1、 1 绝密启用前 2017年第十一届北京市小学生综合能力测评（学而思杯） 五年级数学试卷 考试时间：90分钟 满分：150分 考生须知：请将填空题答案填涂在答题卡上，解答题答写在答题纸上 第卷（填空题共104分） 考生须知：请将填空题答案填涂在答题卡上 一、 填空题（共4道小题，每题5分，共20分） 1. 清明节是中国民间最重要的“八节”（上元、清明、立夏、端午、中元、中秋、冬至和除夕）之一今年清明节是4月4日，那么，8和4的最大公因数是_ 【考点】最大公因数，数论 【难度】 【答案】4 【分析】8和4的最大公因数是4 2. 定义新运算 a b a b a b ，例如 3 2 3 2 3 2
2、5 那么，6 4 _ 【考点】定义新运算，计算 【难度】 【答案】20 【分析】 6 4 6 4 6 4 10 2 20 3. 下图中有_个三角形 【考点】几何计数，计数 【难度】 【答案】9 【分析】如图，有012、0234. 薇儿有一些铅笔和钢笔薇儿有_支铅笔【考点】差倍问题，应用题【难度】 【答案】12 【分析】设钢笔有x支，那么铅笔有3 4 12 支铅笔 二、 填空题（共4道小题5. 艾迪和薇儿进行一场计算比赛的12；薇儿答对第二题有_张积分卡【考点】分数应用题，应用题【难度】 【答案】60 【分析】积分卡的总量为“1”对应，原本共有110 606 6. 下图是由14块尺寸相同的小正方
3、体拼成的立体图形提下，至少还需要_2 、013、045、056、046、078、089、079共9个三角形，其中铅笔的数量是钢笔的3倍，且铅笔比钢笔 3x支列方程：3 8 x x ，解得： x，每题6分，共24分） ，以积分卡作为奖品艾迪答对第一题，奖励积分卡总量的13最终还剩10张积分卡，最终剩下的积分卡对应的分率是1 1 112 3 6 张积分卡 在不移动图中已有小正方体的前个同样大小的小正方体，才能拼成一个完整的实心正方体4098765321 多8支那么，4因此薇儿有奖励积分卡总量那么，原本共，所以根据量率 3 【考点】正方体体积，几何 【难度】 【答案】13 【分析】一个完整的大正方体
4、共有3 3 3 27 个小正方体，图中共有14个小正方体因此还需要27 14 13 个小正方体 7. 我们把只由数字0和8组成的非零自然数叫做“球球数”，那么，能被15整除的最小 “球球数”是 _ 【考点】整除特征与最值，数论 【难度】 【答案】8880 【分析】能被15整除的自然数，即既能被3整除也能被5整除的自然数根据5的整除特征确定出“球球数”的个位数字一定为0又因为8除以3的余数为2，因此球球数至少需要3个数字8，才能满足被3整除综上所述，最小的“球球数”是8880 8. 在下面的乘法数字谜中，两个乘数之和是_ 2017 7 【考点】数字谜，组合 【难度】 【答案】240 【分析】 2
5、1 06 17 72 0 531 0 26 1 57 1 72 0 53 51 0 2 56 1 57 1 7 5因此两个乘数之和是205+35=240 4 三、 填空题（共4道小题，每题7分，共28分） 9. 已知循环小数0. 2527Na 那么N=_ 【考点】循环小数，计算 【难度】 【答案】25 【分析】250. 25 999 27 25 37 2527 999 27N a Na N a N a 25 4 137 25 4 137aN a N ，由于37与25互质，因此 37 4 1a ，得 9a ，带入得 25 4 9 12537N 10. 如下图，正方形内接于圆，以正方形边长为直径做
6、两个半圆，已知正方形面积是18平方厘米，那么图中阴影部分的面积是_平方厘米 【考点】圆与扇形，几何 【难度】 【答案】9 【分析】根据图中由正方形的面积可得2 29(2 ) 182a a ，根据勾股定理可得2 2 2 2 22 9a a r r a ，那么阴影面积是2 2 21 1 12 2 94 4 2r a a 平方厘米 arr5 11. 博士在纸上写出一个各位数字互不相同的三位数abc，艾迪在三位数前填上数字a，组成的四位数aabc恰好是a的倍数；薇儿在三位数前填上数字b，组成的四位数babc恰好是b的倍数；大宽在三位数前填上数字c，组成的四位数cabc恰好是c的倍数那么三位数abc的最
7、大值是_ 【考点】整除特征，数论 【难度】 【答案】936 【分析】由于是求abc的最大值，那么不妨设 9a ，则有9 9 9 9 9bc b c b c 则 9b c ，枚举验证:8不能整除8981，7不能整除7972，6不能整除6963，5不能整除5954，4不能整除4945，而3能整除3936，且6能整除6936，因此abc的最大值是936 12. 下图的每个方格中填入1 6 中的一个数字，使得每行、每列和每个粗线宫内数字都不重复，且每条线上的数都是回文数，例如：121、3443这样对称的数都叫做回文数那么，四位数 _ABCD 【考点】数独 【难度】 【答案】6314 【分析】 DCBA
8、2156426 四、 填空题（共4道小题，每题8分，共32分） 13. 一个各位数字互不相同的五位数，如果万位，千位，百位的数字依次增大；百位，十位，个位的数字依次减小，我们称这样的数为“宝塔数”那么符合条件的“宝塔数”有_个 【考点】排列组合，计数 【难度】 【答案】1134 【分析】设这个五位数为abcde，则有a b c ，c d e 分为两类： 情况1：含有数字0，那么数字0一定在个位，共有4 29 3378 C C 种情况 情况2：不含数字0，那么共有5 29 4756 C C 种情况 因此共有378 756 1134 个宝塔数 14. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，C
9、、D分别是AB的三等分点甲在AC段和DB段的速度是3米/秒，在CD段的速度是2米/秒；乙的速度是4米/秒已知甲乙第一次相遇地点和第二次相遇地点相距760米，那么AB两地的距离是_米 【考点】比例行程，行程 【难度】 【答案】1890 【分析】甲在AC段和DB段时，甲乙的速度比为3:4;甲在CD段时，甲乙的速度比1:2根据时间一定，路程比等于速度比，相同的标号代表相同的时刻，将全程平均分为9等分，如图： 从甲乙同时出发到时刻：甲走3份，乙走4份；从时刻到时刻：甲走23份，乙走43份；从时刻到时刻：甲走73份，乙走143份，时刻甲到距A点13412345613456 123456 1234566
10、5432121562DC BA7 份的位置；从时刻到时刻：甲走3份，乙走4份；从时刻到时刻：甲走127份，乙走167份在整个过程中，第一次相遇是在时刻，第二次相遇是在时刻时刻与时刻相距16 2 765 37 3 21 份，那么全程的距离为76760 9 189021 米 15. 定义nM 为1, 2, 3, . , n的最小公倍数，例如：31,2,3 6M ，41,2,3,4 12M ，81,2,3,4,5,6,7,8 840M ，若N是100M 的因数个数，那么N有_个奇因数 【考点】因倍质合，数论 【难度】 【答案】12 【分析】 6 4 2 21001,2,3 ,99,100 2 3 5
11、 7 11 13 97 M ，根据因数个数定理有： 2121 26 1 4 1 2 1 2 1 1 1 2 3 5 7 N ，求N的奇因数时，不能含 有质因数2，所以N的奇因数共有 2 1 1 1 1 1 12 个 16. 如图，已知正六边形ABCDEF的面积是18平方厘米，分别以正六边形邻边对角线为边向外作六个大正六边形，那么阴影部分面积是_平方厘米 乙甲DCA BFEDCBA8 【考点】正多边形，几何 【难度】 【答案】150 【分析】根据图形的对称性，阴影面积可以分成6个部分，每部分的面积相等，因此只需要算出其中一部分即可如图所进行图形分割，将正六边形ABCDEF平均分成18份，那么每份
12、的面积为 1 平方厘米则其中一个阴影面积是2 2 7 3 25 平方厘米，因此总共阴影面积为25 6 150 平方厘米 第卷（解答题共46分） 考生须知：请将解答题解题过程及答案书写在答题纸上 五、 计算题（共4道小题，每题4分，共16分） 17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果： （1）1 1 1666 666 6662 3 6 （2）1 1 11201 2 2 3 3 4 【考点】（1）提取公因数，计算（2）分数裂项，计算 【难度】 【答案】（1）666 （2）90 【分析】（1）原式=1 1 16662 3 6 666 1666 FE DCBA123233333319 （2）
13、原式=1 1 1 1 11 1202 2 3 3 4 3120490 18. 解下列方程或者方程组，写出简要的解方程过程与方程的解： （1）1 12 3x x （2）2 52 20x yx y 【考点】方程，计算 【难度】 【答案】（1）5x； （2）67xy【分析】（1）1 12 3 x x 2 1 3 12 2 3 35 x xx xx（2）2 52 20 x yx y由 2 得： 4 2 102 20 x yx y由 + 得： 5 30x 解得 6x 将 6x 带入到式中，解得7y综上所述：此方程组的解为67xy10 六、 解答题（共2道小题，每题15分，共30分） 19. 如图一所示，
14、梯形ABCD中ABCD且CD=2AB，E为BC边中点，连接AC和BD相交于O点，连接AE与BD相交于P点 图一 图二 （1）三角形BCD的面积是三角形ABD面积的_倍（3分） （2）请求出AP：PE=_（4分） （3）请求出BP：PO=_（4分） （4）如图二所示，连接DE交AC于Q点，已知三角形DOQ与三角形QEC的面积差为20，求出四边形OPEQ的面积（请写出简要过程）（4分） 【考点】比例模型，几何 【难度】 【答案】（1）2 （2）1:1 （3）3:1 （4）13 【分析】（1）三角形BCD与三角形ABD等高，因此: : 2:1 BCD ABDS S CD AB，那么三角 形BCD的面
15、积是三角形ABD面积的2倍 （2）设梯形ABCD的总面积为1，根据第一问的结论可得2 1,3 3BCD ABDS S ，又因为E是BC边的中点，因此2 1 13 2 3 BDES 根据风筝模1 1: : : 1:13 3 ABD BDEAP PE S S （3）已知: 1:1; : 1:1 BE EC AP PE，在三角形ABC中连接PC，根据燕尾模型，标出份数，如图，得: : 3:1 APB APOBP PO S S OPEDCBAQOPEDCBAEDCBAP11 （4）根据差不变原理： DOQ QEC DOQ DQC QEC DQC DOC DECS S S S S S S S ，因此 2
16、0 DOC DECS S设梯形ABCD的总面积为1，根据梯形中的蝴蝶定理： : : : 1:2:2:4 AOB BOC AOD DOCS S S S，因此4 41 2 2 4 9 DOCS另一方面 1 1 2 12 2 3 3 DEC DBCS S，因此梯形ABCD的总面积是4 120 1809 3 在四边形ADEC 中2 1: : : 4:13 6 ADC AECDQ QE S S，在第（3）问中，可求得1 1 13 12 36 APOS由于E是BC的中点，因此12ADES (一半模型)最终四边形OPEQ的面积= AQE APOS S1 1 1180 132 1 4 36 20. n是一个自
17、然数，若一串自然数从小到大排成一排：1 2 3 4, , , , . ,la a a a a （其中 11,la a n ），满足任意两个相邻的自然数后者是前者的倍数，则称1 2 3 4, , , ,a a a a5, . ,la a是n的一条因数链，l是该因数链的长度我们用L(n) 表示n的最长因数链的长度，R(n) 表示n的最长因数链的条数 例如：当 6n 时，有 1,2,6和 1,3,6共2条最长因数链，所以有L(6)=3，R(6)=2 当 12n 时，有 1,2,4,12、 1,2,6,12和 1,3,6,12共 3 条最长因数链，所以有L(12)=4，R(12)=3 根据题意，解下列
18、问题： （1）判断对错(每空1分，共4分)： L(4)=3 （ ） R(4)=2 （ ） L(20)=5 （ ） R(20)=3 （ ） （2）若n=1000，计算： L(n)= _（2分） 21333OECBAP12 R(n)= _（3分） （3）若 201744n ，计算 L R n的结果，并写出分析过程（6分） 【考点】定义新运算，因倍质合，排列组合，数论计数 【难度】 【答案】（1）、 （2）7；20 （3）6 【分析】（1）当 4n 时，仅有1条最长因数链 1,2,4，所以有L(4)=3，R(4)=1 当 20n 时，有 1,2,4,20、 1,2,10,20、 1,5,10,20共
19、3条最长因数链，所以有L(20)=4，R(20)=3因此按照从左往右：、 （2）因为3 31000 2 5 ，因此从1到1000，要经历6步，每步乘以质因数2或者5（乘3次2和3次5，合计六步例如1,1 2,2 2,4 5,20 2,40 5,200 5 就是按照先乘以2次2，然后再乘以1次5，最后乘以2次5），因此最长因数链的长度是L(1000)=3 3 1 7 ，因此L(1000)=7而最长因数链的条数取决于乘以2和5的顺序，因此就是3个2和3个5的一个排列即663 33 320AA A或3620C ，因此R(1000)=20 （3）因为4 3201744 2 3 467 ，则有 4 3 1 84 3 1 84 3 4 34 3 4 3201744 280A ARA A A A 或4 38 4280C C ，所以 3201744 280 2 5 7 3 1 1 1 6 L R L L
