1、第 九 章 机械振动,MECHANICAL VIBRATIONS,1. 掌握描述简谐振动的振幅、周期、位相等物理量的意义及周期、频率、圆频率间的关系。,3. 掌握简谐振动的矢量图表示法 ，能用该方法分析、求解有关问题。,本章基本要求,2. 掌握简谐振动的动力学和运动学特征。,4. 掌握同方向、同频率简谐振动合成的规律。,6. 了解同方向不同频率简谐振动的合成、拍现象及相互垂直简谐振动的合成. 7.了解阻尼振动、受迫振动、共振。,5. 理解谐振动的能量转换过程，掌握能量的计算方法。,9-1 振动的一般概念 一.机械振动 1. 机械振动物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动。 2. 实例
2、心脏的跳动，单摆，乐器, 地震等,(mechanical vibration),二. 振动周期与频率 1. 周期 T：完全振动一次所需的时间，单位为秒(s)。 2. 频率 ：物体每秒完全振动的次数，单位为赫兹（Hz）。,例如，心脏的跳动80次/分， 周期为 频率为,三振动的成因,振动中最简单的模型简谐振动,弹簧振子系统,1回复力2惯性,9-2 简谐振动,(simple harmonic motion),SHM,弹簧振子的振动,令,k,m,得：,一. 弹簧振子的运动分析,解方程,设初始条件为 t=0时，x=x0，v=v0,解得：,其中,X,t,1.受力特征：,-回复力（恢复力）,f：振动质点所受
3、合力,二. 简谐振动的基本特征及规律,x：质点离开平衡位置的位移,k：比例系数,2. 运动方程,微分方程,记,3.简谐振动表达式（方程）,式中： A为振幅，T为周期，,为圆频率,为频率,微分方程的解,为位相(相位),为初位相,简谐振动方程的讨论a) 描述 xt 的关系,A为振幅,（初始条件）,简谐振动图线,X,t,A,-A,a,b,c,b) 体现简谐振动的周期性,同理,t0,to+T,c) 位相与初位相,位相(相位),初位相,位相的意义: 表征任意时刻（t）物体振动状态（相貌）。物体经一周期的振动,位相改变 。,(phase),d) 方程中各量的确定,由振动系统本身性质决定（固有圆频率）,4.
4、 简谐振动的矢量图（参考圆）表示法设一矢量长度为A， 绕O点以匀角速度 逆时针转动. t=0时，矢量与OX 轴的夹角为 ，则t时刻矢量与OX轴的 夹角为 ， 矢量端点在X轴上的投影点作简谐振动，如图.,5. 常见简谐振动a)单摆和复摆-角谐振动,l,l,mg,mg,单摆,角谐振动,小角度摆动,例题1：已知物体作简谐振动，方程为,求简谐振动的速度、加速度.,解法1:用解析法求解,取,根据矢量图 可求简谐振 动的速度、 加速度。,解法2:用矢量图法求解,A,X,O,x,M,例题2：如图所示，已知弹簧的弹性系数K1=K2=K,物体质量为m，弹簧处于原长, 让该系统作微小振动，是否简谐振动？求振动周期
5、和频率。,建立坐标如图：,解：,频率,振子在x处受力为,令,(简谐振动),周期,例题3: 在一U型管中有质量为m=240克的水银，其密度为 ,管的截面积S=0.3 求水银作微小振动的周期。,解：如图建立坐标，立方程：,Y,y,y,S,(简谐振动),例题4:一质点作简谐振动， ,振幅A=2cm. 当t=0时,质点位于x=1cm处,并且向x轴正方向运动,求振动表达式.,解法1:用解析法求解,（SI）,解法2:用矢量图法求解,A,B,1,2,O,由初始得,初始时刻旋转矢量端点位于图中B处,故初相为,作半径为2cm的圆,（SI）,6. 简谐振动的能量以弹簧振子为例a) 动能,b) 势能,c) 机械能,
6、最大振幅处的能量,平衡位置处的能量,例题1一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的A）7/16 B）9/16 C）11/16D）13/16 E）15/16,选择（ ）,E,解：,例题2当质点以频率 作简谐振动时，它的动能的变化频率为,选择（ ）,B,9-3 阻尼振动 受迫振动 共振 一. 阻尼振动 (damped vibration)现象：振幅随时间减小原因：阻尼动力学分析：,阻尼力,准周期性运动,二. 受迫振动系统在周期性外力（强迫力）作用下发生的振动,强迫力,式中A和 为强迫力频率的函数,(forceded vibration),三. 共振
7、(resonance)1.振幅共振:受迫振动位移振幅达极大值。2.速度共振:受迫振动速度振幅达极大值。3.共振的危害与应用,9-4 同方向简谐振动的合成 一. 同方向同频率简谐振动的合成设一质点同时参与两独立的同方向、同频率的简谐振动：,两振动的位相差 =常数,合振动仍为同方向、同频率的简谐振动：,式中,A与 的计算公式可从矢量图上求得（如图）,位相差对合振动的影响： 1. 当 时(同相）合振幅最大 2. 当 时（反相）合振幅最小当 时 A=0,例题：两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm,与第一个简谐振动的位相差为 若第一个简谐振动的振幅为10 cm,求:第二个简谐振动的振幅，
8、第一、第二两个简谐振动的位相差。,A,解：如图,A1、A2、A正好构成直角三角形,o,20,二. 同方向相近频率谐振动的合成，拍现象设两谐振动的方程分别为位相差为时间的函数：,合振动 合振幅在最大值 和最小值 间交替变化当 时出现较明显的合振幅加强、减弱的拍现象 (beat)拍频,A1,A2,(beat frequency), 9-5 相互垂直简谐振动的合成 一. 同频率相互垂直简谐振动的合成设两谐振动的方程分别为合振动的方程为,一般情况下，该方程为椭圆方程,A1,A2,Y,X,二. 不同频率相互垂直简谐振动的合成当两相互垂直简谐振动的频率成简单整数比时，可得到稳定的合成运动轨道-李萨如图形,
9、1. 一弹簧振子，弹簧的倔强系数为0.32N/m，重物的质量为0.02kg，则这个系统的固有频率为_,相应的振动周期为_。,0.64Hz,解：,练习题,2. 一质点作简谐振动，速度的最大值Vm=5cm/s,振幅A=2cm。若令速度具有正最大值的那一时刻为t=0,求振动表达式。,解：,O,3. 两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比 _,加速度最大值之比a1m:a2m=_,初始速率之比V10:V20=,2：1,4：1,2：1,解：,4. 一系统作简谐振动，周期为T，以余弦函数表达振动时，初相位为零。在 范围内，系统在t=_时动能和势能相等。,T/8或3T/8,解：,5 两个同方向简谐振动的振动方程分别为,（SI）,求合振动方程,解：,6. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为：,（SI）,（SI）,画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程.,O,解：,
