1、（考试内容：集合、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何）考生注意：本试卷共 150 分；考试时间为 120 分钟一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分）1已知全集 ，集合 ，则 =（ ）UR240xMUCMA. B. C. D. 2x22x2若复数 , ,则 （ ）iZ1i3212ZA B. C. D. iii31i33已知数列 的前 n 项和为 ，且 , anS2na则 等于 （ ）2A 4 B2 C1 D 4某几何体的三视图如图所示,它的体积为（ ）A B145C D57815对任意 xR，函数 32()7fxax不存在极值点的充要条件是（ ）A、 02aB、 01C、
2、0a或 21D、 0a或 216在 中， , ，则 （ ）B5,4ABA. B. C. D. 3737将一根钢管锯成三段,焊接成一个面积为 ,形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的21m钢管供选用,其中最合理(够用且最省)的是（ ）A、 B、 C、 D、m.48.49.4m58设 ,又 是一个常数, 已知当 或 时, 只有cbxaxf23)(k0k40)(kxf一个实根, 当 时, 有三个相异实根,现给出下列命题:0k0)(f(1) 和 有且只有一个相同的实根.04)(xf)(xf(2) 和 有且只有一个相同的实根.(3) 的任一实根大于 的任一实根.3)(xf 01)(xf(4) 的任一实
3、根小于 的任一实根.052其中错误命题的个数为（ ）A4 B3 C2 D1二填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分）9 . 10)3(dx10 设 ， ，2ef()2xeg计算可知 ，(1)3(4)0ff，()5gg并由此概括出关于函数 和 的一个等式，使上面的两个等式是fx你写出的等式的特例，这个等式是_11. 已知变量 满足约束条件 则目标函数xy，203yx ， ， ， yxz2的最小值为 .12. 已知如图所示圆锥的母线长为 6 ,底面半径为 1,现有一只蚂蚁从底面圆的 A 点出发,绕圆锥侧面一圈后回到点 A,则这只蚂蚁爬过的最短距离为 .13已知 , , ,则 )2(cosxa)
4、3sin(xbba/ x2cossin14已知 ABC的三边长成公比为 2的等比数列，则该三角形的形状为 15 如图，正方体 ，则下列四个命题：1DAB 在直线 上运动时，三棱锥 的体积不变；P1 1PC 在直线 上运动时，直线 与平面 所成角的大小不变；C1AD 在直线 上运动时，二面角 的大小不变；P1BC1PADC 是平面 上到点 和 距离相等的点，则 点的轨迹是过 点的直线MADM1D其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）三解答题（本大题共 6 小题，共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16 （本题满分 12 分）已知函数 5)cos3(sin4)( xxf（1
5、 ）求函数 的最小正周期以及最大值和最小值；（2 ）求函数 的增区间。)(xf17 （本题满分 12 分）在 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 ，且满足,abc(2).acBACc（1）求角 B 的大小；（2）若 ，求 面积的最大值|618 （本小题满分 12 分）如图所示， 是边长为 的正方形， 是以角ABCDaABP为直角的等腰三角形（1 ） 为 上一点，且 平面 ，求证：平面HHD平面 ；ABCDP（2 ）若 ，求二面角 的余弦值a3BDA19 （本小题满分13分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费。每一年度申请
6、总额不超过6000 元。某大学2012 届毕业生在本科期间共申请了24000 元助学贷款，并承诺在毕业后 3年内（按36个月计）全部还清。签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5% 直到 4000 元。该同学计划前12个月每个月还款额为 500，第13 个月开始，每月还款额比前一月多x 元。（）若该同学恰好在第36 个月（即毕业后三年）还清贷款，求 x 的值；（）当x = 50时，该同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？（参考数据： ）786.205.1,63205.1,205.1,46205.
7、198 20 （本小题满分13分）已知数列 满足 ， .na31121nna（1 ）求 ， ， ；234（2 ）求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式。1nana（3 ）若 ,求 的前 项和nb2)(nbT21.（本小题满分13分）已知函数 0)1(,ln2)(fxbaxf（1）若函数 f(x)在其定义域内为单调函数，求 a 的取值范围；（2）若函数 f(x)的图象在 x = 1 处的切线的斜率为 0，且 ，21()1nnfa已知 ，求证： ；41a2na（3）在（2）的条件下，试比较 与 的大小，并说naa1132 5明你的理由衡阳市八中 2013 届高三第三次教学质量检测数学（理科）参考答案解答题: (12 分+ 12 分+ 12 分+ 13 分+ 13 分+ 13 分)18故 1cos,7nm即二面角 的余弦值为 APDB17故 2121nan 12nan19(3) nnb2)1(利用错项相减的办法解得: 2)1(nnT:.Com
