1、1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切 公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.,1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2 ； (2)cos2 ； (3)tan2,2sincos,cos2sin2,2cos21,12sin2,思考探究你能用tan表示sin2和cos2吗？,提示：sin22sincos ， cos2cos2sin2 ,3.形如asinxbcosx的化简,1.sin72cos42cos72sin42
2、的值为 ( )A. B.C. D.cos114,解析：sin72cos42cos72sin42sin(7242)sin30 .,答案：B,2.已知sin ，且( ，)，则 的值为( )A. B.C. D.,解析：sin ，( ，)，cos ，,答案：B,3.下列各式中，值为 的是 ( )A.sin15cos15 B.2cos2 1C. D.,解析：,答案：D,4.已知tan()3，tan( )5，则tan2 .,解析：2( )( )， tan2tan( )( ) ,答案：,5.若cos() ，cos( ) ，则tantan .,解析：cos( )coscos sinsin ， cos( )co
3、scos sinsin . 3得：2coscos 4sinsin ，即tantan .,答案：,1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与 联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使 用的公式，常见的有“切化弦”. (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变 形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等.,2.根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范 围以确定三角函数值的正负号. 3.对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这 类问题的基本思路有： (1)化为
4、特殊角的三角函数值； (2)化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.,特别警示 要善于观察和分析所要化简的表达式，对比它与和、差、倍角公式结构上的相似之处，以便确定相应的公式进行化简整理.,化简：,思路点拨,课堂笔记 (1)sin50(1 tan10),(2)原式,因为0，所以0 ， 所以cos 0， 所以原式cos.,1.解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已 知角”表示. (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角” 的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角” 的和或差的关系，然后应用诱
5、导公式把“所求角”变成“已 知角”.,2.常见的配角技巧,(1)设cos( ) ，sin( ) ，且 ，0 ，求cos(). (2)已知sin( )sin( ) ，( ，)，求sin4.,思路点拨,课堂笔记 (1) ，0 ， ， . 故由cos( ) ，得sin( ) . 由sin( ) ，得cos( ) . cos( )cos( )( ) . cos()2cos2 1 .,(2)法一：sin( )sin( ) sin( )cos( ) ， sin( 2) ，即cos2 . ( ，)，则2(，2)， sin2 于是sin42sin2cos2 .,法二：由条件得 (cossin) (cossin
6、) ， 即 (cos2sin2) . cos2 . 由2(，2)得sin2 ， sin4 .,1.通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时， 遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围 是(0， )，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)， 选余弦较好；若角的范围为( ， )，选正弦较好.,2.解给值求角问题的一般步骤为： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出所求的角.,已知0 ，tan ，cos( ) . (1)求sin的值； (2)求的值.,思路点拨,课堂笔记 (1)tan 所以 又
7、因为sin2cos21,0 ，解得sin . (2)因为0 ，所以0. 因为cos() ，所以sin() .,所以sin sin( )sin( )coscos( )sin 因为( ,)，所以 .,保持例题条件不变，求cos().,解：由例题可知sin ，cos ， sin ，cos ， cos()coscossinsin,两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向.,(2009广东高考)(12分)已知向量a(sin，2)与b(1，cos)互相垂直，其中(0，
8、 ).(1)求sin和cos的值；(2)若5cos()3 cos，0 ，求cos的值.,考题印证,【解】 (1)ab，sin1(2)cos0sin 2cos.(2分) sin2cos21，4cos2cos21cos2 (4分) (0， )，cos sin .(6分),(2)由5cos()3 cos有， 5(coscossinsin)3 cos(8分) cos2 sin3 cos， cossin.(10分) 0 ，cos (12分),自主体验 已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab| (1)求cos()的值； (2)若0 ， 0，且sin ，求sin的值.,解：(1)a(co
9、s，sin)，b(cos，sin)， ab(coscos，sinsin). |ab| ， 即22cos() ，cos() .,(2)0 ， 0，sin ， cos ,0 ， cos( ) ， sin( ) ，sinsin( ) sin( )cos cos( )sin ,1.(2009福建高考)函数f(x)sinxcosx的最小值是 ( )A.1 B.C. D.1,解析：f(x)sinxcosx sin2x，f(x)min .,答案：B,2.(2009陕西高考)若3sincos0，则 的值为 ( )A. B.C. D.2,解析：由3sincos0得cos3sin， 则 ,答案：A,3.sin(6
10、5x)cos(x20)cos(65x)cos(110x)的 值为 ( ),解析：原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20) sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20) sin(65x)(x20)sin45 .,答案：B,4.(2010黄冈模拟)已知sin( ) ，则cos( 2) .,解析：cos( 2)2cos2( )1，且cos( ) sin( ) . 所以cos( 2) .,答案：,5.已知a(cos2，sin)，b(1,2sin1)，( ，)， 若ab ，则tan( )的值为 .,解析：由ab ，得cos2sin(2sin1) ， 即
11、12sin22sin2sin ，即sin . 又( ，)，cos ，tan ， tan( ),答案：,6.(2009江苏高考)设向量a(4cos，sin)，b(sin， 4cos)，c(cos，4sin).(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tantan16，求证：ab.,解：(1)由a与b2c垂直. a(b2c)ab2ac0， 即4sin( )8cos()0，tan( )2. (2)bc(sin cos ，4cos 4sin )， |bc|2sin2 2sin cos cos2 16cos2 32cos sin 16sin2 1730sin cos 1715sin2 ，最大值为32， 所以|bc|的最大值为,(3)证明：由tantan16，得sinsin16coscos， 即4cos4cossinsin0，故ab.,
