1、第四章 刚体的定轴转动,ROTATIONAL MECHANICS OF RIGID BODIES,（一）熟练掌握描述刚体定轴转动的四个物理量-角坐标、角位移、角速度和角加速度。 （二）掌握力矩和转动惯量的概念，掌握转动惯量的计算和平行轴定理，熟练掌握刚体定轴转动的转动定律。,基本要求：,（三）理解力矩的功和转动动能的概念，熟练掌握刚体定轴转动的动能定理、功能原理和机械能守恒定律。（四）掌握角动量的概念，熟练掌握角动量定理和角动量守恒定律。,一. 刚体 (rigid body),4-1 刚体的定轴转动,力学抽象模型: 有一定形状和大小，不会发生形变的物体。,2. 转动 -刚体内各点都绕同一直线作
2、圆周运动。定轴: 转轴固定。如：吊扇，门窗等。非定轴: 转轴随时间而变化。,1 .平动 -刚体内任一条直线方向不变。特征 ：可用刚体上任意点的运动为代表（质点）。,二. 刚体的运动,3. 平面平行运动-可分解成平动和转动。如：自行车轮.,-,三. 描述刚体定轴转动的物理量,v R,角坐标,角加速度,角位移,角速度,一 .力矩（moment of force）1.定义：力矩=力力臂,4-2 力矩 转动定律,2.物理意义：决定刚体转动的物理量。表明力的大小、方向和作用点对物体转动的影响。,二. 转动定律,由牛顿第二定律:,刚体中任一质元mi ，受外力 Fi 内力 fi 与矢径 ri夹角分别为 i
3、和 i,内力力矩,外力力矩,切向,b,q,j,b,q,j,2,sin,sin,sin,sin,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,it,i,i,i,i,i,r,m,r,f,r,F,r,m,a,m,f,F,=,+,=,=,+,(若力不在与轴垂直的平面内,可先投影,结果相同.),-与牛顿第二定律比较,若M=0，则=0-平衡问题,三.转动惯量 (moment of inertia),1.定义:组成刚体的各个质元的质量与该质元到转轴距离平方乘积的和。,2.决定J的三个要素： 质量 质量分布 转轴位置,例题1:如图,求环绕通过其环心垂直环面的轴的转动惯量。,3. 转动惯量J的计算,解:,例题2:,解
4、:,求图中圆盘的转动惯量,取细圆环为质元,解:,例题3:杆长L，质量M，绕图中轴转动，求转动惯量,4. 平行轴定理,若刚体对过其质心O的转轴的转动惯量为J0 ，则该刚体对平行于该轴的、与该轴相距为d 的另一转轴的转动惯量为J ，则有：,例题4:求细棒绕其一端的J,解:,四.转动定律举例,解: 隔离物体、受力分析如图,例题1：如图所示，已知 m2 m1 求m2的加速度和绳中的张力。,取顺时针为正方向,解得：,例题2： 如图所示，一质量为M，半径为R 的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体 m由静止下落 h 高度时的速度
5、大小和此时滑轮的角速度大小。,解: 隔离物体、受力分析如图,取顺时针为正方向,解得：,物体下落高度h时的速度为：,这时滑轮转动的角速度为：,例题3:电风扇在开启电源后，经 t1 时间达到了额定转速，此时相应的角速度为 ，当关闭电源后，经过 t2 时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，求电机的电磁力矩。,解:,例4：一根长l，质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面 内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下 摆 角时的角加速度和角速度？,解：受力分析,棒的角加速度为：,因为,所以,两边积分,例5： 一风机的转动部分以初
6、角速度 0 绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数 k， 若转动部分对其轴的转动惯量为 J。 求：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为原来的一半？（2）在此时间内共转过多少转？,解（1）：,（2）：,一. 力矩的功 -力矩的空间积累作用,F,-力矩的功- -力矩的功率 -,r,4-3 刚体定轴转动的动能定理,比较,ds,二.转动动能,设转动角速度为,第i个质量元mi的速度vi= ri 其动能,整个刚体的动能,转动动能,三. 定轴转动的动能定理,合外力矩的功等于刚体转动动能的增量. 比较:,例：一根质量为m 长为 l 的均质细棒，可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，若使其从水平
7、位置开始自由摆下，求细棒摆到任一位置，外力矩作的功和棒在竖直位置的角速度大小。,解：只有重力矩作功。,竖直位置，=900,（还可用机械能守恒定律）,4-4 角动量 角动量守恒定律,角动量(angular momentum）,1、质点的角动量,定义：,2、刚体的角动量,刚体定轴转动时，其角动量就是各质点角动量 之总和（矢量和转化成代数和）,角动量也即动量矩,力矩,一般形式,（比较 ）,1. 冲量矩（角冲量）,二. 角动量(angular momentum)定理,冲量矩等于角动量的增量,Ft动量定理 Mt角动量定理,力矩与作用时间之积称为冲量矩（角冲量）,单位：N.m.s,2.角动量(angula
8、r momentum)定理,三. 角动量守恒定律, 能量、动量、角动量守恒定律普遍成立,实例: 跳水，溜冰，直升飞机，定向仪等,结论:,条件:,M=0,例题:一质量为M、长为L的棒自由悬挂于O点，一质量为m的小球以v0的速度射向棒的一端,与棒发生完全弹性碰撞，求碰后小球的反弹速度及棒开始转动时的角速度。,解:,碰撞过程 角动量守恒、机械能守恒,O,mv0,v,L,L,例：质量为M，半径为R的转台，可绕中心轴转动，质量为m的人在台的边缘，人和台原先静止，如果人沿台的边缘跑一圈，问相对于地面人和台各转了多少角度。,解：角动量守恒（对地）,设台的转达动惯量为J，角速度为；人的转动惯量为J，转动角速度
9、为,则,转动定律 冲量矩 动量矩,刚体部分小结,牛顿定律 冲量 动量,转动惯量 J 角量 力矩,平动惯量 m 线量 力,一.描述质点和刚体的物理量及规律的比较,动量定理 动量守恒定律 角动量定理 角动量守恒定律 动能 功 动能定理 转动动能 功 转动动能定理,3. 转动惯量 4. 力矩 5. 转动动能 6. 角动量 7. 角冲量,二. 基本概念 1. 刚体 -大小和形状不变的物体,2. 定轴转动,三. 基本规律 1. 定轴转动运动学 2.转动定律 3.平行轴定理 4.转动动能定理 5.角动量定理 6.角动量守恒定律,练 习,1.可绕水平轴转动的飞轮,直径为1米,一条绳子绕在飞轮的外周边缘上,如
10、果从静止开始作匀角加速运动,且在4秒内绳子被展开了10米,求飞轮的角加速度,解:,2.几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 （A）必然不会转动 （B）转速必然不变 （C）转速必然改变 （D）转速可能不变，也可能改变。,3.一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦因数为 ，求棒转动时受到的摩擦力矩的大小。,解:,X,o,此题中细棒原来静止，现有一颗质量为m0、速度大小为v0的子弹垂直击中棒的中点，并以v0/3的速率穿出，求棒最多能转多少圈。,解:,o,角动量守恒,动能定理,（也可用转动定律解）,4.一均
11、质圆柱体质量为M，半径为R,可绕通过其中心轴线的光滑轴转动,原来处于静止状态,现有一质量为m,速度为v的子弹,沿圆周切线方向射入圆柱体边缘并嵌入其中,求此时圆柱体与子弹一起转动的角速度.,解:,M,R,5. 一质量为M、半径为R的转台，以角速度 转动，转轴的摩擦不计。,1)有一质量为m的蜘蛛垂直地落在转台边缘上， 求此时转台的角速度,2)如果蜘蛛随后沿直径爬向转台中心，当它离转台中心距离为r时,转台的角速度 为多少？设蜘蛛下落前距转台很近。,解:,6.空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环角速度为0，质量m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处C点时，环的角速度及小球相对环的速度各为多大？（设环内壁及小球光滑，小球可视为质点）,L、E守恒,解:,vB为小球在B点相对于地面的竖直分速度，也即相对于环的速度。,0,O,0,A,B,R,O,C,
