1、第 1 页 共 7 页南昌大学第九届高等数学竞赛(理工类)试题 序号： 姓名： 学号: 学院（学科部）： 班级： 第 考场 考试日期： 2012 年 10 月 14 日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 总分题分 15 15 6 7 8 7 9 8 8 9 8 100累分人签名得分注: 本卷共七页, 十一道大题, 考试时间为 8:3011:30.一、填空题(每题 3 分，共 15 分) 1、 . lim21n2、 .31xxed3、设 是由方程 确定的二元函数，则=,zysin+2323yzxyz. x4、过点 ，垂直于直线 且平行于平面 的直2,10123xyz45670x
2、yz线方程为 .5、设幂级数 的收敛半径为 2，则幂级数 的收敛区间为 . 1nax11nnax得分 评阅人 第 2 页 共 7 页二、单项选择题(每题 3 分，共 15 分) 得分 评阅人1、设 则 （ ） 20=,ln1,txeyud2=0tyx(A) . (B) . (C) 0. (D) 1.ee2、设 是由 所确定的隐函数，则 （ ） =yx2+10yxtd 0=y(A) . (B) . (C) . (D) .ee1e2e3、 下列各选项中正确的是（ ） (A)若 与 都收敛，则 收敛 . 2=1nu21nv2=1+nuv(B) 若 收敛，则 与 都收敛.1n21n21n(C) 若正项
3、级数 发散，则 . =1nun(D)若级数 收敛，且 ，则级数 也收敛. 1n=1,2nv =1nv4、 设 ，则 （ ） 2,+Dxy+Dxyd(A) . (B) . (C) . (D) . 2385、 设曲面 ，则 ( )2:=1xyz2zdS(A) . (B) . (C) . (D) .834343第 3 页 共 7 页三、 （本题满分 6 分） 设 （1）求 ；（2）讨论 在 的连续性. 2sin,0,=xffxfx=0四、 （本题满分 7 分） 求 ，其中 为正整数. 0sinxd得分 评阅人得分 评阅人第 4 页 共 7 页五、 （本题满分 8 分） 设函数 在 上有连续的导数，
4、.证明：至少存在一点fx0,a0f，使得 . ,20affxd六、 （本题满分 7 分） 设 二阶可导，且满足 ，fx00xxftdtfdt求 的表达式. 得分 评阅人得分 评阅人第 5 页 共 7 页七、 （本题满分 9 分） 计算曲线积分 , 其中 是椭圆 ，取逆时针方向. +LdxyA2+=14xy八、 （本题满分 8 分） 设椭球面 为 在第一卦限内的切平面.求使 与三个坐标面围22:31,xyz成的四面体体积最小的切点坐标. 得分 评阅人得分 评阅人第 6 页 共 7 页九、 （本题满分 8 分） 求级数 的收敛域. 248211nnxx十、 （本题满分 9 分）设 2=+,=3nnfxx （1） 证明方程 在 上有唯一实根 ；1f0,+nx=2,3（2）判别 是否存在，若存在，则求极限，若不存在，请说明理由. +limn得分 评阅人得分 评阅人第 7 页 共 7 页十一、 （本题满分 8 分） 注：科技学院考生只做第 1 题, 其他考生只做第 2 题。 1. 一质量为 的物体以速度 竖直向上抛，空气阻力与速度平方成正比，求物体到达最m0v高点的时间. 2. 一质量为 的物体在粘性液体中由静止自由下落，液体阻力与速度成正比，求位移与时间的关系. 得分 评阅人
