1、第十课时用二分法求方程的近似解知识网络 学习要求 1通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2能借助计算器用二分法求方程的近似解；3体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一 自学评价1二分法对于在区间上连续不断，且满足的函数 ，通过不()fab0)(xfy断地把函数 的零点所在的区间一分为)(xf二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2给定精度 ，用二分法求函数 的()fx零点近似值的步骤如下：（1）确定区间 ，验证,ab()fab，给定精度 ；0（2）求区间 的中点 ；(
2、,)ab1x（3）计算 ：1xf若 = ，则 就是函数的零点；0 若 ，则令 = （此时)(ffb1零点 ） ；,10a若 ，则令 = （此时零xfbfax点 ） ；),(（4）判断是否达到精度 ：即若 ，|b则得到零点值 （或 ） ；否则重复步骤 24a【精典范例】例 1：利用计算器，求方程 的012x一个近似解（精确到 0.1） 【解】设 ，2()fx先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为，210,(3)2ff所以在区间 内，方程 有一10x解，记为 .取 与 的平均数 ，因为 1x.5，所以 .(.5)f 12再取 与 的平均数 ，因为22.，所以 .0.437f.如此继续下去，得1x
3、1(),()(,3)ffx2.52.5.0, ,)ff1(37)(.)(.7.,43703,ffx，因为 与 精确到 的2452.5近似值都为 ，所以此方程的近似解为 .利用同样的方法，还可以求出方程的1x另一个近似解.点评: 第 一 步 确 定 零 点 所 在 的 大 致 区 间 ，),(ba可 利 用 函 数 性 质 ， 也 可 借 助 计 算 机 或 计 算 器 ，但 尽 量 取 端 点 为 整 数 的 区 间 ， 尽 量 缩 短 区 间 长度 ， 通 常 可 确 定 一 个 长 度 为 1 的 区 间 ；建议列表样式如下：零点所在区间 区间中点函数值 区间长度听课随笔3,20)5.2(
4、f15.0.5,)37.(f0.25.237045.f0.125如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步例 2：利用计算器，求方程 的x3lg近似解（精确到 0.1） 分析：分别画函数 和ly的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等因此，这个点的横坐标就是方程的x3lg解由函数 与 的图象可lgy3x以发现，方程 有惟一解，记为x，并且这个解在区间 内.1x(2,)【解】设 ，利用计算器()lg3fx计算得 1(2)0,()(2,)ff.53.53x1(),(.7)0(,.7)ff2.6226x(5),(.5)ff1因为 与 精确到 的近似值260.都为 ，所以此
5、方程的近似解为 2.6.126x思考:发现计算的结果约稳定在 .这实.5871际上是求方程近似解的另一种方法迭代法除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等例 3：利用计算器，求方程 的近似解24x（精确到 0.1） 【解】方程 24x可以化为 分别画函数 xy与 的图象，由图象可以知道，方程4的解在区间 内，那么对于区间2x(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为(1,).4x追踪训练一1. 设 是方程 的解，则 所在0ln4x0x的区间为 （ B ）A B (3,)(2,3)C D1212. 估算方程 的正根所在的区257x间是 （ B ）A B (0,)(,)C
6、D3343计算器求得方程 的负根所210x在的区间是（ A ）A （ ，0） B1,C D2.5,3.54.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到).(1) (2)lg1x4x答案: (1) (2) ,0.83.921.6含字母系数的二次函数问题例 4：二次函数 中实数 、2()fxpqrp听课随笔、 满足 ，其中qr021pqrm，求证：0（1） )；(f（2）方程 在 内恒有解x(0,1分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据： 是区间 内的m(,)数，且 ，这就启发我们把区()01pf间 划分为( ， )和（ ，0,) 1）来处理1【解】 （1） 2()()()1mmpfpqr
7、2()r2(1)pm222()()，2(1)pm由于 是二次函数,故 ，又 ，fx0pm所以， ()1p 由题意，得 , ()fr()fqr当 时，由（1）知0p()01mf若 ，则 ，又 ,r()f所以 在（ ， ）内有解fx若 ，则0r(1)fpqr(1)pm，又2r02prm，所以 在（ , ）()01f()fx1内有解当 时同理可证p点评：（1）题目点明是“二次函数” ，这就暗示着二次项系数 若将题中的“二次”0两个字去掉，所证结论相应更改（2）对字母 、 分类时先对哪个分类是有一pr定讲究的，本题的证明中，先对 分类，然后p对 分类显然是比较好追踪训练二1若方程 在 内恰有一则210ax(,)实数 的取值范围是 (B ) A B ,)8(,)C D(1182.方程 的两个根分别在区20xk间 和 内，则 的取值范围是(0,),；12k3已知函数 ，在 上存()24fxm2,1在 ，使 ，则实数 的取值范围是0x0_ _1或4已知函数 3fx试求函数 的零点；y是否存在自然数 ，使 ？若存n10f在，求出 ，若不存在，请说明理由答案：（1）函数 的零点为 ；()yfx（2）计算得 ， ，9738f10由函数的单调性，可知不存在自然数 ，使n听课随笔成立10fn
