矩阵分析.doc

1、附录 I 矩阵分析介绍一、内容提要本章以矩阵序列的极限理论为基础的，介绍矩阵分析的一些基本内容, 包括矩阵序列的极限运算，矩阵序列和矩阵级数的收敛定理, 矩阵幂级数的极限运算和矩阵函数，矩阵的微积分等. 由于采用相似的极限理论为基础, 因此本章内容与通常的 (函)数列, (函)数项级数, 幂级数具有许多类似的结果, 建议读者在学习本章时, 与高等数学中相应的内容进行对照, 比较异同, 加深理解.(一) 矩阵序列于矩阵级数1矩阵序列定义 设 为 中的矩阵序列， 其中 如果 对1kAmnC()kijaAijkija)(lmi=1,2,m, j=1,2,n 均成立，则称矩阵序列 收敛，而 称为矩阵序

2、列1kij的极限，记为 .不收敛的矩阵序列称为发散的.1klik从定义可知, 判断矩阵序列收敛需要判断所有矩阵元素组成的 个数列同时收敛. n下面的定理告诉我们可以通过矩阵范数的收敛(一个数列)来判断矩阵序列的收敛.定理 设 为 中的矩阵序列， 为 中的一种矩阵范数，则矩阵序列1kAmnCmnC收敛于矩阵 的充要条件是 收敛于零1k kA从线性空间的观点来看, 一个矩阵可以看作是它所在的矩阵空间中的一个“点” ，因此一个矩阵序列的收敛问题就可以看成是该矩阵空间中的“点列”的收敛问题，就可以用各点到极限点的距离（范数）来描述收敛。矩阵序列收敛有如下性质:（1） 设 和 为 中的矩阵序列，并且 ，

3、 ，则 1kA1kBmnClimkAlikBlim,k（2） 设 和 分别为 和 中的矩阵序列，并且 ，1k1kmnl lik，则 likBlikBA（3） 设 ， 中的矩阵序列， 并且 和 均为1kAnClikA(1,2)k A可逆的，则 1lik（4） 设 ， 的充分必要条件是 若对 上的某种范数 ，nm0k()mnC有 ，则 .1Ali（5） 设 ， ，并且 ，则 .1kAmnClikAAklim2. 矩阵级数定义 2 设 为 中的矩阵序列, 称 为由矩阵序列 构1kmn12+k 1k成的矩阵级数，记为 1kA定义 3 记 ，称之为矩阵级数 的前 k 项部分和.若矩阵序列 收敛1kiiS

4、1kA1kS且 ，则称矩阵级数 收敛，而矩阵 称为矩阵级数的和矩阵，记为limk1kS不收敛的矩阵级数称为发散的.1kS=A定义 4 设 为 中的矩阵级数，其中 如果 对任意的 1im, 1kmnC()kijaA1)(kija1jn均为绝对收敛的，则称矩阵级数 绝对收敛.1k对比矩阵级数绝对收敛的定义以及高等数学中的数项级数的绝对收敛的定义可以得出矩阵级数收敛的一些性质.（1） 若矩阵级数 是绝对收敛，则它一定是收敛的，并且任意调换各项的顺序所1kA得到的级数还是收敛的，且级数和不变.（2） 矩阵级数 为绝对收敛的充分必要条件是正项级数 收敛.1k 1kA（3） 设 为 中的绝对收敛的级数，

5、为 中的绝对收敛的级数，并1kAmnC1kBnlC且 , , 则 按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛1k1kB1kAk的，且和均为 （4） 设 和 为给定矩阵，如果 型矩阵级数 收敛（或绝对pmPCnqQnm0kA收敛） ，则 矩阵级数 也收敛（或绝对收敛） ，且有等式 qp0kPAQ00kkPAQ(二) 矩阵幂级数定理 设 为收敛半径为 的幂级数， 为 阶方阵，则0ktarAn（） 时，矩阵幂级数 绝对收敛；()rA0kka（） 时，矩阵幂级数 发散.()0kkA推论 设 为收敛半径为 的幂级数， 为 阶方阵，如果 的特征值00)(kkzarnA均落在收敛圆内，即 ，其中 为 的任意特征值

6、，则矩阵幂级数r0绝对收敛；若有某个 使得 ，则幂级数 发00)(kkzaIA0i rzi000)(kkzaI散根据幂级数性质，幂级数的和函数是收敛圆内的解析函数（任意次可微，在任一点处均可展成 Taylor 级数） ，而一个圆内解析的函数可以展开成收敛的幂级数于是，如果是 内的解析函数，其展成绝对收敛的幂级数为)(zfr0，00)()(kkzazf则当矩阵 的特征值落在收敛圆 内时，定义nACr00)()(kkzafIA并称之为 关于解析函数 的矩阵函数.)(zf常用的一些矩阵函数有:；23!eAI；24cos!AI;35in!;123()IAA.ln对于一般的矩阵函数 ,可以利用矩阵的 J

7、ordan 分解写出其具体表达式 .()f定理 设 为收敛半径为 的幂级数， 为 阶方阵， 为00)(kkzazf rAn1TJ其 Jordan 分解， 当 的特征值均落在收敛圆内时，即sJJ,21dig，其中 为 的任意特征值，则矩阵幂级数 绝对收敛， 并且rz0A00)(kkzaI和矩阵为 -12,TJJTf sff1diag其中 的定义为()ifJ.(1) ()!()nfffffJ 另外，还可以通过待定系数的方法来求矩阵函数，避免求矩阵的 Jordan 分解。由矩阵的 Hamilton-Caylay 定理，对于 阶方阵 ，假设其特征多项式为 ，nA)det()(AI则有 。另一方面，对于

8、解析函数 ，它可以表示为收敛半径为 的幂级数，0)(A)(zf r于是得到 ，其中 是一个比 次数低的多项式，记为)()(zrgzfr)(z，则当 时， 。这110)(ncczr A )()AArgf 样，只需计算 次矩阵多项式 即可得到矩阵函数 。而 的系数可以通过)(r(zr待定系数的方法得到，假设 是 的 重特征根（ ） ，注意到iAimsi,21. 根据这)()(,)(),( 1imiiiii iirfrfrf ,个方程，得到一个以 为未知数的线性方程组。事实上，nms21 110,nc这即为以 为插值节点的 Hermite 插值，因此方程组有唯一解。进一步，如果s,1得到 的最小多项

9、式 ，则类似有 ，而且，此时的余式A)()()(zrgzmf的次数可以更低，使得计算更为简单。)(zr对于函数满足的恒等式，只要能保证等式两边的矩阵函数同时为收敛的矩阵幂级数，则可以得到相应的矩阵函数恒等式，例如可以证明（） ，总有nAC（1） si()sicos()sA（2） ， ，conieA1)2iieA1sn()2iieA（） ，且 ，则,BCB（1） si()sicosi（2） conAA若 ，则 ， B22scsisi2sincoA(三) 函数矩阵的微积分1 相对于数量变量的微分和积分定义 5 如果矩阵 的每一个元素()ijmntatA)(taij i ,21;,21在 上均为变量

10、 的可微函数，则称 可微，且导数定义为b, ()td()ijmnttatA定理 4 设 、 是可进行运算的两个可微矩阵，则以下的运算规则成立()tAB（1） ；dd()()()ttttB（2） ；ddd()()()()ttttABAB（3） ，其中 为任意常数.tt(4) 当 关于 可微时，有)(fudd()()uftutA(5) 当 为可微矩阵时，有1()tA111()()(ddtttA由于 仍是函数矩阵，如果它仍是可导函数矩阵，则可定义其二阶导数。不难)(dt给出函数矩阵的高阶导数： )(d)(d1-kktttA定理 5 设 n 阶方阵 与 t 无关，则有A（1） ；dtee（2） ； s

11、i()cos()()ttt（3） insidtA定义 6 如果矩阵 的每一个元素 都是区间t 0,t1上的可积函数，()ijmatA)(aij则定义 在区间t 0,t1上的积分为()1100()()ttijmndt容易验证如下运算法则成立（1） ， ；1 10 0()()(t tijijntabtdABC（2） ，其中 为常数矩阵；1100t tijmndtB，其中 为常数矩阵.1100()()t tijtd A（3）当 在 上连续可微时，对任意 ，有Aba, bat,)()(tdta（4）当 在 上连续可微时，对任意 ，有)(t, t,)()(aAbdtAba2 相对于矩阵变量的微分定义 7

12、 设 ，函数()ijmntxtXnmijx)1212(),mnffx 为 元的多元函数，且 都存在，定义 对矩阵mnijXj,;, ()fX的导数为X 111() nijmnmnffxdffXxff 3 矩阵函数在微分方程中的应用定理 对于一阶线性常系数齐次微分方程组的定解问题： 12d()() (2)0,0.,(). 3TnttxxAX有唯一解 ()te对于一阶线性常系数非齐次微分方程组的定解问题 01020d()() (5),.,().6TnttxxtAXF这里 是已知向量函数， 和 意义同前其解为 ()tftf AX.00()()dtt teeAAXF二 典型例题分析例 1. 证明当 ,

13、 则有 , 反之不对.klimkli证明 由矩阵序列收敛等价于依范数收敛，和矩阵范数的三角不等式即证明本例. 反之, 若取矩阵序列 , , AAkk 02kAkk20B显然 , 但 与 的极限并不相等, 分别为 和 . 1limlikkBAkAB011注: 当矩阵序列收敛的时候，他们的“长度” （范数）组成的数列显然收敛到极限矩阵的“长度” （范数） ，反之不对。显然，位于“范数单位圆”上的所有矩阵组成的序列对应的范数数列收敛，但这些矩阵可以不收敛。只有当极限为零矩阵时，才有 当且OAklim仅当 .OA0limk例 2证明矩阵序列的收敛性保持线性运算和乘积运算，或者矩阵序列的极限运算可与矩阵

14、序列的加法，数乘和乘积运算交换。即，设 ， ，并且nmkCBA,k,， ， ， 则 AklimBkliklimkli（1） ，k（2） .kli证法一. 由矩阵序列收敛的定义为其元素组成的 个数列同时收敛，与数列的收敛性保n持线性运算和乘积运算即可证明。事实上，矩阵的线性运算（加法和数乘）和乘积运算都是其元素之间的有限次线性运算和乘积运算，因而可以与极限运算交换。证法二. 由矩阵序列收敛等价于依范数收敛证明。（） 由已知条件知 ， ，则 和 皆有界，于是BklimklikBAA kkkkkk )()()()(当 时，上式极限为 0，因此 .k BAli（） 同理由 BAkkk k)()(当 时

15、，上式极限为 0，因此 .klim例 3讨论矩阵序列收敛性保持求逆运算的条件。即设可逆矩阵 收敛且nkCA，则逆矩阵序列何时收敛？Aklim解. 为了判断逆矩阵序列 的收敛性，注意到 ， 为 的伴随nkCA1 )det(*1kkA*k矩阵， 和 都是由 的元素的有限次加法和乘法得到，因此矩阵序列 和*kA0)det(kk *k非零数列 都收敛，且极限分别为 和 。而数列 收敛的条件还需tk *)det()det(1k要分母的极限不为零，所以 收敛的条件为 。这说明，当可逆矩)et(*1kkA 0tA阵序列 收敛且极限矩阵 也可逆时，极限运算和求逆运算可以交换，kA. 11)lim(li kk事

16、实上， 的极限矩阵 可逆是 收敛的充要条件。反之，若 和 都收敛，kA1k kA1则由极限运算与乘积运算的可交换性， ，即得)lim)(li)(lim1kkknAI.11)li(likkA上述条件不成立的反例为，取 ，则 . 虽然 收1kkA11kkAkA敛， , 但 不可逆，因此 发散。1limAk k例 4若 阶方阵 的任意一种范数 ，则 . 反之，若 ，则n1AOklimOAklim存在 的某种相容的矩阵范数使得 .A证明 由 的充要条件为 。若 的任意一种范数 ，则Oklim)(1，因此 . 反之，若 ，则 ，于是对于1)(Ak OAkli)(，一定存在一种相容的矩阵范数使得 .0)(

17、2 1注：为使 ，只需 在某种范数意义下小于 1 即可，反之，若 并不Okli OAklim能说明 在任何范数意义下都小于 1，但至少在一种范数意义下小于 1。A例 5证明： 阶方阵 组成的矩阵级数 绝对收敛，当且仅当存在一种矩阵范数 ，nA0kA使得 .1证法一：充分性. 由正项级数的比较判别法， ，且 收敛知 收kk0kA0k敛，也即 绝对收敛。0kA必要性. 绝对收敛，则它一定收敛，于是它的一般项的极限 ，由上例知0k OAklim存在一种矩阵范数 ，使得 .1A证法二：由 绝对收敛的充要条件为 ，和矩阵范数与谱半径的关系即得。0k 1)(例 6. 设 ，证明 绝对收敛。3.15.A0k

18、A证明 由 或者由 ，则 绝对收敛。9.0117.)(0k注：利用矩阵范数判断 的收敛性，只需找到一种范数使得 即可。此例中若采0kA1A用 ，则并不能判断 的收敛性。1.A0k例 7 讨论下列矩阵幂级数的敛散性， （1） ，,0312 942AI（2） ， （3）942AI 942AI解 题中三个矩阵幂级数是将幂级数 中的变量 分别替换为94201tttak t， 和 而得到。由 ，知幂级数 的收敛半径 。A21limk 942tt 1r因为 ，故矩阵幂级数（1）绝对收敛；由于 ，故矩r2)(A r41)(2A阵幂级数（2）也绝对收敛；再由 而 ，则矩阵幂级数,30621A3)(1（3）发散

19、。例 8 证明 ，总有nCA（1） ,si)sin(,cos)(A（2） ncoAei),(21iie).(21snAiie证明 由 ,!1!0zkzz ,!53)!(si0 zkzzk它们的收敛半径都为 , , 上,!42)!(cos02zk rnCA述矩阵幂级数都绝对收敛, 因此对 也成立. 则有A,sin)!12()!1()sin( 002 kkkkk ,co)!()!2()co( 00 Akkkk ,sin)!12()!(1!000AA iiekkkki 同理有 与上式联立即可得到,sincosin)co(i ,21csAiie).(2Aiie例 9 证明 ，且 , 则nCB, B（1

20、） ,AAee)(1Ae（2） ,sincosin)si(（3） .ccoBB特别, 若 ，则 A,csi2siA.sinco222A证明 (1) 由于 , 则BA )(!21)(! 200 BABIBAkke .!)(!21)( 02I ek同理可证 取 则 , 因此.BABe,IAe.)(1Ae(2) (21)(21)sin() BBAiiii ,sincosinBA iiiiii eee同理可证 .sicos)cos(例 10 设 ，求 .0123AteA解法一，根据矩阵 的 Jordan 分解 ,10211 .)(1001 2222 ttttt ttttttt eeeeA解法二，利用矩

21、阵 特征多项式 ，设)(),)2() 210 cgrget 由 得 于是,4)2(1210ttecr ,)1(34210ttttttece.)( 222210 ttttt tttt eeAIA例 11 设 和 是可进行运算的两个可微矩阵，证明以下运算规则成立)(tB（1） ；)()()()( tdttdtdt BABA（2）当 关于 可微时，有 ；fuufut（3）当 为可微矩阵时，有 .)(1t )()()(111 ttA（4）若 在区间 上连续，则有（N L 公式）dtA,ba.)()()( abdttdtbaaA证明 由函数矩阵的导数定义（1） nmnkjkitttdt )()(1,Bn

22、mlkjkilkjki tbdtatbadt 1,1, )()()(.)ttt BA（2） nmjinmji dtuauadtt )()( ,A.)()()(, tftfnji（） 由 ，两边求导得到 ，于是IA1t 0AA)()(11tdttd,)()(11ttd特别，当 时， .)()(11tt )(21ttt（4）由函数矩阵的积分定义 nmbajibanmjiba dtdttdtt )()()( ,A.,jiji A例 12 设 阶方阵 与 无关，则有nt（1） ；AAtteed（2） ；)cos()()si(ttt（3） .AA)sin()si()cos(tttd证明 (1) 由绝对收

23、敛的矩阵幂级数可逐项可导，.AAIA ttt ettttte 3232 !1)(!1)(!(2) 由 , 和上式，1)sinAitite )(2cosAitite)(2( ititititdtd.A)cs(tteitit同理可得（3） .Ain)si)cos(t例 13 已知 ，求 .102tA)(2tA解法一 由 ，于是 .1422 ttt 0148)(2ttA解法二 210)()()(2 tttttAA. 480240124ttt注 由此例的解法二看出，如果 不可交换，则 。如果)(tA )(2)(ttA，则有 , 为正整数。)()(ttA )( 11mttmm 例 14 已知 ，求 。t

24、tttt tttt eee222)1(A A解 此例为例 10 的反问题，注意到 ，而 ，因此AttdI0e. 0123)21()21()23( 02220 ttttt ttttt eeeedA例 15 求 .dtet10cos解法一 由定义 . 01sin01cos)(01cos100 edttedtett解法二 由 NL 公式，. 01sin01sinsin01cos00 eettedtett例 16 设 ，其中 ，求 .)()(2XXTFtracef nmRXdf解 设 ，则 ，由 ，于nmjix, ijjiTFxtracef 12,2)( jijixf,2是 .X)2(,nmjinmj

25、ixfdf例 17 设 ，且 ，令 ，求 .R0)det(X)det()(Xff解 设 ， 的代数余子式记为 ，由nmjix)(,ji, ji,，而且 与 无关，nijii xxf ,1,det)X ji, niix,1,于是 ，则 ，其中 是 的伴随矩阵。jijix, Tnjinjiff )()(*, XX *X此外，由于 ， ，故I)det(* 1*det.)(1TTdf X例 18 求定解问题 ，其中 ，TtAdt)1,(0)xf 2103A.0)(2tetf解 该问题的解为 先计算 ，利用矩阵 的特征多项.)()(0(deetttfteA式 ，设3)2de)(AI ,)3(2() 21

26、0cgrgt 由 得 于是,93)(42103210tecr ,)132(6159420ttttec， )12()1(2)1(2 59455386 3322210 ttt ttttttt eeecceAIA则有 ， ，对变量 从48)(32tttt eexA 23)( 46ettttfA 到 进行积分得 . 因此0t 13425)9(861)( 230( tttt ttt edefA. 13825)9(16)()0()( 23( tttt tttt edeefxAA三 习 题1选择、填空和判断正误题(1)设 ，则矩阵幂级数 A21kkA(A) 发散； (B) 收敛但不绝对收敛；(C) 绝对收敛

27、； (D) 无法判定敛散性(2)设 ，则 .01eA(A) ; (B) ; (C) .1010e(3)当 时，矩阵幂级数 绝对收敛 .()A02kA(4) ,要使 ， 应满足 .102aAlim0kAa(5) 设 阶矩阵 不可逆，则 亦不可逆.( )ncos(6) 设 是 阶 Householder 矩阵，则 = .(2(7) 设 阶矩阵 可逆，则 = .A10dteA2设 ，证明 必收敛，并求 .0.8450k0k3设 ，其中 且 ，判断矩阵序列 的收敛性.HxnCx1()kkA4证明 时， ()1A21()knAI5证明 ，其中 表示 阶方阵 的对角元的和.()dettrtr6证明 22s

28、incosnI7已知 ，求 310,()4630fzzA()fA8. 已知， 试求： 202113,ABcos,teBA9. 求微分方程组 ，求满足初始条件 的解.1122331ddxtxxt (0)1,TX10. 求常微分方程组 满足条件1122313d14d1txxtxxet的解.(0)1,)TX11设 10sin,()dxxAA求12设 20sicos(),intxx求四 习题解答1 (1) (C). 通过判断通常幂级数 的收敛半径为 , 且由题意12kt 1lim2kr, 可知矩阵幂级数 绝对收敛.1)(rA21kkA(2) (A) 已经是特征值为 0 下三角 Jordan 标准型,

29、由 可得0 ef)(也为下三角阵. 若要利用上三角 Jordan 标准型, 只需注意到相似变换矩阵1)(Af, 可得到相同的结果.0T(3) 由幂级数 的收敛半径 , 可知当矩阵 的谱半径 时,相02kt 21limkrA21)(应的矩阵幂级数绝对收敛.(4) 由 的充分必要条件是 和本题 可知 应满足limkA(A) /1|,max)(a.1a(5) 错误. 反例 不可逆, 但 可逆.0 10cos0incos(6) 由 Householder 矩阵的性质知矩阵 的特征值为-1 和 1 ( 重), 且 1 的几何重数为A, 因此 的 Jordan 标准型 , 则1nAPPAJ1011 .nI

30、P1)2cos(00)2cos()s()2cos( (7) 利用幂级数在收敛圆内可逐项求积的性质, . 0 11101010 )(!)!(!)(kkkkkt edtdtde IAAAA2. 解: 由 和幂级数 的收敛半径为 1 可知矩阵幂级数 收敛, 且18.)(0kt 0k. 245.420)(110AIk3. 解: 由 与 具有相同的非零特征值 , 因此Hx, 则 .xHA)()() )(lim)(liAkk4. 证法一：由 ，则 ，由矩阵级数绝对收敛的性质，等式两1)(01(knAI边同时左乘 ，右乘 得到AIn，上式右端为两个绝对收敛的级 001012 )()()( kkknnAI数乘

31、积，经过整理即得 .12)(knAI证法二：由幂级数 的收敛半径为 1 知，当 时，矩阵幂级数 绝对收1kt 1)(1kA敛，且 可逆. 则 ，即得本例结论.)(AIn AII1212 )()( knkn证法三：当 时，幂级数 绝对收敛，于是可以逐项求导得1t 10)(ttk，它的收敛半径仍为 1。则当 时，矩阵幂级数21)(tkt )(A绝对收敛，两边同时左乘 即得 .21)(AInk 21)(AInk5. 证明: 设矩阵 的 Jordan 标准型为 , 且所有特征值为 , 即为APJ1n,21的对角元, 则 , , 其中 为上三角矩阵且对角元J nAtr21)( 1eJJe为 , 故 .n

32、e,21 )(21)det(t AtrJn6. 证明: 由 和 , 两式相乘即得cosiiAAsicoei.22sin()cos()nAI7. 解: 由矩阵 已经是 Jordan 标准型, 故有, 1690035454073)3(00)3(200)( 21ffffffA或者 .1690035454764)(35AIf8. 解: 由 得 31254110213PJA, 3125411 0coscos2)(coss. 3125411 0sin021si23)(sinsiPJA或者, 利用矩阵 的特征多项式 ，设)()()det()AI ,51()(cos 210 cgrg 由 得 于是,5cos2

33、5)(421110cr ,)5cos241cos3(287)ss(61010AI， )5cos2(31)5cos281cos3(2)5cos1(44)s()ss9()s3(同样可得. )5sin2(31)5sin2i81sin3(2)5sin1(44)si()siisi9()si3(sinA对于矩阵 , 已经是 Jordan 标准型, 故直接可得 .B tttttt eee2120B9. 解法一 : , 化为 Jordan 标准型为3)2(102)det( AI, 于是所求解为020101PJA.ttttttt eee 21220)0(PPxA解法二: 利用矩阵 的特征多项式 ，设3)()d(

34、)(AI,2)( 2103 cgrget 由 得 于是,2)(“4 210ttecr ,21)(20tectt，tttt 10210AIA因此 .tettt1)()(2xA10. 解法一 : , 化为 Jordan 标准型为)1(0124)det( 2I, 则1012PJA, ttt eee 21)0(PxA, 于是所求解为 101)(1( ttt eee fA. )()(21)()(0( tetettdettt fxAA解法二: 该问题的解为 先计算 ，利用矩阵 的特征.)0()( dtttfxAA tA多项式 ，设)1()det()(2AI ,)1(2102cgrgt 由 得 于是,)1(0121tecr ,120tec， tttt eece 04210AIA则有 ， ，因此ttee)(xA 12)(ttefA. )1()()()0( tetetdettt fAA11. .2/1/1sin0 dx12. . 2200 sincoi)()()(2 ttstdsdtst AA参考文献：程云鹏，张凯院，徐仲，矩阵论（第二版） ，西北工业大学出版社，2000.