1、 第二篇 图 论 1.图、图论 由点和线组成的图表称之为 图 。 系统地研究图的性质就构成了一门学科，被称为 图论 。 2.与上篇的关系 ： 图论虽然是一门单独的学科，但实际上，图论可以看成是集合论的继续就是 在有限的集合上（ V）上定义的一个反自反、对称的二元关系（ E）。 3. 在图论的解题过程中常常使用两种解题方法： 一是反证法 ，另一个是 数学归纳法 。 第 6章 第一节 图论发展概述 -了解 第二节 图的基本定义 设 V是一个非空集合， V的一切二个元素所构成子集记为P2(V)，即 P2(V)=A|AV且 |A|=2； .无向图 定义 1 设 V是一个非空有限集合， EP2(V)，二
2、元组 (V,E)称为一个无向图。 2.2 顶点的度 定义 2 设 v为图 G=(V， E)的任一顶点， G中与 v邻接的边的条数称为顶点 v的度，记为 degv。 定理 1 (握手定理 )设 G=(V,E)是一个具有 p个顶点 q条边的图 ,则 G中各顶点度的和等于边的条数 q的两倍，即 degv=2q。 推论 1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。 定义 3 设 G是图，若 (G)=(G)=r ，即 G的每个顶点的度都等于 r，则 G称为 r度正则图。 (1) 若 (G)=(G)=3 ，则称 3-度正则图 ,也叫做 三次图 。 (2) 若 (G)=(G)=0 ，则称为 零图 ，即 0-度
3、正则图 。 (3) 若 (G)=(G)=p -1，则称为 p-1度正则图 ，即 degv=p-1。 (4) p-1度正则图也称为 p个顶点的 完全图 ，记为 Kp。在 Kp中，每个顶点与其余各顶点均邻接。 显然， Kp有 p(p-1)/2条边。 2.5 子 图 子图、生成子图、真子图、极大子图、导出的子图 2.6 同 构 第三节 路、回路（圈）、连通图 3.1 通道、迹、路 3.2 连通 定义 2 设 G=(V,E)是图，若 G中任两个不同顶点间至少有一条路联结，则称 G是一个连通图。 3.3 几个定理 定理 2 设 G=(V,E)是一个有 p个顶点的图。若对 G的任两个不邻接的顶点 u和 v
4、,有 degu + degvp -1， 则 G是连通的。 这个定理是一个充分条件 定理 3 设 G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶点的图。若对任意 vV ， degv为偶数，则 G中有回路。 定理 4 若图 G中的两个不同顶点 u与 v间有两条不同的路联结，则 G中有回路 。 例 1 若 G是一个恰有两个奇度顶点 u和 v的无向图，则 G连通 G+uv连通。 例 2 设 G是一个 (p,q)无向图 ,若 q(p-1)(p-2)/2，则 G是连通的。 例 3 设 G是一个 (p,q)无向图 ,若 (G)p/2, 则 G是连通的。 例 4 证明：若 G不连通，则 GC是连通图。 例 5 设
5、G是有个 p顶点， q条边的无向图，各顶点的度数均为 3。则 (1)若 q=3p-6,证明 :G在同构意义下唯一，并求 p,q。 (2)若 p=6，证明 :G在同构的意义下不唯一。 第四节 补图、偶图 4.1 补图 -什么样的图有补图？ 每个自补图都有 4n或 4n+1个顶点。 4.2 偶图 （双图、二部图、双色图） 4.3 偶图的特征性质 定理 1 图 G为偶图的充分必要条件是它的所有回路都是偶数长。 4.4 图兰 (Turan)定理 定理 2 具有 P个顶点的而没有三角形的图中最多有 p2/4条边。 第五节 欧拉图 (Euler) 5.1 欧拉图 定义 1 设 (G,V)是一个图，则包含图
6、的所有顶点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一条欧拉闭迹的图称为欧拉图。 定理 1 图 G是欧拉图当且仅当 G是连通的且每个顶点的度都是偶数。 (定理 1对多重图也成立 ) 第六节 哈密顿图 6.1 哈密顿图 定义 1 设 G是一个图，则图 G中包含 G的所有顶点的生成 圈称为哈密顿圈； 具有哈密顿圈的图称为哈密顿图。 有割点的图一定不是哈密顿图； 有割点的图不一定不是欧拉图（可能是）； 6.2 性质 定理 1 (GADirac)设 G是一个有 p个顶点的图，p3 。若 (G)p/2 ，则 G是一个哈密顿图。 定理 2 (O.Ore)设 G是有 p(p3) 个顶点的图。若对 G的任一对不邻接的顶
7、点 u和 v，均有degu+degvp ， 则 G是一个哈密顿图。 定理 3 设 G是一个有 P个顶点的图，若对 G的每一对不邻接的顶点 u和 v，均有 degu+degvp -1，则 G有哈密顿路。 (书上习题 ) 习题 例 1(1) 证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图；用此结论证明如图所示的图不是哈密顿图。 (2) 完全偶图 Km,n为哈密顿图的充要条件是什么 ？ 例 2 试求 Kp中不同的哈密顿圈的个数。 例 3 给出一个 10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点 u和 v，均有 degu+degv9 。 例 4证明：彼德森图不是哈密顿图。 例 5图 G是哈密顿图。试证明：若
8、图中的哈密顿回路中含边 e1，则它一定同时也含 e2。 例 9菱形 12面体的表面上有无哈密顿回路？ 例 10设 G=(V,E)是连通图且顶点数为 p,最小度数为 ，若 p2 ,则 G中有一长至少为 2 的路。 例 6设 G是一个有 p(p3) 个顶点的连通图。 u和 v是 G的两个不邻接的顶点 ,并且 degu+degvp 。证明： G是哈密顿图 G+uv是 哈密顿图。 例 7 证明：完全图 K9中至少存在彼此无公共边的两条哈密顿圈和一条哈密顿路？ 例 8判断如图所示的图是否为哈密顿图，若是写出哈密顿圈，否则证明其不是哈密顿图。 ab cdefg jh iabcdefghij第七节 图的邻接
9、矩阵 7.1 邻接矩阵 定义 1设 G=(V， E)是一个图，矩阵称为 G的邻接矩阵，其中 7.2 通道的条数 定理 1 设 G=(V,E)是一个 (p,q)图， p p矩阵 A是G的邻接矩阵，则 G中 vi与 vj间长为 l通道的条数等于 Al的第 i行第 j列元素的值，其中 ij 。 1 ( , )0 ( , )ijijijv v Ea v v E 若若，第 7章 树和割集 第一节 树及其性质 1.1树和森林 定义 1 连通且无回路的无向图称为无向树，简称树。 定义 2 没有回路的无向图称为无向森林，简称森林。 1.2 树的特征性质 写出 无向树等价的几个特征性质（至少 5个） 推论 1
10、任一非平凡树中至少有两个度为 1的顶点。 推论 2任一非平凡树的最长路的两个端点一定是树叶。 推论 3 任意非平凡树都是偶图 (显然，树中无圈 )。 推论 4 任意非平凡树都是 2-色的。 第二节 生成树 2.1生成树（包含所有顶点的树） 定义 1 设 G=(V,E)是一个图，若 G的一个生成子图 T=(V， F)是树，则称 T是 G的生成树。 2.2 生成树存在问题 定理 1 图 G有生成树的充分必要条件是 G为一个连通图。 2.3 怎样求 (最小 )生成树 (破圈法 ) 2.4 树的弦 定义 3 设 T是连通图 G的生成树， G的不是 T的边称为 T的 弦 。 说明 : (1) 若 G是一
11、个 (p,q)连通图， T是 G的生成树，则 T有 q-p+1条弦。 (2) 若 G是一个 (p,q)连通图，则 T至少有多少个圈 ?(q-p+1) 若 G是一个 (p,q)连通图，则 T有多少个圈 ? 若 G是一个 (p,q)连通图，则 T至少（多）有多少个生成树？ 第三节 割点、桥和割集 3.1 割点和桥 (割边 ) 定义 1 设 v是图 G的一个顶点，若 G-v的支数大于G的支数，则称顶点 v为图 G的一个 割点 (如图 )。 定义 2 设 x是图 G的一个边，若 G-x的支数大于 G的支数，则称边 x为图 G的一座 桥 (如图 ) 。 有割点的图不是哈密顿图 。 3.2割点和桥的特征性
12、质 定理 1 设 v是连通图 G=(V,E)的一个顶点，则下列命题等价： (1) v是图 G的一个割点； (2) 存在与 v不同的两上顶点 u和 w，使得 v在每一条连结 u与 w间的路上； (3) 集合 Vv有一个二划分 U,W,使得 uU ，wW ， v在每一条联结 u和 w的路上。 定理 2 每个非平凡的连通图至少有两个顶点不是割点。 3.4 习题 例 1 设 T是一棵树， T有 3个度为 3顶点， 1个 2度顶点，其余均是 1度顶点。则 （ 1）求 T有几个 1度顶点？有多少条弧？ （ 2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。 2.设 G是一棵树且 (G)k ，证明： G中至少有 k个度
13、为 1的顶点。 3. P个顶点的图中，最多有多少个割点？ 4. 若无向图 G中有 p个顶点， q-1条边，则 G为树。这个命题正确吗？为什么？ 5.设树中有 2n个度为 1的顶点，有 2n个度为 2的顶，有 n个度为 3的顶点，则这棵树有多少个顶点和多少条边？ 6.恰有两个顶点的度为 1的树是一条通路。 第 8章 连通度、匹配 定理 1 对任一图 G，有 k(G)(G)(G) 。 定理 2 对任意整数 a,b,c,0abc, 则 存在一个图G,使得 k(G)=a,(G)=b,(G)=c 。 定理 3 设 G是一个 (p,q)图，则 （ 1）若 qp-1，则 (G)=0 ； （ 2）若 qp -
14、1，则 (G)2q/p 。 定义 3 设 G是一个图，则 若 k(G)n ，则称 G是 n-顶点连通的，简称 n-连通； 若 (G)n ，则称 G是 n-边连通的。 定义 4 设 G =(V， E)是 p个顶点的图， p3 ，则 G是 2-连通图 当且仅当 G的任两个不同顶点在 G的同一个回路上。 第 9章 平面图和图的着色 第一节 平面图及其欧拉公式 1.1 欧拉公式 定理 1(欧拉公式 )设 G=(p,q)是平面连通图，有 f个面， 则 p-q+f=2。 推论 1 若 G=(p,q)是平面连通图且每个面都是由长为 n的回路围成的，则 q=n(p-2)/(n-2) 推论 2 设 G=(p,q
15、)是一个最大可平面图，则 G的每个面都是三角形，而且 q=3p-6。 推论 3 若 G=(p,q)是一个可平面连通图，而且 G的每个面都是一个长为 4的回路围成的，则 q=2p-4 推论 4 若 G=(p,q)是一个连通的平面图， p3 ，则q3p 6。 若 G是 2连通的且没有三角形，则 q2p 4。 推论 5 证明 K5和 K3,3 都不是可平面图。 推论 6 每个平面图 G的顶点度的最小值不超过 5，即(G)5 。 第二节 库拉托斯基定理、对偶图 定理 1(库拉托斯基 ,1930)一个图是可平面的充分必要条件是它没有同胚于 K5或 K3,3的子图。 定理 2 一个图是可平面的当且仅当它没
16、有一个可以收缩到 K5或 K3,3的子图。 定理 3 一个图是可平面图 充分必要条件 是图 G不包含与K5或 K3,3在二度顶点内同构的子图。 2.5 对偶图 会画即可 例 1 把平面分成 n个区域，每两个区域都相邻 ,问 n最大为多少？ 例 2证明：不存在具有 5个面，每两个面都共享一条公共边的平面图 G。 例 3 证明：不存在 7条棱的凸多面体。 (等价命题： 证明 :当每个顶点的度数大于等于 3时，不存在有 7条边的简单连通平面图。 ） 例 4 设 G是顶点 p11 的平面图，证明： G的补图 Gc是非平面图。 (设 G是顶点 p11 的图，证明： G与 G的补图 Gc至少有一个是平面图
17、。 ) 例 5 设 G是一个没有三角形的平面图，则 （ 1） 证明： G中存在一个顶点 v，使得 degv 3 ； （ 2） 证明： G是 4-可着色的。 第四章 有向图 第一节 有向图的概念 1.1 有向图的定义 定义 2 设 V为一个非空有限集，AV V(u,u)|uV ，二元组 D=(V,A)称为一个 有向图 。 1.2 图解 1.4 度 (入度、出度 ) 定义 3 设 D=(V,A)是一个有向图， v是 D的任一顶点。顶点 v的入弧的条数称为 v的入度 ，记为id(v)。顶点 v的出弧的条数称为 v的出度 ，记为 od(v)。 定理 1 设 D=(V,A)是一个有向图且 |A|=q,则
18、 id(v)=od(v)=q; (id(v)+od(v)=2q 。 1.5完全图、补图 定义 4 设 D=(V,A)是一个有向图，若A=V V(v,v)|vV ，则称 D为完全有向图。 于是，在完全有向图中，任两不同顶点间有 一对对称弧。 定义 5 设 D=(V,A)是一个有向图， D的补图是有向图DC=(V,AC)，其中： AC=V V(v,v)|vV A。 有向图 D=(V,A)的补图 DC的图解就是从以 V为顶点集的完全有向图的图解中去掉 D中所有弧所得到的图解。 1.6 同构 定义 6 设 G1=(V1,A1),G2=(V2,A2)都是有向图，若存在一个一一对应 :V1V 2，使得 u
19、,vA 1 ,(u,v)A 1当且仅当 ( (u), (v)A 2，则称 G1与 G2是同构的有向图。 第二节 有向路和有向图 2.1 有向通道、有向路 2.2连通 定义 1 设 D=(V,A)是有向图， u,vA 。则 (1)若存在 D的有一条从 u到 v的有向路，则称顶点 u可达到顶点 v，或 v是从 u可达的。 (2) 特别，当 u=v时，规定从 u可达到 u。 定义 2 u与 v互达 u可达到 v且 v可达到 u。 定义 3 弱通道、弱路、弱回路 二、有向图任两个顶点与的连接 (1) u与 v可以互达，即从 u可达到 v且从 v可达到 u； (2) 从 u可达 v到或从 v可达到 u；
20、 (3) u与 v间有一条弱路连接。 上述的每一种情况都反映了 u与 v间的连接性，但连接的强、弱不同。 定义 3 (连通 )设 D=(V,A)是一个有向图，则 (1) 若对 D的任两不同的顶点 u和 v， u与 v是互达的，则称 D是强连通； (2) 若对 D的任两不同的顶点 u和 v，或从 u可达到 v，或从 v可达到 u，则称 D是单向连通； (3) 若对 D的任两不同的顶点 u和 v， u与 v之间有一条弱路连接，则称 D是弱连通。 三、有向圈的几个性质。 定理 1 定理 2 第三节 有向图的矩阵表示 3.1有向图的表示 邻接矩阵、关联矩阵、可达矩阵 一、邻接矩阵 定义 1 设 D=(
21、V,A)是一个有向图，V=v1,v2, ,vp， p p矩阵 B=(bij)称为有向图D的邻接矩阵。其中： 1 , , )0 , , )jijjvAbvA ii若（v若（v二、关联矩阵 (了解 ) 定义 1 设 D=(V,A)是一个有 p个顶点 q条弧的有向图，V=v1,v2, ,vp， A=x1,x2, ,xq 。 p q矩阵 H=(hij)称为有向图 D的关联矩阵。其中： 说明 :(1) 顶点 p做矩阵的行下标，弧 q做矩阵的列下标； (2) 有向图的顶点 vi的出度等于关联矩阵 H中的第 i行里 1个数； vi的入度等于 H中第 i行里 -1的个数； (3) 由于有向图 H中每条弧关联两个顶点，一个是弧的起点，另一个是弧的终点，所以有向图的关联矩阵的 每一列仅有两个非零元素，其中一个为 1，另一个是 -1。 11ijij i ji j jvxh v xv x x 若 是弧 的起点；若 是弧 的终点；若 不是弧 的起点也不是弧 的终点。，0 ，
