1、1高中数学必修 1 知识点总结第一章 集合与函数1、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。2、常用数集及其记法表示自然数集， 或 表示正整数集， 表示整数集 ， 表示有理数集， 表示实数集.NNZQR3、集合的表示法自然语言法列举法描述法： | 具有的性质图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.x4、元素与集合的关系： 集合与集合的关系：名称 记号 意义 性质子集 BA（或 )A 中的任一元素都属于 B(1)A A (2)A(3)若 且 ，则BC(4)若 且 ，则 真子集 A B（或 B A），且 B 中至少有一元素不属于 A(1) （A 为非空子集）(2)若 且 ，则集合相等 A，B 中的元
2、素完全相同 (1)A B (2)B A5、若集合中有 个元素，则它的子集个数为 ；真子集个数为 ；非空子集个数为 n；非空真子集个数为 6、空集是任何集合的子集，是任何 的真子集.7、集合的基本运算名称 记号 意义 性质 示意图交集 AB且|,xAB（1） A（2） （3） ，BBBA并集 AB或|,xAB（1） A（2）（3） , BBBA补集 CU|,x且 ()()UUACA，A【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式的解法2不等式 解集|(0)xa|xa 或 |,|()bcc把 看成一个整体，化成 ， 型不等式来求解axb|(0)xa8、函数与映射的概念设 、
3、是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在集AB fAx合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么 （包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）()fx:fABBf叫做集合 到 的一个函数函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域和对应法则相同的两个函数才是同一函数设 A、B 是两个非空的集合，如果按某个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象） ”9、求函数定义域的原则：（1）分式函数（2）带
4、根号的函数（3）指数函数与对数函数（4）幂函数（5）三角函数（6）实际问题10、求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的（定义域优先）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：对于任意的 ，都有 ；存()yfxIMxI()fxM在 ，使得 那么我们称 是函数 的最大值，记作 0xI0M()fxma()f设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足： 对于任意的 ，都有 ；存f mf在 ，使得 那么我们称 是函数 的最小值，记作 ()mf inf常用方法（1
5、）单调性法：（2）配方法：（3）换元法：（4）分离常数法（5）不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值3（6）数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值11、求函数的解析式（1）换元法（注意新自变量的取值范围）（2）消元法12、函数的单调性：（1）定义及判定方法函数的性质 定义 图象 判定方法如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x 2,当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数y=f(X)yxox x2f(x ) f(x )（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数（2）用定义
6、证明函数单调性的方法步骤：取值、作差、变形（通分，有理化，因式分解） 、定号、下结论（3）单调性是局部性质，单点区间用 连接，不能用 连接变形应用：若对任意的 ，且 有 或者 ，则),(,21bax21x0)(1xf212()()0fxx函数 在区间 上是增函数；如果对任意的 ，且 有 或者)(xf),(ba ,(,ba21，则函数 在区间 上是减函数。2120f)(xf),(复合函数单调性：同增异减（4）几类函数的单调性：一次函数 fxkb反比例型函数 a二次函数 2fxc对钩函数 ()(0)13、函数的奇偶性定义及判定方法4函数的性 质 定义 图像 判定方法如果对于函数 f(x)定义域内任
7、意一个 x，都有f(x)= f(x),那么函数f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)= f(x),那么函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 ()fx0x(0)f奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反y y14、函数的图象（1）利用描点法作图：确定函数的定义域； 化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ；画出函
8、数的图象（2）利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换，0,|() ()hyfxyfxh 左 移 个 单 位右 移 个 单 位 0,|() ()kyfxyfxk 上 移 个 单 位下 移 个 单 位伸缩变换，1,()()ff 伸缩 01,()()Afyfx 缩伸对称变换()()xyfyfx 轴 ()()yfxf 轴 原 点 1xx 直 线() (|)yyyyfx yf 去 掉 轴 左 边 图 象保 留 轴 右 边 图 象 ， 并 作 其 关 于 轴 对 称 图 象|()|xfx 保 留 轴 上 方
9、 图 象将 轴 下 方 图 象 翻 折 上 去15、方程的根与函数的零点（1）函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫函数)(Dfy0)(xfx的零点。)(Dxfy（2）函数零点的意义：函数 的零点就是方程 的实数根，亦即函数 的图象与)xff )(xfy轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点0)(f(fyx)(f5（3）函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根；0)(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数)(xfy的性质找出零点（4）零点定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，f
10、,ab 0fab那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程yfx, ,cab0fcc的根.0fx6第二章 基本初等函数1、指数幂的运算性质： （1）若 ，则 ；nxan为 奇 数为 偶 数（2） ； ；n为 奇 数为 偶 数 ()na（3） ； ；*(0,1)mnaN且 (0,)paR（4） ；,rsrsarsR ,rsrsrs（5） ；()0rsrsa（6） ;,rrbbrs()/0,rrababrsR2、对数的运算性质：（1）指数式与对数式的转化： ；log,1xaaN（2） ；（3） ；log0,1al10a（4） ； ；lN（5） ；l,maa（6） ；og()ll
11、og0,1,0MNa（7） ；laaaN（8） ；l,n（9） ； oglnl 0,1,01lcabbabc（10） ；ll,*mnaa nmN（11） ；1loglog0,1,naaMMR（12） ll ,0,1,abcabc 73、指数函数与对数函数的性质：表1 指数函数 0,1xya对数数函数 log0,1ayx定义域R ,值域 0,R图象过定点 (0,1) 过定点 (1,0)减函数 增函数 减函数 增函数(,0)(,)xy时 ，时 ， (,)(0,1)xy时 ，时 ， (,)(,)xy时 ，时 ， (,)(,0)xy时 ，时 ，性质 abababab同底的指数函数与对数函数互为反函数，图像关于直线 y=x 对称。4、幂函数 的性质：fx（1）所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过定点 ；0,1,（2）单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在区间 上是增函数0如果 ，则幂函数的图象在区间 上是减函数，,（3）奇偶性：当 是奇数时，幂函数是奇函数，当 是偶数时，幂函数是偶函数.
