矩阵,为由基 到基 的过渡矩阵（transition matrix）；,称 或 为由基 到基,的基变换公式,6.4 基变换与坐标变换,2、有关性质,（1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵,都可看成是两组基之间的过渡矩阵,证：若 为V的两组基,且由基 的过渡矩阵为A，,即,6.4 基变换与坐标变换,又由基 也有一个过渡矩阵,设为B，即,比较 、两个等式，有,都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且A1B.,6.4 基变换与坐标变换,反过来，设 为P上任一可
3、逆矩阵，,任取V的一组基,于是有，,由A可逆，有,即， 也可由 线性表出.,6.4 基变换与坐标变换,故 线性无关，从而也为V的一组基.,并且A就是 的过渡矩阵.,（2）若由基 过渡矩阵为A,则由基 过渡矩阵为A-1.,6.4 基变换与坐标变换,（3）若由基 过渡矩阵为A,由基 过渡矩阵为B，,则由基 过渡矩阵为AB.,证：若,则有，,6.4 基变换与坐标变换,二、坐标变换,1、定义,为V中的两组基，且,V为数域P上n维线性空间 ，,6.4 基变换与坐标变换,设 且 在基 与基,下的坐标分别为 与 ，,即，,与,6.4 基变换与坐标变换,则,或,称或为向量在基变换下的坐标变换公式,6.4 基变换与坐标变换,渡矩阵其中,并求向量 在基 下的坐标.,6.4 基变换与坐标变换,解：,6.4 基变换与坐标变换,而,6.4 基变换与坐标变换,6.4 基变换与坐标变换,在基 下的坐标就是,设 在基 下的坐标为 ，则,所以 在基 下的坐标为,
